2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第10讲

第10讲　导数的概念及运算

[考纲解读]　1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．

2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数，并对导数的几何意义和物理意义做充分理解．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2020年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.

1．变化率与导数

(1)平均变化率

(2)导数

2．导数的运算

1．概念辨析

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)

(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)

(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)

(4)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．小题热身

(1)下列函数求导运算正确的个数为(　　)

①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(e1－x)′＝e1－x；④′＝x.

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　A

解析　①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝，正确；③中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，′＝＝－，错误，因此求导运算正确的个数为1.

(2)有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　s′＝′＝2t－，当t＝2时，s′＝2×2－＝，所以该机器人在t＝2时的瞬时速度为.

(3)函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为(　　)

A．10  B．5  C．－1  D．－

答案　D

解析　∵f(x)＝x3＋4x＋5，

∴f′(x)＝3x2＋4，

∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7，

又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，

∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，

当y＝0时，x＝－，切线在x轴上的截距为－.

(4)曲线y＝在x＝处的切线方程为________．

答案　y＝－x＋

解析　因为y′＝′＝，

当x＝时，y′＝＝－，

所以曲线y＝在x＝处的切线方程为

y－＝－，

整理得y＝－x＋.

题型 　导数的运算

1．(2019·湖南十二校联考)若函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.

答案　8

解析　因为f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，

所以f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，

解得f′(－1)＝－2，所以f′(1)＝1＋4＋3＝8.

2．求下列函数的导数：

(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；

(2)y＝x－sin2xcos2x；

(3)y＝excosx；

(4)y＝.

解　(1)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，

所以y′＝18x2＋4x－3.

(2)因为y＝x－sin2xcos2x，所以y＝x－sin4x，

所以y′＝1－cos4x×4＝1－2cos4x.

(3)y′＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′

＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．

(4)y′＝′

＝

＝

＝

＝.

1．谨记一个原则

先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．

2．熟记求导函数的五种形式及解法

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．

3．求复合函数的导数的一般步骤

(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．

(2)由外向内逐层求导．如举例说明2(4)中对ln (2x＋1)的求导．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求下列函数的导数：

(1)y＝ln x＋；(2)y＝；

(3)y＝(x2＋2x－1)e2－x.

解　(1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.

(2)y′＝′＝＝.

(3)y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′

＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x)

＝(3－x2)e2－x.

题型 　导数的几何意义

角度1　求切线方程

1．过点(1，－2)且与y＝x3－3x相切的直线方程为(　　)

A．y＝－2或9x＋4y－1＝0

B．y＝－2

C．9x＋4y＋1＝0

D．y＝0或9x＋4y＋1＝0

答案　A

解析　y′＝3x2－3，设切点坐标为(x0，x－3x0)，此时在切点处的斜率为y′|x＝x＝3x－3，所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点(1，－2)代入切线方程，整理得2x－3x＋1＝0，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－，分别代入切线方程可得y＝－2或9x＋4y－1＝0.

2．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．

答案　y＝2x

解析　y′＝，k＝＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.

角度2　求切点坐标(多维探究)

3．(2019·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　　)

A．(0,0)   B．(1，－1)

C．(－1,1)   D．(1，－1)或(－1,1)

答案　D

解析　f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，

由题意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，

所以

由①知x0≠0，故②可化为1＋x＋ax0＝0，所以ax0＝－1－x代入①得3x＋2(－1－x)＝－1，即x＝1，

解得x0＝±1.

当x0＝1时，a＝－2，f(x0)＝x＋ax＝－1；

当x0＝－1时，a＝2，f(x0)＝x＋ax＝1，

所以点P的坐标为(1，－1)或(－1,1)．

条件探究　在举例说明3中增加条件“a>0”，若曲线y＝f(x)在点Q(x1，f(x1))处的切线与直线x＋4y＝0垂直，求点Q的坐标．

解　由举例说明3知f(x)＝x3＋2x2，

f′(x)＝3x2＋4x.

由题意得f′(x1)＝4，所以3x＋4x1＝4，

解得x1＝－2或x1＝，

f(－2)＝(－2)3＋2×(－2)2＝0，

f＝3＋2×2＝，

所以点Q的坐标为(－2,0)或.

角度3　求参数的值(范围)

4．(2018·成都诊断)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(0，＋∞)   D．[0，＋∞)

答案　D

解析　f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．

5．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝________.

答案　1

解析　由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，

则由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，

∴2a＋b＝1.

求切线方程问题的两种类型及方法

(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．如举例说明2.

(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：

①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；

②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为(　　)

A．x－y＋1＝0   B．x＋y＋1＝0

C．x－y－1＝0   D．x＋y－1＝0

答案　C

解析　因为f(0)＝2×0－e0＝－1，所以点P的坐标为(0，－1)．

因为f′(x)＝(2x－ex)′＝2－ex，所以f′(0)＝2－e0＝1，

所以曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y－(－1)＝1·(x－0)，整理得x－y－1＝0.故选C.

2．若曲线y＝x2与曲线y＝aln x在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则实数a＝(　　)

A．1  B.  C．－1  D．2

答案　A

解析　y′＝′＝，

y′＝(aln x)′＝，

由题意得

由①得s2＝ae代入②得t＝.

代入③得＝aln s，s＝，

所以()2＝ae，a＝1.

3．已知函数f(x)＝e2x－2ex＋ax－1，曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为(　　)

A．(3，＋∞)   B.

C.   D．(0,3)

答案　B

解析　f(x)＝e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)＝2e2x－2ex＋a，由题意可得2e2x－2ex＋a＝3的解有两个，即有2＝，即为ex＝＋或ex＝－，即有7－2a>0且7－2a<1，解得3<a<.

高频考点　导数的几何意义及其应用

考点分析　导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也可能出现在解答题中．常见的命题角度有：

(1)求切线方程；

(2)确定切点坐标；

(3)已知切线问题求参数；

(4)切线的综合应用．

[典例1]　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x  B．y＝－x  C．y＝2x  D．y＝x

答案　D

解析　因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x，故选D.

[典例2]　设函数g(x)＝x3＋x2＋3ln x＋b(b∈R)，若曲线y＝g(x)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b＝(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　g′(x)＝3x2＋5x＋，则g′(1)＝11，又g(1)＝＋b，故曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－＝11(x－1)，由该切线过点(0，－5)，得b＝.

[典例3]　如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)

A．y＝x3－x2－x   B．y＝x3＋x2－3x

C．y＝x3－x   D．y＝x3＋x2－2x

答案　A

解析　设所求函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，

由题意知

解得∴f(x)＝x3－x2－x.

方法指导　1.一个核心要素,求切线方程的核心要素是切点的横坐标x0，因为x0可“一点两代”，代入到原函数，即可得切点的纵坐标fx0，代入到导函数中可得切线的斜率f′x0＝k.一点一斜率即可用点斜式写出切线的方程.

2.一个易错点,在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点，“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论.