2020年高考数学理科一轮复习讲义：第1章集合与常用逻辑用语第3讲

第3讲　简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词
[考纲解读]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，并理解全称量词与存在量词的含义．(重点、难点)
2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定．(重点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考对命题及量词的考查主要有：①判断全称命题与特称命题的真假；②全称命题、特称命题的否定；③根据命题的真假求参数的取值范围.


1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．
(2)概念
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；
对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.
(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真

2．全称量词和存在量词

量词名词
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃

3．全称命题和特称命题

名称形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)



1．概念辨析
(1)命题“3≤3”是假命题．(　　)
(2)命题p与綈p不可能同真，也不可能同假．(　　)
(3)p，q中有一个假，则p∧q为假．(　　)
(4)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．小题热身
(1)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　因为p，q都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
(2)命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≤0的否定是(　　)
A．∃x0∈R，x－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0
C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，x－x0＋1<0
答案　C
解析　由已知得綈p是“∀x∈R，x2－x＋1>0”．
(3)下列命题中的假命题是(　　)
A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sinx0＝0
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0
答案　C
解析　因为lg 10＝1，所以A是真命题；
因为sin0＝0，所以B是真命题；
因为(－2)3<0，所以C是假命题．
由指数函数的性质知∀x∈R,2x>0是真命题．
(4)命题“任意末位数字是5的整数都能被5整除”，该命题的否定是________________，该命题的否命题是________________．
答案　存在末位数字是5的整数不能被5整除　末位数字不是5的整数不能被5整除
解析　命题的否定是否定命题的结论，即“存在末位数字是5的整数不能被5整除”．原命题可以改写为“若整数的末位数字为5，则该整数能被5整除”，其否命题是“若整数的末位数字不是5，则该整数不能被5整除”，简化为“末位数字不是5的整数不能被5整除”．




题型 　含有逻辑联结词的命题的真假判断

1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
答案　A
解析　因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．
2．“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　(綈p)∨q为真命题包括以下情况：p假q假，p假q真，p真q真；
p∧(綈q)为假命题包括以下情况：p假q真，p假q假，p真q真．
所以“(綈p)∨q”为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的充要条件．


1．判断含有逻辑联结词命题真假的步骤

2．熟记一组口诀
“或”命题一真即真，“且”命题一假即假，“非”命题真假相反．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．(2018·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为(　　)
A．p∧q B．p∨q C．p∧(綈q) D．綈q
答案　B
解析　由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，
所以命题p是假命题．
由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，
所以函数y＝的值域为(0,1)，故命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．
2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．
答案　②③
解析　因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q，(綈p)∨q是假命题，p∨q，p∧(綈q)是真命题．故答案为②③.
题型 　全称命题、特称命题

角度1　全称命题、特称命题的真假判断
1．(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x>x，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．(綈p)∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q
答案　A
解析　当x＝－1时，x＋<2，故p是假命题；当x0＝时，2>3，故q是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)，p∧q都是假命题．
角度2　含有一个量词的命题的否定
2．(1)已知定义在R上的函数f(x)周期为T(常数)，则命题“∀x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是____________；
(2)命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的否定是____________________．
答案　(1)∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)
(2)角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等
解析　(1)量词“∀”改为“∃”，f(x)＝f(x＋T)改为f(x)≠f(x＋T)，故已知命题的否定是∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)．
(2)①改量词，本题中省略了量词“所有”，应将其改为“有的”；
②否定结论，“距离相等”改为“距离不相等”．
故已知命题的否定是“角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等”．




1．全(特)称命题真假的判断方法

全称
命题
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．如举例说明1中命题p的真假判断
特称
命题
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．如举例说明1中命题q的真假判断

2.对全(特)称命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．如举例说明2(2)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
答案　C
解析　命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，故綈p：∀n∈N，n2≤2n.
2．命题p：存在x∈，使sinx＋cosx>；命题q：“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p∧q，(綈p)∧q，p∨(綈q)中，正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　因为sinx＋cosx＝sin≤，所以命题p是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题．则(綈p)∨(綈q)为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧q为真命题，p∨(綈q)为假命题．
所以四个命题中正确的命题有2个．故选B.
题型 　根据命题的真假求参数的取值范围

1．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为________．
答案　(－∞，－2]∪[1,2)
解析　若p为真命题，则Δ＝(2a)2－4×1×4<0，解得－2 若q为真命题，则3－2a>1，a<1，记B＝{a|a<1}．
因为p或q为真，p且q为假，
所以p真q假或p假q真．
所以a∈A∩(∁RB)或(∁RA)∩B，
所以a∈[1,2)或a∈(－∞，－2]，
所以a的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2)．
2．已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　x1∈[0,3]时，f(x1)∈[0，ln 10]，x2∈[1,2]时，g(x2)∈.因为对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，所以只需0≥－m，解得m≥.
条件探究　举例说明2中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解　当x2∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.


1．根据复合命题的真假求参数的取值范围的步骤
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假；
(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．如举例说明1.
2．根据全称命题、特称命题的真假求参数的取值范围
(1)巧用三个转化
①全称命题可转化为恒成立问题，如举例说明2.
②特称命题可转化为存在性问题．
③全(特)称命题假可转化为特(全)称命题真．
(2)准确计算
通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p且綈q为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案　(1,2]
解析　由题意得，若命题p为真命题，则
或
解得a>1，记A＝{a|a>1}，
若命题q为真命题，则2－a<0，得a>2，记B＝{a|a>2}，
若p且綈q为真命题，则p真q假，
所以a∈A∩(∁RB)＝(1,2]．
2．(2018·安徽皖南八校三模)若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋9<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
答案　[－5,7]
解析　命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋9<0”的否定是“∀x∈R，使x2＋(a－1)x＋9≥0”，它是真命题，则(a－1)2－36≤0，－5≤a≤7.
高频考点　常用逻辑用语
考点分析　有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，通常以选择题、填空题形式出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．
[典例1]　(2018·安徽安庆二模)下列说法中正确的是(　　)
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题
C．若命题p：∃x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1>0
D．x>1是x2>1的必要不充分条件
答案　A
解析　B错误，若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题．
C错误，綈p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0.
D错误，x>1是x2>1的充分不必要条件．
[典例2]　(2018·湖北新联考四模)若x>2m2－3是－1 A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
答案　D
解析　∵x>2m2－3是－1 ∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.
[典例3]　若∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(2，3]
C. D．{3}
答案　A
解析　∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，所以其否定∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立，为真命题．所以λ≤2x＋对x∈恒成立．
因为2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立．
所以min＝2，所以λ≤2.
方法指导　1.理解基本概念，重视知识联系,常用逻辑用语在高考题中常以客观题的形式考查，属于中、低档题，因此，复习此部分内容时，首先要重视基本概念，其次要注意熟练把握各类知识的内在联系.
2.加强转化意识、增强集合应用
(1)转化依据
①互为逆否的两个命题真假性相同.
②p与綈p的真假性相反.
(2)集合的应用
①p，q分别对应集合A，B，则p∧q对应A∩B，p∨q对应A∪B，綈p对应∁UA.
②条件p，q分别对应A，B，则p⇒q等价于A⊆B，q⇒p等价于B⊆A.