2019届高三理科数学二轮复习配套教案：第一篇专题二第1讲　函数图象与性质、函数与方程

第1讲　函数图象与性质、函数与方程

(对应学生用书第9页)

1.(2018·全国Ⅱ卷,理3)函数f(x)=的图象大致为(　B　)

解析:因为y=ex-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,

所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.

当x=1时,f(1)==e->0,排除D选项.

又e>2,所以<,

所以e->1,排除C选项.

故选B.

2.(2018·全国Ⅲ卷,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(　D　)

解析:法一　f'(x)=-4x3+2x,则f'(x)>0的解集为-∞,-∪0,,即f(x)单调递增区间为-∞,-,0,;f'(x)<0的解集为-,0∪,+∞,即f(x)单调递减区间为-,0,,+∞.故选D.

法二　当x=1时,y=2,所以排除A,B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=2>2,所以排除C选项.故选D.

3.(2018·全国Ⅱ卷,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于(　C　)

(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50

解析:因为f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),

则f(x)=f(2-x)=-f(x-2)

=-[-f(x-4)]

=f(x-4),

所以函数f(x)是周期为4的周期函数.

由f(x)为奇函数得f(0)=0.

又因为f(1-x)=f(1+x),

所以f(x)的图象关于直线x=1对称,

所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.

又f(1)=2,所以f(-1)=-2,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)

=0×12+f(49)+f(50)

=f(1)+f(2)

=2+0

=2.

故选C.

4.(2018·全国Ⅰ卷,理9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　C　)

(A)[-1,0) (B)[0,+∞)

(C)[-1,+∞) (D)[1,+∞)

解析:

令h(x)=-x-a,

则g(x)=f(x)-h(x).

在同一坐标系中画出y=f(x),

y=h(x)图象的示意图,如图所示.

若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a<-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.

5.(2017·全国Ⅰ卷,理11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　D　)

(A)2x<3y<5z (B)5z<2x<3y

(C)3y<5z<2x (D)3y<2x<5z

解析:设2x=3y=5z=k(k>1),

两边分别取对数得

xln 2=yln 3=zln 5=ln k,

所以2xln 2=2ln k,

所以2x=.

同理3y=,

5z=,

所以==>1,

所以2x>3y,

==<1,

所以2x<5z,

所以5z>2x>3y.故选D.

6.(2016·全国Ⅱ卷,理12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)等于(　B　)

(A)0 (B)m (C)2m (D)4m

解析:因为f(-x)=2-f(x),

所以f(-x)+f(x)=2.

因为=0,=1,

所以函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.

函数y==1+,

故其图象也关于点(0,1)对称.

所以函数y=与y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称.

所以xi=0,yi=2×=m,

所以(xi+yi)=m.

故选B.

7.(2017·全国Ⅲ卷,理15)设函数f(x)=则满足f(x)+fx->1的x的取值范围是　　　　. 

解析:①当x≤0时,f(x)+fx-=x+1+x-+1>1,

即x>-,所以-<x≤0.

②当0<x≤时,f(x)+fx-=2x+x-+1>1,

即2x+x>,显然成立,所以0<x≤.

③当x>时,f(x)+fx-=2x+>1,也成立,所以x>.

由①②③可得x>-.

答案:-,+∞

1.考查角度

全面考查函数的概念、表示方法,函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,函数图象的识别判断和应用,考查函数与方程.

2.题型及难易度

选择题、填空题,易、中、难三种题型均有.

(对应学生用书第9~11页)

函数的性质

【例1】 (1)(2018·天津滨河新区八校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有<0,记a=,b=,c=,则(　　)

(A)a<c<b (B)a<b<c

(C)c<b<a (D)b<c<a

(2)(2018·湖南省两市九月调研)定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)的值等于(　　)

(A)403 (B)405 (C)806 (D)809

(3)(2018·湖南省永州市高三一模)定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是(　　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)6

解析:(1)设0<x1<x2,

则x2f(x1)-x1f(x2)>0⇒>,

所以函数g(x)=在(0,+∞)上单调递减,

因为f(x)是定义在R上的奇函数,

所以g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,

因此a==g(4.10.2)<g(1),

b==g(0.42.1)>g(0.42)>g(0.5),

c==g(log0.24.1)

=g(log54.1)∈(g(1),g(0.5)),

即a<c<b,选A.

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=f(x),

即函数的周期为5.

当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,

所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.

当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,

所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)

=403×(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5))+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)

=403×1+f(1)+f(2)+f(3)=403+0+1+1=405.

故选B.

(3)画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图,

由图可知,函数M在 A(2,4) 处取得最小值4,

即M的最小值为4,故选C.

(3)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a),f(-a)的转化,注意其图象的对称性的应用.

热点训练1:(1)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(　　)

(A)a<b<c (B)c<b<a

(C)b<a<c (D)b<c<a

(2)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=　　　　. 

解析:(1)依题意a=g(-log25.1)=(-log25.1)·f(-log25.1)=log25.1f(log25.1)=g(log25.1).

因为f(x)在R上是增函数,可设0<x1<x2,

则f(x1)<f(x2).

从而x1f(x1)<x2f(x2),即g(x1)<g(x2).

所以g(x)在(0,+∞)上亦为增函数.

又log25.1>0,20.8>0,3>0,

且20.8<21=log24<log25.1<log28=3,

所以3>log25.1>20.8>0,所以c>a>b.

故选C.

(2)因为f(x+4)=f(x-2),

所以f((x+2)+4)=f((x+2)-2),

即f(x+6)=f(x),

所以f(x)是周期为6的周期函数,

所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).

又f(x)是定义在R上的偶函数,

所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.

答案:(1)C　(2)6

函数的图象

【例2】 (1)(2018·陕西省西工大八模)函数y=ex(2x-1)的示意图是(　　)

(2)(2018·泸州模拟)已知偶函数f(x)=且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-在区间[-2 018,2 018]的零点个数为(　　)

(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008

解析:(1)y'=2ex+ex(2x-1)=ex(2x+1),

令y'>0,得函数y=ex(2x-1)在-,+∞上递增,

令y'<0,得函数y=ex(2x-1)在-∞,-上递减,

又因为x=0时,y=-1,所以排除B,C,D.故选A.

(2)

当4<x<8时,f(x)=f(8-x),故而f(x)在(0,8)上的函数图象关于直线x=4对称;

因为f(x-8)=f(x),

所以f(x)的周期为T=8,

作出y=f(x)和y=在(0,8)上的函数图象如图所示,

由图象可知f(x)在一个周期内与y=有4个交点,

所以F(x)在[0,2 018]上有252×4+2=1 010个交点,

又f(x)与y=是偶函数,

所以F(x)在[-2 018,2 018]的零点个数为1 010×2=2 020.故选A.

(2)函数图象的应用:利用函数图象解决函数的零点个数的判断(见热点三),利用函数图象的对称性求解函数值之和或者自变量之和等,常见的结论是“如果f(a-x)=f(a+x)对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;如果f(a-x)+f(a+x)=2b对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,以及上述两个结论的各种等价形式”.

热点训练2:(1)(2018·淮北一模)函数f(x)=+ln |x|的图象大致为(　　)

(2)(2018·广西钦州第三次质检)设函数f(x)=2sin2πx与函数y=的图象在区间-,上交点的横坐标依次为x1,x2,…,xn,则xi等于(　　)

(A)4 (B)2 (C)0 (D)6

解析:(1)当x<0时,函数f(x)=+ln(-x),

由函数y=,y=ln(-x)递减知函数f(x)=+ln(-x)递减,排除C,D;当x>0时,函数f(x)=+ln x,此时,f(1)=+ln 1=1,而选项A的最小值为2,故可排除A,只有B正确.故选B.

(2)函数y==-与y=2sin2πx的图象有公共的对称中心,0,

从图象知它们在区间-,上有八个交点,分别为四对对称点,每一对的横坐标之和为1,故所有的横坐标之和为4.故选A.

函数与方程

考向1　判断函数零点个数

【例3】 (1)(2018·江西九校联考)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))-f(x)的零点的个数为(　　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

(2)(2018·福建泉州5月质检)设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)+x的零点个数是　　　. 

解析:(1)令u=f(x),对函数y=f(f(x))-f(x)求零点,

由f(u)-u=0,得f(u)=u,

所以或解得u=e或u=-2.

①当u=e时,由f(x)=e得

或前一式解得x=e,

后一式解得有两个负解.

②u=-2时,即f(x)=-2,

无解或有两解,

总之,共有解1+2+2=5(个),

即函数有5个零点,故选D.

(2)在同一个坐标系中画出函数f(x)=的图象和直线y=-x,如图所示.

而函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为

函数f(x)=的图象和直线y=-x的交点的个数,

从图中发现,一共有两个交点,所以其零点个数为2.

答案:(1)D　(2)2

(2)复合函数的零点问题常使用换元方法,把复合函数化为一个简单的函数,先研究这个简单函数的零点情况,再根据换元表达式研究原来的函数零点情况.

考向2　根据零点个数确定参数范围

【例4】 (1)(2018·安徽淮南二模)已知函数f(x)=则方程f(x)=kx恰有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(　　)

(A)0, (B)0,

(C), (D),

(2)(2018·福建莆田第二次质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=若函数F(x)=f(x)-m有六个零点,则实数m的取值范围是(　　)

(A)-, (B)-,0∪0,

(C)-,0 (D)-,0

解析:(1)因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根,

所以y=f(x)与y=kx有两个交点,

k表示直线y=kx的斜率,

当x>1时,y=f(x)=ln x,

所以y'=;

设切点为(x0,y0),则k=,

所以切线方程为y-y0=(x-x0),

又切线过原点,所以y0=1,x0=e,k=,

如图所示,

结合图象,可得实数k的取值范围是,.故选C.

(2)x≥0时,画出函数的图象如图所示,当0≤x<2时,很容易画出图象,利用导数研究函数y=(x≥2)的图象的走向,从而确定出其在[2,3)上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,但是其一直落在x轴下方,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数F(x)=f(x)-m有六个零点,等价于有三个正的零点,相当于函数f(x)的图象与直线y=m在y轴右侧有三个交点,观察图象可知m的取值范围是-,0,故选D.

(2)如果参数不易分离,或者分离参数后另一端的函数性质较难研究,则尽可能把参数与x的一次式放在一起,这样含参数的函数图象为直线,利用直线与函数图象的交点确定参数范围.

热点训练3:(1)(2018·江西省新余一中二模)用[a]表示不大于实数a的最大整数,如[1.68]=1,设x1,x2分别是方程x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,则[x1+x2]等于(　　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

(2)(2018·昆明一模)已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解,则实数a的取值范围是(　　)

(A)(-∞,2) (B)(-∞,2]

(C)(-∞,5) (D)(-∞,5]

(3)(2018·四川成都模拟一)已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数是(　　)

(A)7 (B)6 (C)5 (D)4

解析:(1)因为x1,x2分别是方程

x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,

所以x1,x2分别是g(x)=x+ex-4及h(x)=x+ln(x-1)-4的零点,

由于g(x)是单调递增函数,

又g(1)<0,g>0,

所以1<x1<,

由h(x)在定义域内递增且h(3)<0,

h>0,所以3<x2<,

所以4<x1+x2<5,

所以[x1+x2]=4,故选C.

(2)函数f(x)=当x≥1时,方程由f(x)=2,可得ln x+1=2,解得x=e,函数有一个零点,x<1时,函数只有一个零点,即x2-4x+a=2,在x<1时只有一个解.

因为y=x2-4x+a-2开口向上,对称轴为x=2,x<1时,函数是减函数,所以f(1)<2,

可得-3+a<2,解得a<5.故选C.

(3)令f(x)=t,函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数问题⇔f(t)-t-1=0的根的个数问题.y=f(t),y=t+1的图象如图,结合图象可得f(t)-t-1=0的根t1=0,t2=1,t3∈(1,2),方程f(x)=0有1解,f(x)=1有3解,f(x)=t3有3解.

综上,函数F(x)的零点个数是7.

故选A.

【例1】 (1)(2018·天津河西区三模)设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是(　　)

(A)-1 (B)- (C)- (D)

(2)(2018·天津质量调查)已知函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,且当x≤0时,f(x)=-x3+ln(1-x),设a=f(log36),b=f(log48),c=f(log510),则a,b,c的大小关系为(　　)

(A)a>b>c (B)c>b>a

(C)b>c>a (D)b>a>c

解析:(1)易知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,

又函数f(x)是定义在R上的偶函数,

所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,

则由f(1-x)≤f(x+m),

得|1-x|≥|x+m|,即(1-x)2≥(x+m)2,

即g(x)=(2m+2)x+m2-1≤0在x∈[m,m+1]上恒成立,

则

解得-1≤m≤-,

即m的最大值为-.

(2)函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,

将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位得到y=f(x),

则f(x)关于直线x=0即y轴对称,

则函数f(x)是偶函数,

当x≤0时,f(x)=-x3+ln(1-x),为减函数,

所以当x≥0时f(x)为增函数,

因为log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52,

且log32=,log42=,log52=,

又0<log23<log24<log25,

所以>>>0,

即log32>log42>log52>0,

则1+log32>1+log42>1+log52>1,

即log36>log48>log510>1,

因为当x≥0时f(x)为增函数,

所以f(log36)>f(log48)>f(log510),

即a>b>c.故选A.

【例2】 (1)(2018·洛阳一模)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是(　　)

(2)(2018·张掖一模)f(x)=的部分图象大致是(　　)

解析:(1)因为y=f(x)有两个零点,并且g(x)没有零点;

所以函数y=f(x)·g(x)也有两个零点M,N,不妨设M<N,

又因为x=0时,函数值不存在,

所以y=f(x)·g(x)在x=0时的函数值也不存在,

当x∈(-∞,M)时,y<0;

当x∈(M,0)时,y>0;

当x∈(0,N)时,y<0;

当x∈(N,+∞)时,y>0,

只有A中的图象符合要求,故选A.

(2)因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A;

因为x∈(0,1)时,x>sin x,x2+x-2<0,故f(x)<0,故排除B;

当x→+∞时,f(x)→0,故排除C.故选D.

【例3】 (1)(2018·福建百校临考冲刺)设函数f(x)=若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,使得====7,则a的取值范围为(　　)

(A)(6,12) (B)[6,12] (C)(6,18) (D)[6,18]

(2)(2018·福建百校联考冲刺)已知函数f(x)=则函数f[f(x)]的零点个数为(　　)

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

(3)(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数.若函数f(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　)

(A)1,1+∪(-2,0) (B)1,1+

(C)-2,1+ (D)(-2,1)

解析:(1)存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,

使得====7成立,

等价于方程=7有四个不同的实根,

易证:当x≤1时,方程|12x-4|=7x有两个不等实根,分别为,,

则当x>1时,方程x(x-2)2+a=7x也有两个不等实根,

令g(x)=x(x-2)2+a-7x=x3-4x2-3x+a,

则g'(x)=3x2-8x-3,令g'(x)=0,

解得x1=-,x2=3,

可知函数g(x)在区间(1,3)上单调递减,

在区间(3,+∞)上单调递增,

若使函数g(x)有两个零点,

必有g(1)=-6+a>0,g(3)=-18+a<0,

解得6<a<18,故选C.

(2)画出函数f(x)的图象,如图所示,令f(x)=t,

因为f[f(x)]=0,所以f(t)=0,

由图象可知,f(t)=0有四个解,

分别为t1=2,t2=3,-1<t3<0,1<t4<2,

由图象可知,当t1=2时,f(x)=2有两个根,

即f[f(x)]=0有2个零点;

由图象可知,当t2=3时,f(x)=3有一个根,

即f[f(x)]=0有1个零点;

由图象可知,当-1<t3<0时,f(x)=t有三个根,

即f[f(x)]=0有3个零点;

由图象可知,当1<t4<2时,f(x)=t有两个根,

即f[f(x)]=0有2个零点;

综上所述,f[f(x)]=0有8个零点.所以选C.

(3)①当a=1时,f(x)=

由f(x)=0得或

解得x=0或x=-1-,函数f(x)只有两个零点,舍去;

②当a<1时,若x≥0,则f(x)=(a-1)ex-x,

所以f'(x)=(a-1)ex-1<0,

所以f(x)≤f(0)=a-1<0;

当x<0,f(x)=2x2+4x-a=0至多两个零点,

即函数f(x)至多两个零点,舍去;

③当a>1时,若x<0,则f(x)=2x2+4x-a=0只有一个零点,

若x≥0,则f(x)=(a-1)ex-x=0⇒a-1=,

令g(x)=,

因为g'(x)==0,

所以x=1,

因此当0≤x≤1时,

g'(x)≥0,g(x)∈[g(0),g(1)]=0,,

当x>1时,g'(x)<0,g(x)∈0,,

因为要使函数f(x)有三个零点,

需使函数g(x)有两个零点,

因此0<a-1<,

所以1<a<1+.

综上,a的取值范围为1,1+.