新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测23《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(含解析)

课时跟踪检测（二十三）  函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，　　　　　　 B．2，，

C．2，，  D．2，，－

解析：选A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.

2．(2019·七台河联考)已知函数f(x)＝cos，则以下判断中正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象可由函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到

B．函数f(x)的图象可由函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到

C．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到

D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

解析：选A　因为f(x)＝cos，所以函数f(x)的图象可由函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到，故选A.

3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)

A．－　　　　　　　　　 B.

C．1  D.

解析：选D　由题意可知该函数的周期为，

∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.

∴f＝tan ＝.

4.(2019·贵阳检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：选B　由题意，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.

5.(2019·武汉一中模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则f(2 019)＝(　　)

A．1  B.

C.  D.

解析：选C　由函数图象可知最小正周期T＝4，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，观察图象可知f(3)＝，所以f(2 019)＝.故选C.

6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|<的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．

解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．

答案：6 000

[B级　保分题——准做快做达标]

1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A　令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.

2．(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

解析：选A　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确．

3．(2019·大同一中质检)将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度之后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)

A．9  B．6

C．4  D．8

解析：选B　函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f(x)＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.

4.(2019·日照一模)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

解析：选B　由题图知A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)，将代入得cos＝1，∵－π<φ<0，∴－<＋φ<，∴＋φ＝0，∴φ＝－，∴f(x)＝2cos＝2sin，故将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象．

5．(2019·郑州一中入学测试)定义运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　依题意得f(x)＝cos ωx－sin ωx＝2cos，且函数f＝2cosω＋＝2cos是偶函数，于是有＋＝kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是＝，选B.

6．(2019·绵阳一诊)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)图象的一条对称轴方程是(　　)

A．x＝  B．x＝

C．x＝  D．x＝0

解析：选B　函数f(x)＝2sin的最大值为2，由＝1可得函数f(x)的周期T＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f(x)＝2sin.将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g(x)＝2sin＝2sin，当x＝时，g＝2sin＝2，为函数的最大值，故直线x＝为函数y＝g(x)图象的一条对称轴．故选B.

7.(2019·涞水波峰中学期中)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，φ∈的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是(　　)

A．g(x)＝2cos x  B．g(x)＝2sin

C．g(x)＝2sin  D．g(x)＝－2cos x

解析：选A　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，得＝，则T＝6，ω＝.又由f(0)＝1，φ∈得sin φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sinx＋.则g(x)＝2sin＝2cos x.故选A.

8.(2019·北京东城期中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A，B两点间距离为5，则ω＋φ＝________.

解析：∵AB＝5＝ ，∴T＝6＝，∴ω＝.∵f(2)＝－2，∴π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝π，∴φ＋ω＝π.

答案：π

9．(2019·临沂重点中学质量调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且图象过点，则函数f(x)＝____________.

解析：依题意得 ＝2，ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sin.因为该函数图象过点，所以sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝.因为－≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin.

答案：sin

10．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1A>0，ω>0，0<φ<的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝________.

解析：∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋A>0，ω>0，0<φ<的最大值为3，∴＋1＋＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，∴ω＝.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<，∴2φ＝，φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝cosx＋＋2＝－sinx＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＋2×2 018＝－504×0－sin－sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.

答案：4 035

11.(2019·天津新四区示范校期末联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若α为第二象限角且sin α＝，求f(α)的值．

解：(1)由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2＝π，∴ω＝＝2.

又∵函数f(x)的图象过点，且点处于函数图象下降部分，

∴2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z.

∵0<φ<，∴φ＝.∴f(x)＝Asin.

∵函数图象过点(0,1)，∴Asin ＝1，∴A＝2，

∴f(x)＝2sin.

(2)∵α为第二象限角且sin α＝，∴cos α＝－，

∴sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，

∴f(α)＝2sin＝2sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝2＝.

12．(2019·西安长安区质检)设函数f(x)＝sin－2cos2x.

(1)试说明y＝f(x)的图象由函数y＝sin x的图象经过怎样的变化得到；

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，当x∈[0,1]时，求函数y＝g(x)的最值．

解：(1)∵函数f(x)＝sin－2cos2＝sin xcos －cos xsin －cos x－1＝sin x－cos x－1＝sin－1，∴把函数y＝sin 的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象．

(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴g(x)＝f(4－x)＝sin－1＝sin x－1.

当x∈[0,1]时，x∈，故当x＝0时，函数y＝g(x)取得最小值－1；当x＝1时，函数y＝g(x)取得最大值.

[C级　难度题——适情自主选做]

1．(2019·惠州调研)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由题意可得，g(x)＝2sin＋1，所以g(x)max＝3，又g(x1)·g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝3，由g(x)＝2sin＋1＝3，得2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)，因为x1，x2∈[－2π，2π]，所以(2x1－x2)max＝2×－＝，故选B.

2．设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<，给出以下四个论断：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间上是增函数；③f(x)的图象关于点对称；④f(x)的图象关于直线x＝对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)

解析：若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)．同时若f(x)的图象关于直线x＝对称，则sin＝±1，又－<φ<，∴2×＋φ＝，

∴φ＝，此时f(x)＝sin，②③成立，故①④⇒②③.若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)，同时若f(x)的图象关于点对称，则2×＋φ＝kπ，k∈Z，又－<φ<，∴φ＝，此时f(x)＝sin，②④成立，故①③⇒②④.

答案：①④⇒②③或①③⇒②④

3.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).

则下列叙述正确的是________．

①R＝6，ω＝，φ＝－；

②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；

③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；

④当t＝20时，|PA|＝6.

解析：①由点A(3，－3)，可得R＝6，

由旋转一周用时60秒，可得T＝＝60，则ω＝，由点A(3，－3)，可得∠AOx＝，

则φ＝－，故①正确；

②由①知，f(t)＝6sin，

当t∈[35,55]时，t－∈，

即当t－＝时，点P(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；

③当t∈[10,25]时，t－∈，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；

④f(t)＝6sin，

当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，

则∠AOP＝，所以|PA|＝6，故④正确．

答案：①②④