2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第6讲

第6讲　对数与对数函数

[考纲解读]　1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．

2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)

3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．

4.了解指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.

1．对数

2．对数函数的图象与性质

续表

3．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．概念辨析

(1)log2x2＝2log2x.(　　)

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)

(3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　)

(4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．小题热身

(1)已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

答案　B

解析　y＝loga(－x)的定义域是(－∞，0)，所以排除A，C；对于选项D，由y＝ax的图象知0<a<1，由y＝loga(－x)的图象知a>1，矛盾，故排除D.故选B.

(2)设a＝log2，b＝e，c＝ln π，则(　　)

A．c<a<b   B．a<c<b

C．a<b<c   D．b<a<c

答案　C

解析　a＝log2<0，b＝e∈(0,1)，c＝ln π>1，所以a<b<c.

(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是________．

答案　①②③④⑤

解析　lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；logmn·log3m＝·log3m＝log3n＝2，故n＝9，故⑤正确．

(4)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________.

答案　1

解析　由已知得f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1.

题型 　对数式的化简与求值

1．已知函数f(x)＝则f[f(1)]＋f的值是________．

答案　5

解析　因为f(1)＝log21＝0，所以f[f(1)]＝f(0)＝2.

因为log3<0，所以f＝3－log3＋1

＝3log32＋1＝2＋1＝3.

所以f[f(1)]＋f＝2＋3＝5.

2．计算下列各式：

(1)；

(2)log3log5[4log210－(3)－7log72]．

解　(1)原式＝＝＝1.

＝·log5(10－3－2)

＝log55＝－.

3．已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.

解　因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，

于是log3645＝＝＝＝.

对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．

(3)转化：ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

计算下列各式：

(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________；

(2)若lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，则log的值为________；

(3)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.

答案　(1)2　(2)2　(3)

解析　(1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52

＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.

(2)由已知得lg (xy)＝lg (2x－3y)2，

所以xy＝(2x－3y)2，整理得4x2－13xy＋9y2＝0，

即42－13×＋9＝0，

解得＝1或＝.

由x>0，y>0,2x－3y>0可得＝1，不符合题意，舍去，

所以log＝log＝2.

(3)原式＝·

＝·

＝·＝.

题型 　对数函数的图象及应用

1．(2019·青岛模拟)函数f(x)＝lg (|x|－1)的大致图象是(　　)

答案　B

解析　易知f(x)为偶函数，且

f(x)＝

当x＞1时，y＝lg x的图象向右平移1个单位，可得y＝lg (x－1)的图象，结合选项可知，f(x)的大致图象是B.

2．当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　)

A.  B.  C．(1，)  D．(，2)

答案　B

解析　构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，画出两个函数在上的草图(图略)，可知，若g(x)经过点，则a＝，所以a的取值范围为.

条件探究1　若举例说明2变为：若方程4x＝logax在上有解，求实数a的取值范围．

解　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0<a≤.

条件探究2　若举例说明2变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．

解　由x2－logax<0得x2<logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．

当a>1时，显然不成立；

当0<a<1时，如图所示，

要使x2<logax在x∈上恒成立，

需f1≤f2，

所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a<1.

即实数a的取值范围是.

条件探究3　若举例说明2变为：当0<x≤时，<logax，求实数a的取值范围．

解　若<logax在x∈时成立，则0<a<1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，

由图象知 <loga，

所以解得<a<1.

即实数a的取值范围是.

1．对数函数图象的特征

(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0<a<1时，图象下降．

(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c<d<1<a<b.

在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；

在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．

(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)

2．利用对数函数的图象可求解的三类问题

(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y＝logax的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，，特别地要注意a>1和0<a<1的两种不同情况．

(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)

答案　B

解析　因为lg a＋lg b＝0，所以lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知，B正确．

2．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．

答案　(0,1)

解析　由图象可知0<a<1<b<10，

又因为|lg a|＝|lg b|＝c，所以lg a＝－c，lg b＝c，

即lg a＝－lg b，lg a＋lg b＝0，

所以ab＝1，于是abc＝c，而0<c<1.

故abc的取值范围是(0,1)．

题型 　对数函数的性质及应用

角度1　比较对数值的大小

1．(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c  B．b>a>c  C．c>b>a  D．c>a>b

答案　D

解析　因为e＝2.71828…>2，所以a＝log2e>log22＝1；b＝ln 2<ln e＝1；又因为c＝log＝log23>log22＝1，又因为a＝log2e<log23＝c，所以c>a>b.

角度2　解对数不等式

2．(2018·银川模拟)设函数f(x)＝

若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(0,1)

答案　C

解析　若a>0，则log2a>loga，即2log2a>0，所以a>1.

若a<0，则log(－a)>log2(－a)，即2log2(－a)<0，

所以0<－a<1，－1<a<0.

综上知，实数a的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．

角度3　与对数函数有关的综合问题

3．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，且a≠1)．

(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)当0<a<1时，求函数f(x)的单调区间．

解　令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，且a≠1，－3<u<3)，所以f(x)＝loga(a>0，且a≠1，－3<x<3)．

(1)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，

所以f(－x)＝－f(x)．

又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f(x)是奇函数．

(2)令t＝＝－1－，则t在(－3,3)上是增函数，当0<a<1时，函数y＝logat是减函数，所以f(x)＝loga(0<a<1)在(－3,3)上是减函数，

即函数f(x)的单调递减区间是(－3,3)．

1．比较对数值大小的方法

2．求解对数不等式的两种类型及方法

3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤

1．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0<c<1，则(　　)

A．ac<bc   B．abc<bac

C．alogbc<blogac   D．logac<logbc

答案　C

解析　解法一：由a>b>1,0<c<1，知ac>bc，A错误；

∵0<c<1，∴－1<c－1<0，∴y＝xc－1在x∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc－1>ac－1，又ab>0，∴ab·bc－1>ab·ac－1，即abc>bac，B错误；易知y＝logcx是减函数，

∴0>logcb>logca，

∴logbc<logac，D错误；由logbc<logac<0，得－logbc>－logac>0，又a>b>1>0，∴－alogbc>－blogac>0，

∴alogbc<blogac，故C正确．

解法二：依题意，不妨取a＝10，b＝2，c＝.易验证A，B，D错误，只有C正确．

2．已知函数f(x)＝若f[f(x)]≥－2，则x的取值范围为(　　)

A．[－2,1]   B．[，＋∞)

C．[－2,1]∪[，＋∞)   D．[0,1]∪[，＋∞)

答案　C

解析　解法一：①若x≤0，则f[f(x)]＝log22x＝x≥－2，所以－2≤x≤0.

②若x>1，则f[f(x)]＝log2(log2x)≥－2，log2x≥2－2，x≥2＝，所以x≥.

③若0<x≤1，则f[f(x)]＝2log2x＝x≥－2，

所以0<x≤1.

综上知，x的取值范围是[－2,1]∪[，＋∞)．

解法二：作出函数f(x)的图象如下：

由图象可知，若f[f(x)]≥－2，则f(x)≥或f(x)≤0.

再次利用图象可知x的取值范围是[－2,1]∪[，＋∞)．

3．函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为________．

答案　－

解析　f(x)＝log2x·2log2(2x)

＝log2x(log22＋log2x)

＝log2x＋(log2x)2

＝2－，

所以当log2x＝－，即x＝时，f(x)取得最小值－.