2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第四章第五节 三角恒等变换
展开第五节 三角恒等变换
突破点一 三角函数求值
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) | cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β |
C(α＋β) | cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β |
S(α－β) | sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β |
S(α＋β) | sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β |
T(α－β) | tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) |
T(α＋β) | tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) |
2.二倍角公式
S2α | sin 2α＝2sin_αcos_α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 |
C2α | cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝， sin2α＝ |
T2α | tan 2α＝ |
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
二、填空题
1．已知tan α＝2，则tan＝________.
解析：∵tan α＝2，∴tan＝＝.
答案：
2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．
解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.
法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.
答案：
3.cos 15°－4sin215°cos 15°＝________.
解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.
答案：
4．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．
解析：由题可知，tan α＝＝2，
∴tan 2α＝＝－.
答案：－
考法一 三角函数式的化简求值
1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．
[例1] (1)＝( )
A．－ B．－
C. D.
(2)化简：＝________ .
[解析] (1)
＝
＝
＝sin 30°＝.
(2)法一：原式
＝
＝
＝
＝1.
法二：原式＝
＝
＝＝＝1.
[答案] (1)C (2)1
[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
考法二 三角函数的给值求值(角)
[例2] (1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
∴sin＝－cos 2β＝1－2cos2β＝.故选B.
(2)因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因为A为钝角，所以cos A＝－＝－ ＝－.
由sin B＝，且B为钝角，可得cos B＝－＝－ ＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×
＝.
又A，B都为钝角，即A，B∈，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
1．给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
2．给值求角问题的解题策略
(1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．
1.已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝.故选A.
2.(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A. B．1＋
C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：选C (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋ tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.故选C.
3.若cos＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，
∴cos＋2α＝cos＝－cos＝.故选A.
4.定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.
答案：
突破点二 三角恒等变换的综合问题
利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题．
[典例] (2019·北京朝阳期末)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.
[解] (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x－∈，
sin∈，
sin＋1∈[0，＋1]．
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.
所以当x∈时，f(x)≥0.
[方法技巧]
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；
(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．
[针对训练]
(2019·襄阳四校期中联考)设函数f(x)＝coscos x－sin2(π－x)－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．
解：(1)∵f(x)＝sin xcos x－sin2x－＝(sin 2x＋cos 2x)－1＝sin－1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵f(α)＝sin－1＝－1，
∴sin＝.
由α∈知2α＋∈，
∴cos＝－.
∴f＝sin－1
＝sin－1
＝－1
＝×－1＝－.
