2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第2讲

第2讲　函数的单调性与最值

[考纲解读]　1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．(重点)

2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．(重点)

3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质．(难点)

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.

1．函数的单调性

(1)增函数、减函数

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

1．概念辨析

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)

(2)设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么f(x)在[a，b]上是增函数⇔>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.(　　)

(3)函数y＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则函数y＝f(x)的增区间为[0，＋∞)．(　　)

(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)

A．y＝|x|   B．y＝3－x

C．y＝   D．y＝－3x2

答案　A

解析　y＝|x|在(0,1)上是增函数，y＝3－x，y＝，y＝－3x2在(0,1)上都是减函数．

(2)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案　[－1,1]，[5,7]

解析　由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．

(3)函数f(x)＝2－x2，x∈[－1,2]的最大值为________，最小值为________．

答案　2　－2

解析　f(x)＝2－x2在[－1,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，f(－1)＝1，f(0)＝2，f(2)＝－2，所以最大值为2，最小值为－2.

(4)函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，则k的取值范围是________．

答案　

解析　因为函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以2k＋1<0，解得k<－.

题型 　确定函数的单调性(区间)

1．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)

A．[1,2]   B．[－1,0]

C．[0,2]   D．[2，＋∞)

答案　A

解析　f(x)＝|x－2|x＝

作出此函数的图象如下．

观察图象可知，f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是[1,2]．

2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)   B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)   D．(4，＋∞)

答案　D

解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．

要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．

∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，

∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.

3．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

解　解法一：设－1<x1<x2<1，

f(x)＝a·＝a，

则f(x1)－f(x2)＝a－a

＝.

由于－1<x1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

解法二：f′(x)＝

＝＝－.

当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

条件探究　将举例说明1中“f(x)＝|x－2|x”改为“f(x)＝x2－2|x|”，试写出其单调区间．

解　f(x)＝x2－2|x|

＝作出此函数的图象如右：

观察图象可知，此函数的单调递减区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递增区间是(－1,0]，(1，＋∞)．

1．确定函数单调性(区间)的三种常用方法

(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．如举例说明3解法一．

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．如举例说明1.

(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．如举例说明3解法二．

2．熟记函数单调性的三个常用结论

(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是(　　)

A．(2，＋∞)   B．(－∞，2)

C．(4，＋∞)   D．(－∞，4)

答案　B

解析　因为函数f(x)＝ax＋1在R上递减，所以a<0，所以g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a[(x－2)2－1]的增区间是(－∞，2)．

2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.判断f(x)的单调性．

解　设x1>x2>0，则>1，∵当x>1时，f(x)>0，

∴f(x1)－f(x2)＝f>0，∴f(x1)>f(x2)，

∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．

题型 　求函数的最值(值域)

1．(2018·上饶模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)

A.  B．－  C．－2  D．2

答案　A

解析　因为函数f(x)＝－x＋在上是减函数，

所以f(x)max＝f(－2)＝2－＝.

2．函数y＝x－的最小值为________．

答案　

解析　令t＝，则t≥0且x＝t2＋1，

所以y＝t2＋1－t＝2＋，t≥0，

所以当t＝时，ymin＝.

3．函数y＝的值域为________．

答案　

解析　y＝＝＝2＋，

由x∈R得x2－x＋1＝2＋∈，

所以∈，

所以y＝的值域是.

4．(2018·石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

答案　1

解析　解法一：在同一坐标系中，

作函数f(x)，g(x)的图象，

依题意，h(x)的图象如图所示．

易知点A(2,1)为图象的最高点，

因此h(x)的最大值为h(2)＝1.

解法二：依题意，h(x)＝

当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，

当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，

所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.

条件探究1　将举例说明1中“f(x)＝－x＋”改为“f(x)＝－x－”，其他条件不变，如何解答？

解　f(x)＝－x－在[－2，－1]上是减函数，在上是增函数，且f(－2)＝，f＝，所以f(x)max＝.

条件探究2　将举例说明2中“y＝x－”改为“y＝x＋”，其他条件不变，如何解答？

解　由1－x2≥0可得－1≤x≤1.

可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，

则y＝cosθ＋sinθ＝sin，θ∈[0，π]，

所以－1≤y≤，故所求函数的最小值是－1.

条件探究3　将举例说明3中“y＝”改为“y＝”，其他条件不变，如何解答？

解　由y＝得x2＝，

由x2≥0知≥0，解得－1<y≤1，

故所求函数的值域为(－1,1]．

求函数的最值(或值域)的常用方法

(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．如举例说明1.

(2)有界性法：利用代数式的有界性(如x2≥0，≥0，2x>0，－1≤sinx≤1等)确定函数的值域．

(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．如举例说明4.

(4)换元法：形如求y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．如举例说明2.

(5)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．如举例说明3.

另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为________．

答案　2

解析　因为f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上为单调函数，所以由题意可得f(1)＋f(2)＝a＋a2＋loga2＝loga2＋6，所以a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)，所以a＝2.

2．已知定义在D＝[－4,4]上的函数f(x)＝

对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最大值与最小值之和为________．

答案　9

解析　作出函数f(x)的图象如图所示，由任意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9.

题型 　函数单调性的应用

角度1　比较函数值的大小

1．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b  B．c>b>a  C．a>c>b  D．b>a>c

答案　D

解析　根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，所以a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.

角度2　解不等式

2．已知函数f(x)＝则不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(0，－1)  B．(－1，＋1)

C．(0，＋1)  D．(－1，－1)

答案　D

解析　作出函数f(x)的图象如图所示．

则不等式f(1－x2)>f(2x)等价于或解得－1<x<－1.

角度3　求参数的值或取值范围

3．已知函数f(x)＝对于任意x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3]  B．(1,3)  C．(1,2]  D．(1,2)

答案　C

解析　根据题意，由<0，易知函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1<a≤2.故选C.

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．如举例说明1.

(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．如举例说明2.

(3)利用单调性求参数

①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意：若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如举例说明3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·郑州模拟)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)

A．a＝－3  B．a<3

C．a≤－3  D．a≥－3

答案　C

解析　y＝＝＝1＋，

所以当a－3<0时，y＝的单调递增区间是(－∞，a＋2)，(a＋2，＋∞)；当a－3≥0时不符合题意．又因为y＝在(－1，＋∞)上单调递增，所以(－1，＋∞)≤(a＋2，＋∞)，所以a＋2≤－1，即a≤－3，综上知，a的取值范围是(－∞，－3]．

2．(2018·河南百校联盟质检)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为(　　)

A．f(b)<f(a)<f(c)  B．f(c)<f(b)<f(a)

C．f(c)<f(a)<f(b)  D．f(b)<f(c)<f(a)

答案　B

解析　a＝＝>>1，c＝log2<0，所以c<b<a.

因为f(x)＝2x－2－x＝2x－x在R上单调递增，所以f(c)<f(b)<f(a)．

3．已知函数f(x)的定义域为R，对任意x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2，且f(－3)＝－4，则不等式f(log|3x－1|)>log|3x－1|－1的解集为(　　)

A．(2，＋∞)   B．(－∞，2)

C．(0,1)∪(1,2)   D．(－∞，0)∪(0,2)

答案　D

解析　由对任意x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2，得f(x1)－x1<f(x2)－x2.

令g(x)＝f(x)－x，则有对任意x1<x2，都有g(x1)<g(x2)，所以g(x)在R上单调递增，因为f(－3)＝－4，所以g(－3)＝f(－3)－(－3)＝－1，所以f(log|3x－1|)>log|3x－1|－1等价于g(log|3x－1|>g(－3)，所以log|3x－1|>－3＝log8，所以0<|3x－1|<8，解得x<2且x≠0，故所求不等式的解集是(－∞，0)∪(0,2)．