2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第12讲
展开第12讲 定积分与微积分基本定理
1.定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝ f(ξi)．其中f(x)称为被积函数，a称为积分下限，b称为积分上限．
2.定积分的几何意义
3.定积分的性质
性质1：kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．
性质2：[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx.
性质3：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.
4.微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)|，即f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
5.定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为S.
(1)S＝f(x)dx；
(2)S＝－f(x)dx；
(3)S＝f(x)dx－f(x)dx；
(4)S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
6.函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有：
(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.
(2)设f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.
1.概念辨析
(1)在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝|f(x)|dx.( )
(2)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( )
(3)已知质点的速度v＝mt(m>0)，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是mtdt＝.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2.小题热身
(1)如图，指数函数的图象过点E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于( )
A. B．8
C. D．9
答案 A
答案 B
(3) |x|dx＝________.
答案
解析 |x|dx的几何意义是函数y＝|x|的图象与x轴围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以|x|dx＝×1×1＋×2×2＝.
(4)若x2dx＝9，则常数t的值为________．
答案 3
解析 x2dx＝|＝＝9，解得t＝3.
题型 定积分的计算
答案 C
解析
2. (3x3＋4sinx)dx＝________.
答案 0
解析 易证函数f(x)＝3x3＋4sinx为奇函数，
所以 (3x3＋4sinx)dx＝0.
3.dx＝________.
答案
解析
求定积分的常用方法
(1)微积分基本定理法
其一般步骤为：
①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商．
②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．
③分别用求导公式找到一个相应的原函数．
④利用微积分基本定理求出各个定积分的值．
⑤计算原始定积分的值．
(2)几何意义法
将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值．如举例说明3.
(3)基本性质法
对绝对值函数、分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解．
1.(2018·华南师大附中一模)|x2－4|dx＝( )
A.7 B. C. D．4
答案 C
解析
2. e|x|dx的值为________．
答案 2(e－1)
解析
3.若f(x)＝，则f(x)dx＝________.
答案 π
解析 令y＝，则(x－1)2＋y2＝4(y≥0)，所以函数f(x)的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方(包括x轴)的部分，所以f(x)dx＝×π×22＝π.
题型 利用定积分求平面图形的面积
角度1 求平面图形的面积(多维探究)
1.(2018·玉溪模拟)由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3及x轴所围成的曲边四边形的面积为( )
A. B.
C.＋ln 3 D．4－ln 3
答案 C
解析
条件探究1 将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形”，试求此平面图形的面积．
解
条件探究2 将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由y＝，y＝－x＋2及x轴围成的封闭图形”，试求此平面图形的面积．
解
角度2 已知平面图形的面积求参数
答案 (1,1)
解析
角度3 与其他知识的交汇命题
答案 B
解析 由题意可得，是与面积有关的几何概率问题．构成试验的全部区域是矩形OABC，面积为a×＝6，
记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积，为
利用定积分求平面图形面积的四个步骤
1．如图所示，阴影部分的面积为( )
A. B. C．1 D.
答案 C
解析
2．如图，点M在曲线y＝，若由曲线y＝与直线OM所围成的阴影部分的面积为，则实数a等于( )
A. B.
C．1 D．2
答案 C
解析
3．若函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．
答案
解析
题型 定积分在物理中的应用
1．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
答案 C
解析
2．一物体做变速直线运动，其 vt曲线如图所示，则该物体在～6 s间的运
动路程为________ m.
答案
解析
1．物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析
2．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.
答案 36
解析
