2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第3讲

第3讲　函数的奇偶性与周期性

[考纲解读]　1.了解函数奇偶性的含义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)

[考向预测]　从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2020年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.

1．函数的奇偶性

2．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．概念辨析

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)

(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(　　)

(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)

(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)下列函数中为奇函数的是(　　)

A．y＝x2sinx   B．y＝x2cosx

C．y＝|ln x|   D．y＝2－x

答案　A

解析　A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．

(2)奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　)

A．f(2)>0>f(4)

B．f(2)<0<f(4)

C．f(2)>f(4)>0

D．f(2)<f(4)<0

答案　A

解析　因为奇函数y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)．

因为f(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．

(3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．

答案　5

解析　由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.

(4)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.

答案　6

解析　因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因为当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.

题型 　函数的奇偶性

角度1　判断函数的奇偶性

1．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝(1－x) ；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝

解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－，}，

∴f(x)＝＋＝0.

∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)由≥0得－1≤x<1，

所以f(x)的定义域为[－1,1)，

所以函数f(x)是非奇非偶函数．

(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．

∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，

∴f(x)＝.

又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知，对于定义域内的任意x，

总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．

角度2　奇函数、偶函数性质的应用

2．(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________；

(2)已知f(x)＝，若f(ln (＋a))＝1，则f(ln (－a))＝________；

(3)(2018·河南南阳模拟)若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.

答案　(1)－x3－x＋1　(2)－3　(3)1或－1

解析　(1)当x<0时，－x>0.

因为f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，

所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.

(2)f(x)＋f(－x)＝＋＝＝－2，

而ln (＋a)＋ln (－a)＝ln 1＝0，

因此f(ln (＋a))＋f(ln (－a))＝－2，

f(ln (－a))＝－2－1＝－3.

(3)令u(x)＝1－，

根据函数f(x)＝x为偶函数，

可知u(x)＝1－为奇函数，

利用u(0)＝1－＝0，

可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.

1．判断函数奇偶性的两种方法

(1)定义法

(2)图象法

2．函数奇偶性的应用

(1)求函数解析式

①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．如举例说明2(1)．

(2)求参数值

在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．如举例说明2(3)．

注意：利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0”的性质解决有关最值问题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋a，则f(－8)＝(　　)

A．－3－a  B．3＋a  C．－2  D．2

答案　C

解析　由题意得f(0)＝log31＋a＝0，所以a＝0.

所以当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2.

2．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数   B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数   D．|f(x)g(x)|是奇函数

答案　C

解析　对于A，令h(x)＝f(x)g(x)，

则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，

∴h(x)是奇函数，A错误；

对于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)，

则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)

＝|f(x)|·g(x)＝h(x)，

∴h(x)是偶函数，B错误；

对于C，令h(x)＝f(x)|g(x)|，

则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，

∴h(x)是奇函数，C正确；

对于D，令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，

∴h(x)为偶函数，D错误．

3．(2018·安徽合肥月考)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)

A．3  B．0  C．－1  D．－2

答案　B

解析　设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.

题型 　函数的周期性

1．(2019·陕西咸阳模拟)已知奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则(　　)

A．函数f(x)是以2为周期的周期函数

B．函数f(x)是以4为周期的周期函数

C．函数f(x＋1)是奇函数

D．函数f(x＋2)是偶函数

答案　B

解析　根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数，则满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，

所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为4.

2．(2018·安徽淮南二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2018)＝________.

答案　1

解析　因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，

所以f(x＋4)＝＝f(x)，

所以函数f(x)的周期为4.

当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，

所以f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)

＝＝＝1.

条件探究1　举例说明2中的“f(x＋2)＝”改为“f(x＋1)＝”，其他条件不变，求f(2019)．

解　因为f(x＋2)＝＝

＝＝－，

所以f(x＋4)＝－＝f(x)．

故函数f(x)的周期为4.

所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝－＝－.

条件探究2　举例说明2中的“e”改为“2”，其他条件不变，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)的值．

解　因为函数f(x)的周期为4，且f(1)＝1＋2＝3，f(2)＝＝＝1，f(3)＝＝，f(4)＝＝1，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)

＝504×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)

＝504×＋3＋1

＝2692.

函数周期性的判定与应用

(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.

(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等于的是(　　)

A．f(2x)  B．f

C．2f(x)  D．f(x2)

答案　A

解析　由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f＝f(2x)，所以函数f(2x)的周期是；f＝f，即f＝f，所以函数f的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函数2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是周期函数．

2．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＝________.

答案　

解析　因为f(x)的周期为4，则f＝f＝f＝cos＝cos＝，所以f＝f＝×＝.

3．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．

答案　7

解析　因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，

则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.

又f(1)＝0，

∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，

故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．

题型 　函数性质的综合应用

角度1　单调性与奇偶性结合

1．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　由于函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f(x)为偶函数，则由f(2x－1)<f得f(|2x－1|)<f，所以|2x－1|<，所以－<2x－1<，解得<x<.故x的取值范围是.

角度2　周期性与奇偶性结合

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)

A．－50  B．0  C．2  D．50

答案　C

解析　因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，

f(x＋4)＝f(1－(x＋3))＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f(1－(x＋1))＝－f(－x)＝f(x)．

所以f(x)是周期为4的函数．

因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，

因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，

因为f(2)＝f(2－4)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故选C.

角度3　单调性、奇偶性和周期性结合

3．(2019·哈尔滨六中模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是(　　)

A．减函数且f(x)>0  B．减函数且f(x)<0

C．增函数且f(x)>0  D．增函数且f(x)<0

答案　D

解析　当x∈时，－x∈.因为当x∈时，f(x)＝log(1－x)且f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log (1＋x)，所以f(x)在上是增函数，当x∈时，1＋x∈，所以log (1＋x)∈(0,1]，－log (1＋x)∈[－1,0)．因为f＝f(x)，所以函数f(x)的周期是，所以f(x)在区间上的图象与在区间上的图象相同，所以f(x)在区间内是增函数且f(x)<0.

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．如举例说明1.

(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．如举例说明3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－2,2]   B．[－1,1]

C．[0,4]   D．[1,3]

答案　D

解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.

故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．

又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，

∴1≤x≤3.故选D.

2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A．f(－25)<f(11)<f(80)

B．f(80)<f(11)<f(－25)

C．f(11)<f(80)<f(－25)

D．f(－25)<f(80)<f(11)

答案　D

解析　因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝8，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，又奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，所以f(－25)<f(80)<f(11)．

3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，f(－2)＝－3.数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－1，Sn＝2an＋n，则f(a5)＋f(a6)＝________.

答案　3

解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

又∵f＝f(x)，∴f＝－f(－x)．

∴f(3＋x)＝f

＝－f＝－f(－x)＝f(x)．

∴f(x)是以3为周期的周期函数．

∵数列{an}满足a1＝－1，且Sn＝2an＋n，

∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1，

则an＝2an－2an－1＋1，

即an＝2an－1－1，

∴an－1＝2(an－1－1)(n≥2)，

则an－1＝－2·2n－1＝－2n，

∴an＝1－2n.上式对n＝1也成立．

∴a5＝－31，a6＝－63.

∴f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63)

＝f(2)＋f(0)＝f(2)

＝－f(－2)＝3.