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    2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义:第六章第三节 等比数列及其前n项和

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    第三节 等比数列及其前n项和

    突破点一 等比数列的基本运算

    1等比数列的有关概念

    (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为q.

    (2)等比中项:如果aGb成等比数列,那么G叫做ab的等比中项.即:Gab的等比中项aGb成等比数列G2ab.

    2等比数列的有关公式

    (1)通项公式:ana1qn1.

    (2)n项和公式:Sn

    一、判断题(对的打,错的打“×”)

    (1)满足an1qan(nN*q为常数)的数列{an}为等比数列.(  )

    (2)Gab的等比中项G2ab.(  )

    (3){an}为等比数列,bna2n1a2n,则数列{bn}也是等比数列.(  )

    (4)数列{an}的通项公式是anan,则其前n项和为Sn.(  )

    答案:(1)× (2)× (3) (4)×

     

    二、填空题

    1.已知递增的等比数列{an}中,a2a83a3·a72,则________.

    答案:

    2.各项都为正数的等比数列{an}中,a12a6a1a2a3,则公比q的值为________

    答案:2

    3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a21a8a62a4,则a6的值是________

    答案:4

    4.已知数列{an}的前n项和为Sna11Sn2an1,则Sn等于________

    答案:n1

    1.已知正项数列{an}为等比数列,且5a2a43a3的等差中项,若a22,则该数列的前5项和S5(  )

    A.          B31

    C.  D.以上都不正确

    解析:B 设{an}的公比为q,则q>0q1.由已知得a43a32×5a2,即a2q23a2q10a2q23q100,解得q2q=-5(舍去),又a22,则a11,所以S531.

    2(2018·全国卷)等比数列{an}中,a11a54a3.

    (1){an}的通项公式;

    (2)Sn{an}的前n项和,若Sm63,求m.

    解:(1){an}的公比为q,由题设得anqn1.

    由已知得q44q2,解得q0(舍去)q=-2q2.

    an(2)n1an2n1.

    (2)an(2)n1,则Sn.

    Sm63,得(2)m=-188,此方程没有正整数解.

    an2n1,则Sn2n1.

    Sm63,得2m64,解得m6.

    综上,m6.

    解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法

    (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1nqanSn,一般可以知三求二,通过列方程()求关键量a1q,问题可迎刃而解.

    (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q1时,{an}的前n项和Snna1;当q1时,{an}的前n项和Sn.

    1(2019·豫北重点中学联考)数列{an}满足a427an1=-3an(nN*),则a1(  )

    A1  B3

    C.-1  D.-3

     

    解析:C 由题意知数列{an}是以-3为公比的等比数列,

    a4a1(3)327a1=-1.故选C.

     

     

    2(2019·绵阳诊断性考试){an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a41S37,则S5等于(  )

    A.  B

    C.  D

    解析:B 设数列{an}的公比为q,则显然q1,由题意得解得(舍去)S5.

    3(2019·兰州诊断性测试)设数列{an1}是一个各项均为正数的等比数列,已知a37a7127.

    (1)a5的值;

    (2)求数列{an}的前n项和.

    解:(1)由题可知a318a71128,则有(a51)2(a31)(a71)8×1281 024,可得a5132,即a531.

    (2)设数列{an1}的公比为q,由(1)

    所以数列{an1}是一个以2为首项,2为公比的等比数列,

    所以an12×2n12n,所以an2n1

    利用分组求和可得,数列{an}的前n项和Snn2n12n.

    突破点二 等比数列的性质

    (1)mnpq,则amanapaq,其中mnpqN*.特别地,若2spr,则apara,其中psrN*.对有穷等比数列,与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积即a1·ana2·an1ak·ank1.

    (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即akakmak2m仍是等比数列,公比为qm(kmN*)

    (3)若数列{an}{bn}是两个项数相同的等比数列,则数列{ban}{pan·qbn}(其中bpq是非零常数)也是等比数列.

    (4)q1q=-1k为奇数时,SkS2kSkS3kS2k是等比数列,其公比为qk.

    (5)a1·a2··anTn,则Tn成等比数列.

    1.在等比数列{an}中,a32a78,则a5________.

    答案:4

    2(2019·长春调研)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a34a4a5a612an1anan1324,则n________.

    答案:14

    3.已知等比数列{an}中,a2a31a4a52,则a6a7等于________

    答案:4

    4.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S38S67,则a7a8a9等于________

    答案:

    1(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列{an}中,a3a15是方程x26x20的根,则的值为(  )

    A.-       B.-

    C.  D.-

    解析:B 设等比数列{an}的公比为q,因为a3a15是方程x26x20的根,所以a3·a15a2a3a15=-6,所以a3<0a15<0,则a9=-,所以a9=-,故选B.

    2(2019·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1010S3070,那么S40等于(  )

    A150  B.-200

    C150或-200  D400或-50

    解析:A 易知S10S20S10S30S20S40S30成等比数列,因此有(S20S10)2S10(S30S20),即(S2010)210(70S20),故S20=-20S2030.S20>0,所以S2030S20S1020S30S2040,故S40S3080,所以S40150.故选A.

     

     

     

    应用等比数列性质解题时的2个注意点

    (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质mnpq(mnpqN*),则am·anap·aq,可以减少运算量,提高解题速度.

    (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.

    1(2019·惠州调研)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6a4a718,则log3a1log3a2log3a10(  )

    A12  B10

    C8  D2log35

    解析:B a5a6a4a718a5a69

    log3a1log3a2log3a10log3(a1a2··a10)log3(a5a6)55log3910.

    2(2019·兰州一中测试)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4a2a3=-,则等于(  )

    A.  B

    C.-  D.-

    解析:D .

    在等比数列{an}中,a1·a4a2·a3

    原式=×=-.故选D.

    3.在等比数列{an}中,如果a1a240a3a460,那么a7a8(  )

    A135  B100

    C95  D80

    解析:A 由等比数列前n项和的性质知,a1a2a3a4a5a6a7a8成等比数列,其首项为40,公比为,所以a7a840×3135.

    突破点三 等比数列的判定与证明

    [典例] (2018·全国卷)已知数列{an}满足a11nan12(n1)an.bn.

    (1)b1b2b3

    (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;

    (3){an}的通项公式.

    [] (1)由条件可得an1an.

    n1代入得,a24a1,而a11,所以a24.

    n2代入得,a33a2,所以a312.

    从而b11b22b34.

    (2)数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

    理由如下:

    由条件可得,即bn12bn

    b11,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

    (3)(2)可得2n1,所以ann·2n1.

    [方法技巧]

    等比数列的4种常用判定方法

    定义法

    q(q为非零常数,nN*)q(q为非零常数且n2nN*),则{an}是等比数列

    中项公式法

    若数列{an}中,an0aan·an2(nN*),则{an}是等比数列

    通项公式法

    若数列{an}的通项公式可写成anc·qn1(cq均是不为0的常数,nN*),则{an}是等比数列

    n项和公式法

    若数列{an}的前n项和Snk·qnk(k为常数且k0q0,1),则{an}是等比数列

    [提醒] (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

    (2)用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证

    [针对训练]

    (2019·湖北八校联考)已知数列{an}满足a11a24an24an14an.

    (1)求证:数列{an12an}是等比数列;

    (2)求数列{an}的通项公式.

    解:(1)证明:由an24an14anan22an12an14an2(an12an)22(an2an1)2n(a22a1)02{an12an}是等比数列.

    (2)(1)可得an12an2n1(a22a1)2n

    是首项为,公差为的等差数列,

    ann·2n1.

     

     

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