2019届高三文科数学二轮复习配套教案：第一篇专题一第3讲　不等式与线性规划

第3讲　不等式与线性规划

(对应学生用书第6页)

1.(2016·全国Ⅰ卷,文12)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是(　C　)

(A)[-1,1] (B)-1,

(C)-, (D)-1,-

解析:f'(x)=1-cos 2x+acos x

=1-·(2cos2x-1)+acos x

=-cos2x+acos x+,

f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0在R上恒成立.

令cos x=t,t∈[-1,1],

则-t2+at+≥0在[-1,1]上恒成立,

即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,

令g(t)=4t2-3at-5,

则

解得-≤a≤,故选C.

2.(2018·全国Ⅰ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为　　　　. 

解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.

由z=3x+2y得y=-x+.

作直线l0:y=-x,平移直线l0,当直线y=-x+过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.

答案:6

3.(2018·全国Ⅲ卷,文15)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是　　　　. 

解析:画出可行域如图所示阴影部分,由z=x+y得y=-3x+3z,作出直线y=-3x,并平移该直线,当直线y=-3x+3z过点A(2,3)时,目标函数z=x+y取得最大值,即zmax=2+×3=3.

答案:3

4.(2016·全国Ⅰ卷,文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A,产品B的利润之和的最大值为　　　　元. 

解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则

z=2 100x+900y.

画出可行域如图阴影部分.

由

解得

所以zmax=2 100×60+900×100=216 000,

所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元.

答案:216 000

1.命题角度

(1)不等式:结合集合考查不等式的解法,在解答题中考查不等式的解法、基本不等式的应用等,主要以工具性为主进行考查.

(2)线性规划:考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题.

2.题型与难易度

(1)选择题、填空题考查不等式的解法和简单线性规划问题,在解答题中考查不等式的应用.

(2)难度中等.

(对应学生用书第6~7页)

不等式的性质与解法

【例1】 (1)(2018·陕西西工大附中八模)如果a>b>1,c<0,在不等式①>,②ln(a+c)>ln(b+c),③(a-c)c<(b-c)c,④bea>aeb中,所有正确命题的序号是(　　)

(A)①②③ (B)①③④

(C)②③④ (D)①②④

(2)(2018·全国名校第三次大联考)不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为　　　　. 

解析:(1)用排除法,因为a>b>1,c<0,

所以可令a=3,b=2,c=-4,

此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立,所以②错误,排除A,C,D,故选B.

(2)因为x2-2ax-3a2<0⇔(x-3a)(x+a)<0,

a>0,-a<3a,

所以不等式的解集为{x|-a<x<3a}.

答案:(1)B　(2){x|-a<x<3a}

(1)使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件,如不等式两端同时乘以一个数时要看该数取值情况;(2)解一元二次不等式时首先把二次项系数化为正值,再根据该不等式对应的一元二次方程的实根的情况确定其解集,如含有字母参数需要分类讨论.

热点训练1:(1)(2018·广东深圳月考)已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是(　　)

(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-1,1)

(C)(-2,1) (D)(-1,2)

(2)(2018·河南豫南豫北名校高三上精英联赛)不等式x2-3|x|+2>0的解集是　　　　. 

解析:(1)因为f(x)=

易知f(x)为增函数,

所以f(2-a2)>f(a)等价于2-a2>a,

即a2+a-2<0,

解得-2<a<1,

所以实数a的取值范围是(-2,1),故选C.

(2)原不等式可转化为|x|2-3|x|+2>0,

解得|x|<1或|x|>2,

所以x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞).

答案:(1)C　(2)(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)

基本不等式

【例2】 (1)(2018·广西柳州市一模)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为(　　)

(A)2 (B)4 (C)8 (D)9

(2)(2018·天津市滨海新区八校联考)已知a>b>0,且ab=1,那么取最小值时,b=　　　　. 

解析:(1)由圆的方程可得

C1(-2a,0),r1=2,C2(0,b),r2=1,

由两圆只有一条公切线可知两圆内切,

所以|C1C2|=r1-r2,

即=1,

所以4a2+b2=1,

所以+=+

=4+1++

≥5+2=9.

当且仅当=时,等号成立,

所以+的最小值为9.故选D.

(2)因为ab=1,a>b>0,

所以==(a-b)+,

≥2

=2,

当且仅当a-b=,

即a-b=时,等号成立,即取最小值,

由得-b=.

所以b=或b=(舍去).

答案:(1)D　(2)

基本不等式的主要用途是求多元函数的最值,在使用基本不等式时注意如下几点:(1)明确不等式的使用条件,特别是其中等号能否成立;(2)合理变换求解目标,如常数代换法、整体换元法等,创造使用基本不等式的条件.

热点训练2:(1)(2018·安徽亳州高三上期末)设x,y为正实数,且满足+=1,下列说法正确的是(　　)

(A)x+y的最大值为 (B)xy的最小值为2

(C)x+y的最小值为4 (D)xy的最大值为

(2)(2018·浙江温州市一模)已知2a+4b=2(a,b∈R),则a+2b的最大值为　　　　; 

(3)(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　. 

解析:(1)x+y=(x+y)+

=++≥+,

1=+≥2,得xy≥2.故选B.

(2)因为2a+4b=2a+22b=2≥2,所以2a+2b≤1=20,a+2b≤0,当且仅当a=2b=0时等号成立,

所以a+2b的最大值为0.

(3)因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6,

所以2a+=2a+2-3b≥2

=2

=2

=2×2-3

=.

当且仅当2a=2-3b,即a=-3b时,取“=”,

即2a+取得最小值,

结合a-3b+6=0,知此时a=-3,b=1.

答案:(1)B　(2)0　(3)

线性规划

考向1　线性规划问题

【例3】 (1)(2018·浙江省温州市一模)若实数x,y满足约束条件则z=2x+y的取值范围是(　　)

(A)[3,4] (B)[3,12] (C)[3,9] (D)[4,9]

(2)(2018·四川雅安三诊)已知实数x,y满足条件若目标函数z=mx-y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m的值为(　　)

(A)1 (B) (C)- (D)-1

(3)(2018·江西省红色七校联考)设x,y满足约束条件若z=mx+y的最小值为-3,则m的值为　　　　. 

解析:

(1)画出

表示的可行域,

由

得A(1,1),

由得B(3,3),

由得C(2,0),

根据目标函数的几何意义分析,其最值点应为区域内的端点处.

将三点的坐标分别代入z=2x+y得3,9,4,

因此z的最小值为3,最大值为9,

故z=2x+y的取值范围是[3,9],故选C.

(2)由约束条件作出可行域如图,

化目标函数z=mx-y为y=mx-z,

因为目标函数z=mx-y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,所以m=kAB=1.故选A.

(3)不等式组表示的可行域,如图所示.

联立解得A(3,-1),

化目标函数z=mx+y为y=-mx+z,

目标函数的最小值就是函数y=-mx+z在y轴上截距的最小值,为-3,由图可知,m<0,使目标函数取得最小值的最优解为A(3,-1),

把A(3,-1)代入z=mx+y=-3,求得m=-.

答案:(1)C　(2)A　(3)-

(1)线性规划问题中目标函数的几何意义是通过直线在y轴上的截距体现出来的,解题中要准确确定其几何意义,再结合已知的平面区域确定其取得最值的点;(2)线性目标函数取最值的点,一定在线性约束条件确定的区域的顶点或边界上,如果线性目标函数取得最值的点有无穷多个,则说明线性目标函数表达的直线与区域的某条边界重合;(3)如果约束条件、目标函数中含有参数,则需要把约束条件、目标函数综合起来考虑,确定参数的可能取值或者取值范围.

考向2　非线性规划

【例4】 (1)(2018·安徽安庆二模)已知实数x,y满足则的最大值为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)(2018·广西三校联考)设x,y满足约束条件则的最大值为　　　　. 

解析:(1)作可行域,如图阴影部分所示.

表示可行域内的点(x,y)与点(-1,0)连线的斜率.易知A,,B,,C,.

当直线y=k(x+1)与曲线y=相切时,k=,切点为(1,1),

所以切点位于点A,C之间.因此根据图形可知,的最大值为.故选D.

(2)

不等式组表示的平面区域如图所示,

表示的几何意义是点(x,y)到(0,0)的距离,由图可知,点A到原点的距离最远,

由得

==.

答案:(1)D　(2)

非线性规划问题的关键是目标函数的几何意义,主要有两种类型:(1)距离型(已知区域内的点到定点的距离、定直线的距离、定曲线的距离等);(2)斜率型(区域内的点与定点连线的斜率,可以化为斜率型).

考向3　线性规划的实际应用

【例5】 (1)(2018·山东德州高三上期中)某企业生产A,B,C三种家电,经市场调查决定调整生产方案,计划本季度(按不超过480个工时计算)生产A,B,C三种家电共120台,其中A家电至少生产20台,已知生产A,B,C三种家电每台所需的工时分别为3,4,6个工时,每台的产值分别为20,30,40千元,则按此方案生产,此季度最高产值为(　　)

(A)3 600千元 (B)3 500千元

(C)4 800千元 (D)480千元

(2)(2018·福建福州高三上期末)某工厂制作仿古的桌子和椅子,需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时,漆工2个工作时;生产一张桌子需要木工8个工作时,漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1 500元,生产一张桌子的利润为2 000元.该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成 1 300 个工作时.根据以上条件,该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是　　　　元. 

解析:(1)设本季度生产A家电x台、B家电y台,则生产C家电(120-x-y)台,设总产值为z千元,由题意可列表格:

则根据题意可得z=20x+30y+40(120-x-y)=4 800-20x-10y,

由题意得x,y满足

即画出可行域如图所示.

目标函数z=4 800-20x-10y可化为y=480-2x-,

由图知,当过A点时y=480-2x-的截距最小,即z取得最大值.

由得

即A(20,90).

所以zmax=4 800-20×20-10×90=3 500.故选B.

(2)设每天生产椅子x把,桌子y张,利润总额为p,目标函数为p=1 500x+2 000y,则作出可行域,把直线3x+4y=0向右上方平移,直线经过可行域上的点B时p=1 500x+2 000y取最大值,

解方程组

得B坐标为(200,900),p=1 500×200+2 000×900=2 100 000,

所以每天应生产椅子200把,桌子900张才能获得最大利润,最大利润为2 100 000元.

答案:(1)B　(2)2 100 000

解线性规划实际应用题的关键是根据求解目标确定引起求解目标变化的两个量x,y(如本例(2)中引起求解目标变化的是椅子和桌子的数量,这两个数量就是x,y),约束条件、求解目标均要围绕这两个变量列式.

热点训练3:(1)(2018·天津市滨海新区八校联考)若x,y∈R,且则z=3x-y的最小值为(　　)

(A)6 (B)2 (C)1 (D)不存在

(2)(2018·江西赣州红七校联考)设实数x,y满足则u=-的取值范围为(　　)

(A),2 (B)-,2

(C)-, (D)-,

(3)(2018·江西南昌三模)现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名,杂工15名,有7台电脑机,每台电脑机每天可给12件衣服锁边;有5台普通机,每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有100件衣服需要锁边,用电脑机每台需配锁边工1名,杂工2名,用普通机每台需要配锁边工1名,杂工1名,用电脑机给一件衣服锁边可获利8元,用普通机给一件衣服锁边可获利6元,则该服装厂锁边车间一天最多可获利　　　　元. 

解析:(1)可行域如图,直线y=3x-z过点(1,1)时,z=3x-y取最小值为2,故选B.

(2)

作出可行域,如图,

因为u=-,

所以设k=,

则k表示可行域中的点与点(0,0)连线的斜率,

由图知k∈,2,

所以u=k-,k∈,2,

由函数单调递增,可知u∈-,.故选D.

(3)设每天安排电脑机和普通机各x,y台,则一天可获利z=12×8x+10×6y=96x+60y,线性约束条件为

画出可行域(如图),

可知当目标函数经过A(5,5)时,zmax=780.

答案:(1)B　(2)D　(3)780

【例1】 (1)(2018·天津十二重点中学联考一)已知a>b>0,则2a++的最小值为　　　　; 

(2)(2018·衡水金卷四省第三次联考)如图,在△ABC中,已知=,P为AD上一点,且满足=m+,若△ABC的面积为,∠ACB=,则||的最小值为　　　　. 

解析:(1)a>b>0,2a++=a+b+a-b++,

a+b+≥2,

当且仅当a+b=时取等号,

a-b+≥2,

当且仅当a-b=时取等号.

联立解得

a+b+a-b++≥2+2,

当且仅当时,等号成立.

即2a++取得最小值为2+2.

(2)设=λ,则=CA+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.

由平面向量基本定理可得

解得m=,

所以=+,令||=x,||=y,

则S△ABC=||||sin∠ACB=xy=,

所以xy=4,且x>0,y>0,

所以||2=x2+y2+xy=x2+y2+≥2+=,

当且仅当x2=y2,即3x=4y,

即3||=4||时等号成立.

即||min=.

答案:(1)2+2　(2)

【例2】 (1)(2018·安徽江南十校二模)已知x,y满足z=xy的最小值、最大值分别为a,b,且x2-kx+1≥0对x∈[a,b]恒成立,则k的取值范围为(　　)

(A)[-2,2] (B)(-∞,2]

(C)[-2,+∞) (D)-∞,

(2)(2018·山西孝义一模)已知不等式组表示的平面区域为D,若函数y=|x-1|+m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是(　　)

(A)0, (B)-2,

(C)[-2,1] (D)-1,

(3)(2018·河南省新乡市三模)设x,y满足约束条件若的最大值为2,则a的值为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(4)(2018·百校联盟高三摸底)若函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为　　　　. 

解析:(1)

作出

表示的平面区域(如图所示),

显然z=xy的最小值为0,

当点(x,y)在线段x+2y=3(0≤x≤1)上时,

z=xy=x-=-x2+x≤1;

当点(x,y)在线段2x+y=3(0≤x≤1)上时,

z=xy=x(3-2x)=-2x2+3x≤.

即a=0,b=;

当x=0时,不等式x2-kx+1=1≥0恒成立,

若x2-kx+1≥0对x∈0,恒成立,

则k≤x+在0,上恒成立,

又x+在(0,1]上单调递减,在1,上单调递增,

即x+min=2,即k≤2.故选B.

(2)作出不等式组表示的平面区域D(如图阴影),

函数y=|x-1|的图象为直线y=x-1保留x轴上方的部分并把x轴下方的部分上翻得到,

其图象为关于直线x=1对称的折线(图中虚线),

沿x=1上下平移y=|x-1|的图象,

当经过点B时m取最小值,过点A时m取最大值,

由可解得即B(2,-1),

此时有-1=|2-1|+m,解得m=-2;

由可解得

即A(1,1),此时有1=|1-1|+m,解得m=1;

故实数m的取值范围为[-2,1].故选C.

(3)

设m=x-y,n=x+y,

得x=,y=,

代入不等式组,得

即

关于n,m的不等式组表示的可行域如图所示,

==,

即表示可行域内点与原点连线的斜率,

由条件知斜率最大值为2,此时=2,

由得

点,在直线m+n-2a=0上,

所以+-2a=0,

所以a=.故选C.

(4)作出不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形,

再作出对数函数y=log2x的图象,可得该图象与直线x+y-3=0交于点M(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足不等式组,即m≤1符合题意,即m的最大值为1.

答案:(1)B　(2)C　(3)C　(4)1