2020年高考数学理科一轮复习讲义：第1章集合与常用逻辑用语第1讲

第1讲　集合的概念与运算

[考纲解读]　1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．

2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)

3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)

4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

2．集合间的基本关系

3．集合的基本运算

4．集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．

(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．

1．概念辨析

(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.(　　)

(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　)

(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．(　　)

(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(　　)

A．{x|－2<x<－1}   B．{x|－2<x<3}

C．{x|－1<x<1}   D．{x|1<x<3}

答案　A

解析　A∩B＝{x|－2<x<－1}．

(2)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于(　　)

A．{1,4}  B．{1,5}  C．{2,5}  D．{2,4}

答案　D

解析　∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．

(3)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.

答案　0或3

解析　∵A＝{1,3，}，B＝{1，m}，B⊆A，

∴m＝3或m＝，

∴m＝3或0或1，经检验m＝0或3.

(4)已知集合A＝，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为________．

答案　∅，{0}，{4}，{0,4}

解析　由题意得＝x2，y＝0，解得x＝2，

所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．

题型 　集合的基本概念

1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)

A.  B.  C．0  D．0或

答案　D

解析　当a＝0时，A＝，符合题意；

当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×2＝0，

解得a＝，此时A＝，符合题意．

综上知a＝0或.

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A．9  B．8  C．5  D．4

答案　A

解析　∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，

当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.

3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，

解得a＝0或a＝－1或a＝1.

当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；

当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；

当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．

综上知a＝0或1.

1．用描述法表示集合的两个关键点

(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．

(2)看这些元素满足什么限制条件．如举例说明1，关于x的方程只有一个实根．举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.

2．两个易错点

(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．

(2)忽视分类讨论．如举例说明1，要分a＝0与a≠0两种情况讨论．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　A

解析　若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素．

2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　)

A．－1∉A   B．－11∈A

C．3k2－1∈A   D．－34∉A

答案　C

解析　令k＝0得x＝－1，故－1∈A；

令－11＝3k－1，解得k＝－∉Z，故－11∉A；

令－34＝3k－1，解得k＝－11∈Z，故－34∈A；

对于3k2－1，因为k∈Z时，k2∈Z，

所以3k2－1∈A.所以C项正确．

题型 　集合间的基本关系

1．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2018＋b2018为(　　)

A．1  B．0  C．－1  D．±1

答案　A

解析　∵＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0.

∴b＝0，a2＝1，又∵a≠1，∴a＝－1，∴a2018＋b2018＝1.

2．已知集合M＝，集合N＝，则(　　)

A．MN   B．NM

C．M＝N   D．以上都不对

答案　A

解析　∵＋＝π，k∈Z，

－＝π，k∈Z，

∴任取x∈M，有x∈N，且∈N，但∉M，

∴MN.

3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

答案　(－∞，3]

解析　因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.

②若B≠∅，则解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.

条件探究1　举例说明3中的集合B改为“B＝{x|m≤x≤m＋1}”，其余不变，该如何求解？

解　B＝{x|m≤x≤m＋1}≠∅，为使B⊆A，m须满足解得－2≤m≤4.

条件探究2　举例说明3中的集合A改为“A＝{x|x<－2或x>5}”，如何求解？

解　因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1<m＋1时，m<2，符合题意．

②当B≠∅时，或

解得或即m>4.

综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．

1．判断集合间关系的三种方法

2．根据集合间的关系求参数的策略

(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论

因为∅⊆A对任意集合A都成立．如举例说明3中2m－1<m＋1时，B＝∅，B⊆A也成立．

(2)借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．

(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A＝{x|－2<x≤5}，B＝{x|m＋1≤x<2m－1}，若B≠∅，为使B⊆A，m须满足

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则(　　)

A．B⊆A  B．A＝B  C．AB  D．BA

答案　C

解析　由题意得A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，∴AB.

2．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥2  B．a>2  C．a<0  D．a≤0

答案　A

解析　∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满足a≥2.

3．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．

答案　7

解析　集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.

题型 　集合的基本运算

角度1　集合的并、交、补运算

1．(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(　　)

A．{－1,1}   B．{0,1}

C．{－1,0,1}   D．{2,3,4}

答案　C

解析　因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．

2．(2018·皖北协作区联考)已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg (x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝(　　)

A.  B．(－∞，0)∪

C.  D．(－∞，0]∪

答案　D

解析　因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg (x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪.

角度2　知集合的运算结果求参数

3．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m＝________.

答案　1或2

解析　A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A.

x2＋(m＋1)x＋m＝0可化为(x＋1)(x＋m)＝0，

当m＝1时，B＝{－1}，符合题意；

当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.

综上知m＝1或2.

1．求集合交集、并集或补集的步骤

2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点

(1)分析运算结果并进行恰当转换．

如举例说明3中，由(∁UA)∩B＝∅，知B⊆A.

(2)化简集合为求参数创造有利条件．

如举例说明3中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图)表示的集合是(　　)

A．[－1,1)

B．(－3,1]

C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)

D．(－3，－1)

答案　D

解析　由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，所以阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝(－3，－1)．

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)

A．{x|－1<x<2}   B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}   D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

答案　B

解析　解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

3．(2019·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是(　　)

A．(－2，＋∞)   B．(4，＋∞)

C．(－∞，－2]   D．(－∞，4]

答案　C

解析　集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．

题型 　集合的新定义问题

已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①M＝；

②M＝{(x，y)|y＝log2x}；

③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；

④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．

其中是“垂直对点集”的序号是(　　)

A．①④  B．②③  C．③④  D．②④

答案　C

解析　记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为(1,0)时，不存在B∈M满足题意．对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sinx＋1的图象相交，即③④满足题意．

与集合相关的新定义问题的解题思路

(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．

(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如果集合A满足：若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.

答案　{0,6}

解析　由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．