2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第四章第三节　三角函数的图象与性质

第三节　三角函数的图象与性质突破点一　三角函数的定义域和值域三角函数正弦函数y＝sin x余弦函数y＝cos x正切函数y＝tan x图象定义域RRxx∈R，且x值域[－1,1][－1,1]R最值当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝sin x在x∈内的最大值为1.(　　)(2)函数y＝tan的定义域为x≠－.(　　)(3)函数y＝的定义域为x∈，k∈Z.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×二、填空题1．y＝的定义域为________________________．解析：要使函数式有意义，需2sin x－≥0，即sin x≥，借助正弦函数的图象(图略)，可得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以该函数的定义域是(k∈Z)．答案：(k∈Z)2．函数y＝2cos，x∈的值域为________．解析：∵－<x<，∴0<2x＋<，∴－<cos<1，∴－1<2cos<2.∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1,2)．答案：(－1,2)3．函数y＝tan的值域为________．解析：∵－≤x≤且x≠0，∴≤－x≤且－x≠.由函数y＝tan x的单调性，可得y＝tan的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)考法一　三角函数的定义域　[例1]　(2019·德州月考)x∈[0,2π]，y＝＋的定义域为(　　)A.　　　　　           　　B.C.  D.[解析]　法一：由题意，所以函数的定义域为.故选C.法二：x＝π时，函数有意义，排除A、D；x＝π时，函数有意义，排除B.故选C.[答案]　C[方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒]　解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　　考法二　三角函数的值域(最值)　[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．[解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，因为x∈，所以cos x∈[0,1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1.(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，即sin xcos x＝，且－1≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．[答案]　(1)B　(2)1　(3)[－1,1]  [方法技巧]　三角函数值域或最值的3种求法直接法形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出化一法形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)换元法形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 1.函数y＝log2(sin x)的定义域为________．解析：根据题意知sin x>0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．答案：(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．解析：f(x)＝2cos x＋sin x＝＝sin(x＋α)(其中tan α＝2)，故函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.答案：3.求函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最值．解：令t＝sin x＋cos x，则t∈[－，]．∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，∴sin xcos x＝，∴y＝t2＋t－，t∈[－， ]，∵对称轴t＝－∈[－， ]，∴ymin＝f＝×－－＝－，ymax＝f()＝＋.突破点二　三角函数的性质函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性2kπ－，2kπ＋为增；2kπ＋，2kπ＋为减，k∈Z[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Zkπ－，kπ＋为增，k∈Z对称中心(kπ，0)，k∈Z，k∈Z，k∈Z对称轴x＝kπ＋，k∈Zx＝kπ，k∈Z 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(　　)(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)(3)y＝sin|x|是偶函数．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√二、填空题1．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.答案：22．函数y＝cos的单调递减区间为________．解析：由y＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．答案：(k∈Z)3．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.答案：考法一　三角函数的单调性　考向一　求三角函数的单调区间[例1]　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|tan x|；(2)f(x)＝cos，x∈.[解]　(1)观察图象可知，y＝|tan x|的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是kπ－，kπ，k∈Z.(2)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数；当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．因此函数f(x)在上的单调递增区间是－，，单调递减区间为，.[方法技巧]　求三角函数单调区间的2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解图象法画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间[提醒]　求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．考向二　已知单调性求参数值或范围[例2]　(1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C．2  D．3(2)(2019·绵阳诊断)若f(x)＝cos 2x＋acos＋x在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．[解析]　(1)因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，所以ω＝.(2)f(x)＝1－2sin2x－asin x，令sin x＝t，t∈，则g(t)＝－2t2－at＋1，t∈，因为f(x)在上单调递增，所以－≥1，即a≤－4.[答案]　(1)B　(2)(－∞，－4][方法技巧]已知单调区间求参数范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解考法二　三角函数的周期性　[例3]　(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)A.  B.C．π  D．2π[解析]　由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.[答案]　C[方法技巧]　　 三角函数周期的求解方法公式法(1)三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π；(2)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为图象法利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期考法三　三角函数的奇偶性　[例4]　(1)(2018·枣庄一模)函数y＝1－2sin2x－是(　　)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数(2)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　)A.  B.C.  D.[解析]　(1)y＝1－2sin2＝cos＝cos＝－sin 2x，故函数y是最小正周期为π的奇函数，故选A.(2)因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sin是偶函数，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.[答案]　(1)A　(2)C[方法技巧]与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．　　考法四　三角函数的对称性　(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0.[例5]　(1)(2019·南昌十校联考)函数y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)A．(－π，0)  B.C.  D.(2)(2019·合肥联考)函数f(x)＝sin－cos 2x的图象的一条对称轴的方程可以是(　　)A．x＝－  B．x＝C．x＝－  D．x＝[解析]　(1)令x－＝kπ，k∈Z，得函数图象的对称中心为，k∈Z.当k＝－1时，y＝sin的图象的一个对称中心为.故选B.(2)f(x)＝sin－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.令2x－＝＋kπ(k∈Z)，可得x＝π＋π(k∈Z)．令k＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x＝π.[答案]　(1)B　(2)B[方法技巧]　三角函数对称性问题的2种求解方法定义法正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点公式法函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z1.已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析：选D　依题意，f(x)＝2sin＝－2sin2x－，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，故－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，解得f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．故选D.2.若函数f(x)＝2asin(2x＋θ)(0<θ<π)，a是不为零的常数，f(x)在R上的值域为[－2,2]，且在区间上是单调减函数，则a和θ的值是(　　)A．a＝1，θ＝  B．a＝－1，θ＝C．a＝1，θ＝  D．a＝－1，θ＝解析：选B　∵sin(2x＋θ)∈[－1,1]，且f(x)∈[－2,2]，∴2|a|＝2，∴a＝±1.当a＝1时，f(x)＝2sin(2x＋θ)，其最小正周期T＝＝π，∵f(x)在区间内单调递减，且－＝，为半个周期，∴f(x)max＝f＝2sin＝2，∴θ－π＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．又0<θ<π，∴a＝1不符合题意，舍去．当a＝－1时，f(x)＝－2sin(2x＋θ)在－π，上单调递减，∴f(x)max＝f＝－2sin＝2，∴sin＝－1，∴θ－π＝2kπ－(k∈Z)，θ＝2kπ＋(k∈Z)．又∵0<θ<π，∴当k＝0时，θ＝，∴a＝－1，θ＝.故选B.3.下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)A．y＝sin  B．y＝cosC．y＝cos  D．y＝sin解析：选C　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin 2x在上为减函数，排除B；y＝cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，符合题意；y＝sin＝cos x为偶函数，排除D.故选C.4.已知函数y＝sin(2x＋φ)－<φ<的图象关于直线x＝对称，则φ的值为(　　)A.  B．－C.  D．－解析：选B　由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.∵φ∈，∴φ＝－.