2019届高三文科数学二轮复习配套教案：第一篇专题六第1讲　直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质

第1讲　直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质

(对应学生用书第36页)

1.(2018·全国Ⅰ卷,文4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为a2=4+22=8,所以a=2,

所以e===.故选C.

2.(2018·全国Ⅱ卷,文6)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　A　)

(A)y=±x (B)y=±x

(C)y=±x (D)y=±x

解析:双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0.

又因为离心率==,

所以a2+b2=3a2.

所以b=a(a>0,b>0).

所以渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.故选A.

3.(2018·全国Ⅲ卷,文8)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　A　)

(A)[2,6] (B)[4,8] 

(C)[,3] (D)[2,3]

解析:由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==2,所以圆上的点到直线的最大距离是d+r=3,最小距离是d-r=.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以2≤S△ABP≤6.即△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.

4.(2018·全国Ⅲ卷,文10)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　D　)

(A) (B)2 (C) (D)2

解析:由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.故选D.

5.(2018·全国Ⅱ卷,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　D　)

(A)1- (B)2- (C) (D)-1

解析:由题设知∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,所以(+1)c=2a,故椭圆C的离心率e===-1.故选D.

6.(2015·全国Ⅱ卷,文7)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

所以

所以

所以△ABC外接圆的圆心为1,,故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为=.故选B.

1.考查角度

(1)圆的方程、直线与圆的位置关系.

(2)椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质.

2.题型及难易度

选择、填空题,有时也可能出直线与位置关系的解答题,难度为中、低档.

(对应学生用书第36~37页)

直线与圆

考向1　圆的方程

【例1】 一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　. 

解析:由题意知a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2(0<m<4,r>0),

则解得

所以圆的标准方程为x-2+y2=.

答案:x-2+y2=

考向2　直线与圆的位置关系

【例2】 (2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.

所以圆心C(0,-1),半径r=2.

圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,

所以|AB|=2=2=2.

答案:2

(2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断,并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.

热点训练1:(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　. 

解析:法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),

所以解得

所以圆的方程为x2+y2-2x=0.

法二　画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.

答案:x2+y2-2x=0

热点训练2:(2016·全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为　　　　. 

解析:因为x2+y2-2ay-2=0,

所以x2+(y-a)2=2+a2,

点(0,a)到直线y=x+2a的距离d==.

2+a2-=3,

所以a2=2,所以r2=2+a2=4,

圆面积S=πr2=4π.

答案:4π

圆锥曲线的定义与标准方程

考向1　圆锥曲线的定义及应用

【例3】 点P是双曲线-=1的右支上一点,点M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的动点,则|PM|-|PN|的最小值为(　　)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:a=4,b=3,c=5,所以双曲线两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),恰好为圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,

因为|PF1|-|PF2|=2a=8,

所以|PM|min=|PF1|-r1=|PF1|-2,

|PN|max=|PF2|+r2=|PF2|+1,

所以(|PM|-|PN|)min=(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=8-3=5.故选C.

考向2　圆锥曲线的方程

【例4】 (2018·山西省八校第一次联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l经过椭圆的上顶点A和右顶点B,并且和圆x2+y2=相切,则椭圆C的方程为(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

解析:由已知可得e2==,所以a2=b2,即a=b.因为椭圆C的上顶点A(0,b),右顶点B(a,0),所以直线l的方程为+=1,即2x+3y-3b=0.因为直线l与圆x2+y2=相切,所以圆心(即原点)到直线l的距离等于圆的半径,即=,解得b=2,所以a=3,所以椭圆C的方程为+=1.故选D.

①定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.②计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线设为mx2-ny2=1(mn>0).

热点训练3:

如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为(　　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:因为b2=2,c=,

所以|F1F2|=2.

又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,由余弦定理得

cos 120°==-,解得a=3.故选B.

热点训练4:(2018·福州市第一学期期末)已知双曲线C的两个焦点F1,F2都在x轴上,对称中心为原点O,离心率为.若点M在C上,且MF1⊥MF2,M到原点的距离为,则C的方程为(　　)

(A)-=1 (B)-=1

(C)x2-=1 (D)y2-=1

解析:由题意可知,OM为Rt△MF1F2斜边上的中线,所以|OM|=|F1F2|=c.由M到原点的距离为,得c=,又e==,所以a=1,所以b2=c2-a2=3-1=2.故双曲线C的方程为x2-=1.故选C.

圆锥曲线的几何性质

【例5】 (2018·广东广州海珠区一模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y-3)2=1相切,则双曲线的离心率为(　　)

(A)2 (B) (C) (D)3

解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,

依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-3)2=1相切,

设圆心(0,3)到直线bx±ay=0的距离为d,

则d==1,

所以8a2=b2,c2=a2+b2=9a2,

所以双曲线离心率e==3.

故选D.

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

热点训练5:(2018·广西柳州市一模)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:法一　因为点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,

所以=2,

设|PF2|=x,则|PF1|=2x,

由椭圆定义知x+2x=2a,

所以x=,

所以|PF2|=,则|PF1|=,

由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,

解得c=a,所以e==,选A.

法二　由PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2.

不妨设|PF1|=2,|PF2|=1,则|F1F2|=.

所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=.

所以e==.故选A.

热点训练6:椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点,则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　　　　. 

解析:由题意可知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,将其代入椭圆方程,消去y得(a2-b2)x2+a2b2-a2c2=0.因为圆与椭圆有交点,所以Δ=0-4(a2-b2)·(a2b2-a2c2)≥0,所以a2c2(a2-2c2)≤0,所以a2≤2c2,即e=≥,又椭圆的离心率e<1,所以≤e<1.

答案:,1

【例1】 (2018·江西赣州红色七校联考)已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心为(a,b),a-b+=0,①

⇒b=(a+1),

圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为d=1+=+1⇒|a+b|=2,②

由①②得|2a+1|=2,a<0,

故得a=-,a2+b2=a2+3(a+1)2=3.

【例2】 (2018·河南中原名校质检二)直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于两点A,B,线段AB的中点为 M(1,1),则椭圆的离心率是(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),

则

①-②整理得,=-·,

又kAB=-,

AB中点为M(1,1),所以-=-,

所以=,

所以e==.故选A.

【例3】 (2018·辽宁省八中模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,在双曲线上存在点P满足2|+|≤||,则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　)

(A)(1,2] (B)[2,+∞)

(C)(1,] (D)[,+∞)

解析:因为OP为△PF1F2的边F1F2的中线,

可知=(+),

双曲线上存在点P满足2|+|≤|F1F2|,

则4||≤2c,

由||≥a,可知4a≤2c,则e≥2,故选B.