2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第四节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用


1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法

[小题体验]
1．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f＝(　　)
A．1　 　　　　　　　 　 B．0
C． D．
解析：选B　由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4.所以f＝sin＝0.
2．为了得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
解析：选D　因为y＝sin 2x＝cos，所以为了得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos＝cos的图象向左平移个单位长度即可．故选D.
3．函数y＝sin的振幅为__________，周期为________，初相为________．
答案：　4π　－

1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
3．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
[小题纠偏]
1．把y＝sin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图象，则ω的值为________．
答案：
2．要得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin的图象向右平移______个单位长度．
答案：


[典例引领]
某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的．
解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
(3)把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y＝5sin的图象．
[由题悟法]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”

[提醒]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
[即时应用]
1．(2019·宁波质检)若函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则满足此条件的φ值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由题意知，函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)关于直线x＝－对称，
∴2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z)，又∵0＜φ＜π，∴φ＝.
2．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)

解析：选A　变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．
3．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象表示的函数解析式为y＝sin x，则ω＝________，φ＝________.
解析：把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，所得的图象表示的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数图象向右平移个单位长度可得y＝sin 的图象，即y＝sin，所以ω＝2，φ＝－.
答案：2　－

[典例引领]
1．(2018·金华模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 　B．－
C．－ D．－1
解析：选D　由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.

2．(2018·嵊州高级中学期中)函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
解析：由图可知，＝－＝，所以T＝π＝，解得ω＝2.因为当x＝时，函数有最大值1，所以由五点法可知，＋φ＝，解得φ＝－.
答案：2　－
[由题悟法]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中参数的方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
第一点
图象上升时与x轴的交点
ωx＋φ＝0
第二点
图象的“峰点”　　　　　
ωx＋φ＝
第三点
图象下降时与x轴的交点
ωx＋φ＝π
第四点
图象的“谷点”　　　　　
ωx＋φ＝
第五点

ωx＋φ＝2π

[即时应用]
1．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵P在f(x)的图象上，
∴ f(0)＝sin θ＝.
∵θ∈，∴θ＝，∴f(x)＝sin.
∴g(x)＝sin.
∵g(0)＝，∴sin＝.
验证φ＝π时，sin＝sin＝sin＝成立，故选B.
2．(2018·宁波名校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象解析式为(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝cos 2x
解析：选B　由图可得，A＝1，＝－＝，所以T＝π＝，解得ω＝2，当x＝时，函数f(x)取到最大值，由sin＝1，|φ|＜，得φ＝，所以f(x)＝sin.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象解析式为y＝f＝sin.

[典例引领]
(2018·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋sin x)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y＝t的图象在区间内有两个不同的交点．
因为x∈，所以2x－∈.
因为y＝sin x在上是增函数，在上是减函数，
所以f(x)在上是增函数，在上是减函数．
又因为f(0)＝0，f＝1＋，f＝，
结合图象可知，≤t＜1＋，故实数t的取值范围为.
[由题悟法]
1．三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
2．三角函数的零点、不等式问题的求解思路
(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)；
(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；
(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．
[即时应用]
已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x, cos x)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
∴f(x)的最小正周期为π，令sin＝0，
得2x－＝kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，
故所求对称中心的坐标为，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，故f(x)的值域为.

[典例引领]
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．则实验室这一天的最大温差为________℃.
解析：因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t＜24，
所以≤t＋＜，
所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
答案：4
[由题悟法]
三角函数模型在实际应用中体现的2个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
[即时应用]
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　　　　　　　　 　B．6
C．8 D．10
解析：选C　由题图可知－3＋k＝2，即k＝5，y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)
的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
解析：选A　由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．
又为五点中的第二个点，
∴100π×＋φ＝.∴φ＝.
∴I＝10sin，当t＝秒时，I＝－5安．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知f(x)＝sin 2x＋cos 2x，在直角坐标系下利用“五点法”作f(x)在区间上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是(　　)
A．0，，π，，2π
B．－，0，，，π
C．－，－，，，，
D．－，0，，π，，
解析：选C　由题意知f(x)＝2sin，当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝－，0，，π，，时，x的值分别为－，－，，，，.
2．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　 　B．π
C．2π D．4π
解析：选D　最小正周期为T＝＝4π.
3．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)


解析：选A　令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.
4．(2019·东阳模拟)为了得到函数y＝cos 2x的图象，可以将函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选D　因为y＝cos 2x＝sin＝sin 2，所以为了得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝sin＝sin 2的图象向左平移个单位长度即可．
5．(2016·浙江高考)函数y＝sin x2的图象是(　　)

解析：选D　∵y＝sin(－x)2＝sin x2，∴函数为偶函数，可排除A项和C项；当x＝± 时，y＝sin x2＝1，而 ＜，且y＝sin＜1，故D项正确．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·金华十校联考)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)与g(x)＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到函数h(x)＝cos的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选A　因为两函数的对称轴完全相同，所以两函数的周期一致，由此可得ω＝2，则f(x)＝sin，h(x)＝cos，且cos＝sin，所以为了得到h(x)＝cos的图象，只需将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度即可．
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选B　∵f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，ω＝2，
∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，
又g(x)的图象关于原点对称，
∴－＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|＜，∴φ＝－，
∴f(x)＝sin.
当x＝时，2x－＝－，∴A，C错误；
当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．
3．(2019·潍坊统一考试)函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意知y＝sin 2x－cos 2x＝2sin，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈，所以φ＝.
4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)

A． B．
C． D．1
解析：选B　由图可知，＝－＝，
则T＝π，ω＝2，
又∵＝，∴f(x)的图象过点，
即sin＝1，得φ＝，
∴f(x)＝sin.
而x1＋x2＝－＋＝，
∴f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin ＝.
5．若函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　因为函数f(x)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，所以由正弦函数的图象可得T＜2π≤T，即·＜2π≤·，解得＜ω≤.
6．(2019·丽水模拟)已知函数f(x)＝cos 2x－sin 2x，则下列结论中正确的序号是________．
①函数f(x)的图象关于直线x＝对称；
②函数f(x)的图象关于点对称；
③函数f(x)在区间上是增函数；
④将y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f(x)的图象．
解析：f(x)＝cos 2x－sin 2x＝－2sin.
令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝，所以①正确；
令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以当k＝1时，函数f(x)的图象的对称中心是，所以②正确；
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为，所以③错误；将函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数y＝2sin的图象，所以④错误．所以正确的序号是①②.
答案：①②
7．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤f(x)≤3.
答案：
8．已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为________．
解析：由角φ的终边经过点P(－4,3)，可得cos φ＝－，sin φ＝.
根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，
可得周期为＝2×，解得ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)，
∴f＝sin＝cos φ＝－.
答案：－
9．设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin.
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
即T＝4×＝π，
又ω＞0，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
当π≤x≤ 时，
≤2x－≤，
所以－≤sin≤1.
因此－1≤f(x)≤，
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
10．(2019·杭州二中模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间上的最值，并求出相应的x值．
解：(1)由图象可知，A＝2，T＝π＝，所以ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，
因为f＝2sin＝2，|φ|＜，
所以φ＝－.
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈，所以2x－∈，
所以f(x)＝2sin∈[－1,2]．
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝f＝2；
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝f(0)＝－1.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选B　由题意得

则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.
若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；
若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B.
2．已知函数f(x)＝2sin，g(x)＝mcos－2m＋3(m＞0)，若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)＝f(x2)成立，则实数m的取值范围是________．
解析：当x∈时，2x＋∈，sin
∈，∴当x∈时，函数f(x)＝2sin
的值域为[1,2]．当x∈时，2x－∈，cos∈，∴当x∈时，函数g(x)＝mcos－2m＋3(m＞0)的值域为.∵对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)＝f(x2)成立，∴解得1≤m≤，即m∈.
答案：
3．(2018·浙江名校协作体考试)已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最值．
解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋＝sin＋，
因为T＝＝π，所以ω＝1.
(2)因为f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝sin＋，
当x∈时，4x＋∈，
所以g(x)min＝g＝，g(x)max＝g(0)＝1.

命题点一　同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．1
解析：选B　由cos 2α＝，得cos2 α－sin2α＝，
∴＝，即＝，∴tan α＝±，
即＝±，∴|a－b|＝.故选B.
2．(2013·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)
A. B．
C．－ D．－
解析：选C　两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝，得到tan 2α＝－.
3．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
命题点二　三角函数的图象与性质
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A. B．
C．π D．2π
解析：选C　由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2．(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
解析：选A　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin 2x的图象，则函数y＝sin 2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确．
3．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：选A　由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.
4．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A． B．
C． D．π
解析：选A　f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
函数y＝sin单调递增，
则f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]⊆，∴0＜a≤，
∴a的最大值是.
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B　∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.
6．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
解析：由题意得f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z.
∵φ∈，
∴φ＝－.
答案：－
7．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.
解析：∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，
∴A＝，b＝1.
答案：　1
8．(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝cos＝1，
∴ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z.
∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
答案：
9．(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x
＝－2＝－2sin，
故f＝－2sin＝－2sin ＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2sin.
则f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
10．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.