2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第四章第三节　三角函数的图象与性质

第三节　三角函数的图象与性质

突破点一　三角函数的定义域和值域

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝sin x在x∈内的最大值为1.(　　)

(2)函数y＝tan的定义域为x≠－.(　　)

(3)函数y＝的定义域为x∈，k∈Z.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、填空题

1．y＝的定义域为________________________．

解析：要使函数式有意义，需2sin x－≥0，即sin x≥，借助正弦函数的图象(图略)，可得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以该函数的定义域是(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

2．函数y＝2cos，x∈的值域为________．

解析：∵－<x<，∴0<2x＋<，

∴－<cos<1，∴－1<2cos<2.

∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1,2)．

答案：(－1,2)

3．函数y＝tan的值域为________．

解析：∵－≤x≤且x≠0，∴≤－x≤且－x≠.由函数y＝tan x的单调性，可得y＝tan的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)

考法一　三角函数的定义域　

[例1]　(2019·德州月考)x∈[0,2π]，y＝＋的定义域为(　　)

A.　　　　　           　　B.

C.  D.

[解析]　法一：由题意，所以函数的定义域为.故选C.

法二：x＝π时，函数有意义，排除A、D；x＝π时，函数有意义，排除B.故选C.

[答案]　C

[方法技巧]

三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

[提醒]　解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　　

考法二　三角函数的值域(最值)　

[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．

(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．

[解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，

∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.

(2)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，

因为x∈，所以cos x∈[0,1]，

因此当cos x＝时，f(x)max＝1.

(3)设t＝sin x－cos x，

则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

即sin xcos x＝，且－1≤t≤.

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.

∴函数的值域为[－1,1]．

[答案]　(1)B　(2)1　(3)[－1,1]

[方法技巧]　三角函数值域或最值的3种求法

1.函数y＝log2(sin x)的定义域为________．

解析：根据题意知sin x>0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．

答案：(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)

2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．

解析：f(x)＝2cos x＋sin x＝

＝sin(x＋α)(其中tan α＝2)，

故函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.

答案：

3.求函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最值．

解：令t＝sin x＋cos x，则t∈[－，]．

∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，

∴sin xcos x＝，

∴y＝t2＋t－，t∈[－， ]，

∵对称轴t＝－∈[－， ]，

∴ymin＝f＝×－－＝－，

ymax＝f()＝＋.

突破点二　三角函数的性质

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(　　)

(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)

(3)y＝sin|x|是偶函数．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

二、填空题

1．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.

答案：2

2．函数y＝cos的单调递减区间为________．

解析：由y＝cos＝cos，

得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

3．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.

解析：由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，

又φ∈[0,2π]，所以φ＝.

答案：

考法一　三角函数的单调性　

考向一　求三角函数的单调区间

[例1]　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝|tan x|；

(2)f(x)＝cos，x∈.

[解]　(1)观察图象可知，y＝|tan x|的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是kπ－，kπ，k∈Z.

(2)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，

即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数；

当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．

因此函数f(x)在上的单调递增区间是－，，单调递减区间为，.

[方法技巧]　求三角函数单调区间的2种方法

[提醒]　求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．

考向二　已知单调性求参数值或范围

[例2]　(1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．2  D．3

(2)(2019·绵阳诊断)若f(x)＝cos 2x＋acos＋x在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．

[解析]　(1)因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，

所以当0≤ωx≤，

即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；

当≤ωx≤，即≤x≤时，

y＝sin ωx是减函数．

由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，

在上单调递减知，＝，所以ω＝.

(2)f(x)＝1－2sin2x－asin x，

令sin x＝t，t∈，则g(t)＝－2t2－at＋1，t∈，

因为f(x)在上单调递增，所以－≥1，即a≤－4.

[答案]　(1)B　(2)(－∞，－4]

[方法技巧]

已知单调区间求参数范围的3种方法

考法二　三角函数的周期性　

[例3]　(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A.  B.

C．π  D．2π

[解析]　由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

[答案]　C

[方法技巧]　　 三角函数周期的求解方法

考法三　三角函数的奇偶性　

[例4]　(1)(2018·枣庄一模)函数y＝1－2sin2x－是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

(2)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

[解析]　(1)y＝1－2sin2

＝cos＝cos

＝－sin 2x，

故函数y是最小正周期为π的奇函数，故选A.

(2)因为f(|x|)＝f(x)，

所以函数f(x)＝3sin是偶函数，

所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，

所以φ＝kπ＋，k∈Z，

又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.

[答案]　(1)A　(2)C

[方法技巧]

与三角函数奇偶性相关的结论

三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：

(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．

(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．　　

考法四　三角函数的对称性　

(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．

(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0.

[例5]　(1)(2019·南昌十校联考)函数y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)

A．(－π，0)  B.

C.  D.

(2)(2019·合肥联考)函数f(x)＝sin－cos 2x的图象的一条对称轴的方程可以是(　　)

A．x＝－  B．x＝

C．x＝－  D．x＝

[解析]　(1)令x－＝kπ，k∈Z，得函数图象的对称中心为，k∈Z.

当k＝－1时，y＝sin的图象的一个对称中心为.故选B.

(2)f(x)＝sin－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.令2x－＝＋kπ(k∈Z)，可得x＝π＋π(k∈Z)．令k＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x＝π.

[答案]　(1)B　(2)B

[方法技巧]　三角函数对称性问题的2种求解方法

1.已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：选D　依题意，f(x)＝2sin＝－2sin2x－，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，故－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，解得f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．故选D.

2.若函数f(x)＝2asin(2x＋θ)(0<θ<π)，a是不为零的常数，f(x)在R上的值域为[－2,2]，且在区间上是单调减函数，则a和θ的值是(　　)

A．a＝1，θ＝  B．a＝－1，θ＝

C．a＝1，θ＝  D．a＝－1，θ＝

解析：选B　∵sin(2x＋θ)∈[－1,1]，且f(x)∈[－2,2]，∴2|a|＝2，∴a＝±1.当a＝1时，f(x)＝2sin(2x＋θ)，其最小正周期T＝＝π，∵f(x)在区间内单调递减，且－＝，为半个周期，∴f(x)max＝f＝2sin＝2，∴θ－π＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．又0<θ<π，∴a＝1不符合题意，舍去．当a＝－1时，f(x)＝－2sin(2x＋θ)在－π，上单调递减，∴f(x)max＝f＝－2sin＝2，∴sin＝－1，∴θ－π＝2kπ－(k∈Z)，θ＝2kπ＋(k∈Z)．又∵0<θ<π，∴当k＝0时，θ＝，∴a＝－1，θ＝.故选B.

3.下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)

A．y＝sin  B．y＝cos

C．y＝cos  D．y＝sin

解析：选C　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin 2x在上为减函数，排除B；y＝cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，符合题意；y＝sin＝cos x为偶函数，排除D.故选C.

4.已知函数y＝sin(2x＋φ)－<φ<的图象关于直线x＝对称，则φ的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选B　由题意得f＝sin＝±1，

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ－，k∈Z.

∵φ∈，

∴φ＝－.