2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第9讲

第9讲　函数模型及其应用

[考纲解读]　1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤．(重点)

2.了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较．

3.建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题．(难点)

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个冷考点．预测2020年高考将主要考查现实生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等热点问题中的增长或减少问题，以一次函数、二次函数、指数、对数型函数及对勾函数模型为主，考查考生建模能力和分析解决问题的能力.

1．七类常见函数模型

2．指数、对数、幂函数模型的性质

3．解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

1．概念辨析

(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)

(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)

(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√

2．小题热身

(1)(2019·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：

则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　)

A．y＝2x＋1－1   B．y＝x2－1

C．y＝2log2x   D．y＝x3

答案　B

解析　根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.

(2)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)

答案　B

解析　当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.

(3)据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系y＝alog3(x＋2)，观察发现2012年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2018年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为(　　)

A．4000只  B．5000只  C．6000只  D．7000只

答案　C

解析　当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2018年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000，故选C.

(4)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)

答案　2500

解析　设围成的矩形的长为x m，则宽为 m，

则S＝x·＝(－x2＋200x)．

当x＝100时，Smax＝2500 m2.

题型 　用函数图象刻画变化过程

1．如图，不规则图形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为(　　)

答案　D

解析　由题意得，当x增大时，左侧部分的面积y，开始时增大的速度快，后来均匀增大，最后缓慢增大，只有D选项符合题意．

2．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

答案　D

解析　由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．

因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，

则AD＝＝4－x，

所以y＝x(4－x)－

＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，

显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，

且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.

判断函数图象与实际问题中两变量

变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)

答案　C

解析　根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有C正确．

2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)

A．①  B．①②  C．①③  D．①②③

答案　A

解析　由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.

题型 　已知函数模型的实际问题

(2018·珠海模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0，且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．

(1)试求p＝f(t)的函数关系式；

(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．

解　(1)当t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，将点(14,81)代入得c＝－，∴当t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－(t－12)2＋82；

当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝.

所以p＝f(t)＝

(2)当t∈(0,14]时，－(t－12)2＋82≥80，

解得12－2≤t≤12＋2，

所以t∈[12－2，14]；

当t∈(14,40]时，log(t－5)＋83≥80，

解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，

综上t∈[12－2，32]，即老师在t∈[12－2，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．

条件探究　将举例说明改为学习效率指数y与学习时间t(小时)之间的关系满足如图所示的曲线．

当0≤t≤1时，曲线是一次函数图象的一部分，

当1<t≤5时，曲线是函数y＝t－a＋1的一部分．

(1)试求y＝g(t)的函数关系式；

(2)试求学习效率指数不低于1.25的持续时间．

解　(1)由题中图象，

设y＝

当t＝1时，y＝5，所以k＋1＝5，解得k＝4.

由1－a＋1＝5，解得a＝3，

所以y＝

(2)由y≥1.25得

或

解得≤t≤5,5－＝(小时)．

求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2017年前三个月的煤气费如下表：

若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)

A．11.5元  B．11元  C．10.5元  D．10元

答案　A

解析　根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5，故选A.

2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

答案　24

解析　由题意得即所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(小时)．

题型 　构建函数模型的实际问题

角度1　构造一次函数、二次函数模型

1．已知直角梯形ABCD如图所示，CD＝2，AB＝4，AD＝2，线段AB上有一点P，过点P作AB的垂线l，当点P从点A运动到点B时，记AP＝x，l截直角梯形的左边部分面积为y，则y关于x的函数关系式为________．

答案　y＝

解析　易知0≤x≤4，当0≤x≤2时，y＝2x，

当2<x≤4时，y＝6－(4－x)2，

∴y＝

角度2　构造指数函数、对数函数模型

2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解　(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)，

则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，

解得x＝1－.

(2)设经过m年剩余面积为原来的，

则a(1－x)m＝a，

即＝，

即＝，解得m＝5.

故到今年为止，该森林已砍伐了5年．

角度3　构造分段函数模型

3．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解　(1)当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115>0，解得x>2.3，

∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.

当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.

令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20，x∈Z.

∴y＝

(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，

显然当x＝6时，ymax＝185；

对于y＝－3x2＋68x－115

＝－32＋(6<x≤20，x∈Z)，

当x＝11时，ymax＝270.

∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．

角度4　构造y＝x＋(a>0)型函数

4．某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；

(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？

解　(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，

∵C(0)＝＝4，∴k＝1000，

∴y＝0.2x＋×4＝0.2x＋(x≥0)．

(2)y＝0.2(x＋5)＋－1≥2－1＝7，当0.2(x＋5)＝，即x＝15时，ymin＝7，故当x为15平方米时，y取得最小值7万元．

1．解函数应用题的一般步骤

第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；

第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

2．建模的基本原则

(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．

(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．

(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　B

解析　设至少要洗x次，则x≤，∴x≥≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.

2．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.

答案　45

解析　由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，

∴S＝(x－2)a＋(x－3)b

＝(3x－8)a＝(3x－8)

＝1808－3x－y.

解法一：S＝1808－3x－×

＝1808－(x>0)，

≤1808－2

＝1808－240＝1568.

当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值．

此时y＝＝45.

所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

解法二：设S＝f(x)＝1808－(x>0)，

f′(x)＝－3＝，

令f′(x)＝0得x＝40，

当0<x<40时，f′(x)>0，

当x>40时，f′(x)<0.

所以当x＝40时，S取得最大值．此时y＝45，

所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

3．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．

答案　2

解析　设横断面的高为h，

根据题意知，9＝(AD＋BC)h，

其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，

所以9＝(2BC＋x)·x，得BC＝－，

由得2≤x<6.

所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，

y＝＋≥2＝6，

当且仅当＝，即x＝2时取等号．

故所求防洪堤的腰长为2米．

4．(2019·河南中原名校质检)某工厂每日生产某种产品x(x≥1)吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当1≤x≤20时，每日的销售额y(单位：万元)与当日的产量x满足y＝aln x＋b，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况．已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元．

(1)把每日销售额y表示为日产量x的函数；

(2)若每日的生产成本c(x)＝x＋1(单位：万元)，当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．(注：计算时取ln 2＝0.7，ln 5＝1.6)

解　(1)因为x＝2时，y＝4.5，所以0.7a＋b＝4.5，①

当x＝4时，y＝8，所以1.4a＋b＝8，②

由①②解得a＝5，b＝1，所以当1≤x≤20时，

y＝5ln x＋1，当x＝20时，

y＝5ln 20＋1＝5×(2ln 2＋ln 5)＋1

＝5×(1.4＋1.6)＋1＝16，

所以y＝

(2)当日产量为x吨时，每日利润为l(x)，则

l(x)＝y－c(x)＝

①若1≤x≤20，则l′(x)＝－＝，

当1≤x<10时，l′(x)>0；

当10<x≤20时，l′(x)<0，

故x＝10是函数在[1,20]内唯一的极大值点，也是最大值点，所以l(x)max＝l(10)＝5ln 10－×10＝6.5万元．

②若x>20，则l(x)＝15－x，显然l(x)＝15－x单调递减，故l(x)<5.

结合①②可知，当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元．