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2019届高三文科数学二轮复习配套教案：第一篇专题二第1讲 函数图象与性质、函数与方程
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第1讲 函数图象与性质、函数与方程
(对应学生用书第8页)
1.(2018·全国Ⅲ卷,文7)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( B )
(A)y=ln(1-x) (B)y=ln(2-x)
(C)y=ln(1+x) (D)y=ln(2+x)
解析:函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=对称,令a=2可得与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B.
2.(2017·全国Ⅱ卷,文8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调增区间是( D )
(A)(-∞,-2) (B)(-∞,1)
(C)(1,+∞) (D)(4,+∞)
解析:定义域满足x2-2x-8>0,
所以x>4或x<-2.
令y=ln t,且t=x2-2x-8,
t=x2-2x-8在(4,+∞)上是增函数,
在(-∞,-2)上是减函数,
y=ln t在(0,+∞)上单调递增,
所以y=f(x)在(4,+∞)上递增.
故选D.
3.(2018·全国Ⅲ卷,文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( D )
解析:法一 f'(x)=-4x3+2x,
则f'(x)>0的解集为-∞,-∪0,,f(x)单调递增;f'(x)<0的解集为-,0∪,+∞,f(x)单调递减.故选D.
法二 当x=1时,y=2,所以排除A,B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=>2,所以排除C选项.故选D.
4.(2018·全国Ⅰ卷,文12)设函数f(x)=则满足f(x+1)
(C)(-1,0) (D)(-∞,0)
解析:法一 ①当即x≤-1时,f(x+1)
②当时,不等式组无解.
③当即-1
因此不等式的解集为(-1,0).
④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.
综上,不等式f(x+1)
法二
当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)
所以x<0,
即不等式f(x+1)
5.(2018·全国Ⅱ卷,文12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于( C )
(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50
解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(1-x)=-f(x-1).
又f(1-x)=f(1+x),
所以-f(x-1)=f(x+1),
所以f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
所以函数f(x)是周期为4的周期函数.
由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)=0.
又因为f(1-x)=f(1+x),
所以f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.
又f(1)=2,所以f(-1)=-2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.
6.(2017·全国Ⅲ卷,文12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a等于( C )
(A)- (B) (C) (D)1
解析:函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点等价于方程-x2+2x=a(ex-1+e-x+1)有唯一解,即函数g(x)=-x2+2x,h(x)=a(ex-1+e-x+1)有唯一的交点,通过验证四个选项,可知当a=时,函数g(x)=-x2+2x在x=1取得最大值1,函数h(x)=a(ex-1+e-x+1)在x=1取得最小值1,两个函数图象仅有一个交点,故选C.
7.(2016·全国Ⅱ卷,文12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi等于( B )
(A)0 (B)m (C)2m (D)4m
解析:由题y=f(x)与y=|x2-2x-3|均关于x=1对称.则当两函数交点个数m为偶数时,xi=×2=m.当交点个数为奇数时,xi=2×+1=m,故选B.
8.(2014·全国Ⅰ卷,文12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( C )
(A)(2,+∞) (B)(1,+∞)
(C)(-∞,-2) (D)(-∞,-1)
解析:由题意得ax3-3x2+1=0存在唯一的正数解,
a=-,设h(x)=-,x≠0,
则h'(x)=-+=,
令h'(x)>0得-1
所以h(x)在(-∞,-1)上单调递减,(-1,0)上单调递增,
在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
且x→-∞时,h(x)→0;
x→+∞时,h(x)→0,
且h(1)=2,h(-1)=-2,
如图,直线y=a与h(x)图象只有一个交点,且x0>0,
观察图象可得a<-2.故选C.
1.考查角度
全面考查函数的概念、表示方法,函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,函数图象的识别判断和应用,考查函数与方程.
2.题型及难易度
选择题、填空题,易、中、难三种题型均有.
(对应学生用书第8~10页)
函数的性质
【例1】 (1)(2018·天津滨河新区八校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有<0,记a=,b=,c=,则( )
(A)a
(A)403 (B)405 (C)806 (D)809
(3)(2018·湖南省永州市高三一模)定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
解析:(1)设0
所以函数g(x)=在(0,+∞)上单调递减,
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
因此a==g(4.10.2)
c==g(log0.24.1)
=g(log54.1)∈(g(1),g(0.5)),
即a
即函数的周期为5.
当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,
所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.
当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,
所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)
=403×(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5))+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)
=403×1+f(1)+f(2)+f(3)=403+0+1+1=405.
故选B.
(3)画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图,
由图可知,函数M在 A(2,4) 处取得最小值4,
即M的最小值为4,故选C.
函数的性质主要是单调性、最值、奇偶性和周期性.(1)注意函数单调性的定义及其等价形式,如函数在区间D单调递增:∀x1,x2∈D,(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,>0等.
(2)注意函数周期性的几种呈现形式,如下均是以2为周期的函数的呈现形式f(x-2)=f(x),f(x-1)=f(x+1),f(x+1)=-f(x),f(x+1)=.
(3)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a),f(-a)的转化,注意其图象的对称性的应用.
热点训练1:(1)(2018·河南省中原名校质检二)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为( )
(A)(2,+∞) (B)0,∪(2,+∞)
(C)0,∪(,+∞) (D)(,+∞)
(2)(2018·广东东莞考情冲刺)已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x+4)=f(x-2),且当x∈[-3,0)时,f(x)=+3sin x,则f(2 018)等于( )
(A)- (B)- (C) (D)
解析:(1)因为f(x)是R上的偶函数,
且在(-∞,0]上单调递减,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,
因为f(1)=2,所以f(log2x)>2=f(1),
即f(log2x)>f(1),
所以log2x<-1或log2x>1,
所以02.故选B.
(2)因为函数f(x)(x∈R)为奇函数且满足f(x+4)=f(x-2),
所以f(x+6)=f(x),
即函数f(x)表示以6为周期的周期函数,
因为当x∈[-3,0)时,f(x)=+3sin x,
所以f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=-f(-2)
=-+3sin(-π)=,故选D.
函数的图象
【例2】 (1)(2018·陕西省西工大八模)函数y=ex(2x-1)的示意图是( )
(2)(2018·河南中原名校质检二)定义在R上的函数f(x),满足f(x)=且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=,则方程g(x)=f(x)在区间[-1,5]上所有实根之和为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:(1)y'=2ex+ex(2x-1)=ex(2x+1),
令y'>0,得函数y=ex(2x-1)在-,+∞上递增,
令y'<0,得函数y=ex(2x-1)在-∞,-上递减,
又因为x=0时,y=-1,所以排除B,C,D.故选A.
(2)由f(x+1)=f(x-1)知f(x)为以2为周期的周期函数,因为f(x)=g(x)==2+,所以函数f(x),g(x)在[-1,5]上的图象如图所示,
又因为g(x)=关于(2,2)中心对称,故方程g(x)=f(x)在区间[-1,5]上的根就是函数y=f(x)和y=g(x)的交点横坐标,共有三个交点,自左向右横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1和x3关于(2,2)中心对称,所以x1+x3=4,x2=1,故x1+x2+x3=5.故选C.
函数图象主要有两类问题.(1)函数图象的识别:基本方法是根据函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)以及特殊点的函数值,采用排除法找到符合要求的函数图象.
(2)函数图象的应用:利用函数图象解决函数的零点个数的判断(见热点三),利用函数图象的对称性求解函数值之和或者自变量之和等,常见的结论是“如果f(a-x)=f(a+x)对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;如果f(a-x)+f(a+x)=2b对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,以及上述两个结论的各种等价形式”.
热点训练2:(1)(2018·河南中原名校质检二)函数f(x)=的大致图象是( )
(2)(2018·广西钦州第三次质检)设函数f(x)=2sin2πx与函数y=的图象在区间-,上交点的横坐标依次为x1,x2,…,xn,则xi等于( )
(A)4 (B)2 (C)0 (D)6
解析:(1)f(x)==
f(x)为奇函数,排除B;
在(0,+∞)上,当0
(2)函数y==-与y=2sin2πx的图象有公共的对称中心,0,
从图象知它们在区间-,上有八个交点,分别为四对对称点,每一对的横坐标之和为1,故所有的横坐标之和为4.故选A.
函数与方程
考向1 判断函数零点个数
【例3】 (1)(2018·江西九校联考)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))-f(x)的零点的个数为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(2)(2018·福建泉州5月质检)设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)+x的零点个数是 .
解析:(1)令u=f(x),对函数y=f(f(x))-f(x)求零点,
由f(u)-u=0,得f(u)=u,
所以或
解得u=e或u=-2.
①当u=e时,由f(x)=e得
或前一式解得x=e,
后一式解得有两个负解.
②u=-2时,即f(x)=-2,
无解或有两解,
总之,共有解1+2+2=5(个),
即函数有5个零点,故选D.
(2)在同一个坐标系中画出函数f(x)=的图象和直线y=-x,如图所示.
而函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为
函数f(x)=的图象和直线y=-x的交点的个数,
从图中发现,一共有两个交点,所以其零点个数为2.
答案:(1)D (2)2
(1)函数零点可以化为两个函数图象的交点问题解决,即通过把方程f(x)=0化为g(x)=h(x),则f(x)零点的个数即为函数y=g(x),y=h(x)图象的交点个数,这是解决函数零点问题的基本方法.
(2)复合函数的零点问题常使用换元方法,把复合函数化为一个简单的函数,先研究这个简单函数的零点情况,再根据换元表达式研究原来的函数零点情况.
考向2 根据零点个数确定参数范围
【例4】 (1)(2018·安徽淮南二模)已知函数f(x)=则方程f(x)=kx恰有两个不同的实根时,实数k的取值范围是( )
(A)0, (B)0,
(C), (D),
(2)(2018·福建莆田第二次质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=若函数F(x)=f(x)-m有六个零点,则实数m的取值范围是( )
(A)-, (B)-,0∪0,
(C)-,0 (D)-,0
解析:(1)因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根,
所以y=f(x)与y=kx有两个交点,
k表示直线y=kx的斜率,
当x>1时,y=f(x)=ln x,
所以y'=;
设切点为(x0,y0),则k=,
所以切线方程为y-y0=(x-x0),
又切线过原点,所以y0=1,x0=e,k=,
如图所示,
结合图象,可得实数k的取值范围是,.故选C.
(2)x≥0时,画出函数的图象如图所示,当0≤x<2时,很容易画出图象,利用导数研究函数y=(x≥2)的图象的走向,从而确定出其在[2,3)上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,但是其一直落在x轴下方,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数F(x)=f(x)-m有六个零点,等价于有三个正的零点,相当于函数f(x)的图象与直线y=m在y轴右侧有三个交点,观察图象可知m的取值范围是-,0,故选D.
根据函数零点个数确定参数取值集合的基本思想是数形结合,即把方程f(x)=0化为g(x)=f(x),通过函数y=g(x),y=h(x)的交点个数确定参数值的集合.把方程f(x)=0化为g(x)=h(x)的基本思想是(1)如果参数能够分离,且分离参数后,另一端的函数性质较易研究,则采用分离参数的方法.
(2)如果参数不易分离,或者分离参数后另一端的函数性质较难研究,则尽可能把参数与x的一次式放在一起,这样含参数的函数图象为直线,利用直线与函数图象的交点确定参数范围.
热点训练3:(1)(2018·江西省新余一中二模)用[a]表示不大于实数a的最大整数,如[1.68]=1,设x1,x2分别是方程x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,则[x1+x2]等于( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(2)(2018·天津河东区二模)已知函数f(x)满足f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根,则实数m的取值范围是( )
(A)0, (B),+∞
(C)0, (D)0,
(3)(2018·四川成都模拟一)已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数是( )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
解析:(1)因为x1,x2分别是方程
x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,
所以x1,x2分别是g(x)=x+ex-4及h(x)=x+ln(x-1)-4的零点,
由于g(x)是单调递增函数,
又g(1)<0,g>0,
所以1
h>0,所以3
f(x)=-1=-1=-,
在同一坐标系内画出y=f(x),y=mx+m在(-1,1]上的图象,
动直线y=mx+m过定点(-1,0),
当再过(1,1)时,斜率m=,
由图象可知当0
(3)令f(x)=t,函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数问题⇔f(t)-t-1=0的根的个数问题.y=f(t),y=t+1的图象如图,结合图象可得f(t)-t-1=0的根t1=0,t2=1,t3∈(1,2),方程f(x)=0有1解,f(x)=1有3解,f(x)=t3有3解.
综上,函数F(x)的零点个数是7.
故选A.
【例1】 (1)(2018·天津河西区三模)设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是( )
(A)-1 (B)- (C)- (D)
(2)(2018·天津质量调查)已知函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,且当x≤0时,f(x)=-x3+ln(1-x),设a=f(log36),b=f(log48),c=f(log510),则a,b,c的大小关系为( )
(A)a>b>c (B)c>b>a
(C)b>c>a (D)b>a>c
解析:(1)易知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,
则由f(1-x)≤f(x+m),
得|1-x|≥|x+m|,即(1-x)2≥(x+m)2,
即g(x)=(2m+2)x+m2-1≤0在x∈[m,m+1]上恒成立,
则
解得-1≤m≤-,
即m的最大值为-.
(2)函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,
将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位得到y=f(x),
则f(x)关于直线x=0即y轴对称,
则函数f(x)是偶函数,
当x≤0时,f(x)=-x3+ln(1-x),为减函数,
所以当x≥0时f(x)为增函数,
因为log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52,
且log32=,log42=,log52=,
又0
即log32>log42>log52>0,
则1+log32>1+log42>1+log52>1,
即log36>log48>log510>1,
因为当x≥0时f(x)为增函数,
所以f(log36)>f(log48)>f(log510),
即a>b>c.故选A.
【例2】 (1)(2018·山东潍坊青州三模)函数f(x)=(ex-e-x)cos x在区间[-5,5]上的图象大致为( )
(2)(2018·安徽合肥一中冲刺高考最后一卷)函数y=sin x(1+cos 2x)在区间[-2,2]内的图象大致为( )
(3)(2018·江西重点中学协作体二联)函数f(x)=ln|x-1|-ln|x+1|的大致图象为( )
解析:(1)当x∈[0,5]时,由f(x)=(ex-e-x)cos x=0,
可得函数的零点为0,,,可排除选项A,D;
当x=π时,f(π)=-eπ+e-π<0,
对应点在x轴下方,可排除选项C,故选B.
(2)函数y=sin x(1+cos 2x)定义域为[-2,2],
其关于原点对称,
且f(-x)=sin(-x)(1+cos 2x)=-sin x·(1+cos 2x)=-f(x),
则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除D;
当00,
排除C;
由2sin xcos2x=0,可得x=±或0,排除A,故选B.
(3)函数定义域是{x|x≠±1},
又f(-x)=ln|-x-1|-ln|-x+1|
=ln|x+1|-ln|x-1|=-f(x),
即f(x)是奇函数,排除A,C,
又f=ln-ln<0,排除D,
正确答案为B.故选B.
【例3】 (1)(2018·福建百校临考冲刺)设函数f(x)=若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,使得====7,则a的取值范围为( )
(A)(6,12) (B)[6,12]
(C)(6,18) (D)[6,18]
(2)(2018·福建百校联考冲刺)已知函数f(x)=则函数f[f(x)]的零点个数为( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
(3)(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数.若函数f(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
(A)1,1+∪(-2,0) (B)1,1+
(C)-2,1+ (D)(-2,1)
解析:(1)存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,
使得====7成立,
等价于方程=7有四个不同的实根,
易证:当x≤1时,方程|12x-4|=7x有两个不等实根,分别为,,
则当x>1时,方程x(x-2)2+a=7x也有两个不等实根,
令g(x)=x(x-2)2+a-7x=x3-4x2-3x+a,
则g'(x)=3x2-8x-3,令g'(x)=0,
解得x1=-,x2=3,
可知函数g(x)在区间(1,3)上单调递减,
在区间(3,+∞)上单调递增,
若使函数g(x)有两个零点,
必有g(1)=-6+a>0,g(3)=-18+a<0,
解得6
因为f[f(x)]=0,所以f(t)=0,
由图象可知,f(t)=0有四个解,
分别为t1=2,t2=3,-1
即f[f(x)]=0有2个零点;
由图象可知,当t2=3时,f(x)=3有一个根,
即f[f(x)]=0有1个零点;
由图象可知,当-1
由图象可知,当1
综上所述,f[f(x)]=0有8个零点.所以选C.
(3)①当a=1时,f(x)=
由f(x)=0得或
解得x=0或x=-1-,函数f(x)只有两个零点,舍去;
②当a<1时,若x≥0,则f(x)=(a-1)ex-x,
所以f'(x)=(a-1)ex-1<0,
所以f(x)≤f(0)=a-1<0;
当x<0,f(x)=2x2+4x-a=0至多两个零点,
即函数f(x)至多两个零点,舍去;
③当a>1时,若x<0,则f(x)=2x2+4x-a=0只有一个零点,
若x≥0,则f(x)=(a-1)ex-x=0⇒a-1=,
令g(x)=,
因为g'(x)==0,所以x=1,
因此当0≤x≤1时,
g'(x)≥0,g(x)∈[g(0),g(1)]=0,,
当x>1时,g'(x)<0,g(x)∈0,,
因为要使函数f(x)有三个零点,
需使函数g(x)有两个零点,
因此0
(对应学生用书第8页)
1.(2018·全国Ⅲ卷,文7)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( B )
(A)y=ln(1-x) (B)y=ln(2-x)
(C)y=ln(1+x) (D)y=ln(2+x)
解析:函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=对称,令a=2可得与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B.
2.(2017·全国Ⅱ卷,文8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调增区间是( D )
(A)(-∞,-2) (B)(-∞,1)
(C)(1,+∞) (D)(4,+∞)
解析:定义域满足x2-2x-8>0,
所以x>4或x<-2.
令y=ln t,且t=x2-2x-8,
t=x2-2x-8在(4,+∞)上是增函数,
在(-∞,-2)上是减函数,
y=ln t在(0,+∞)上单调递增,
所以y=f(x)在(4,+∞)上递增.
故选D.
3.(2018·全国Ⅲ卷,文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( D )
解析:法一 f'(x)=-4x3+2x,
则f'(x)>0的解集为-∞,-∪0,,f(x)单调递增;f'(x)<0的解集为-,0∪,+∞,f(x)单调递减.故选D.
法二 当x=1时,y=2,所以排除A,B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=>2,所以排除C选项.故选D.
4.(2018·全国Ⅰ卷,文12)设函数f(x)=则满足f(x+1)
(C)(-1,0) (D)(-∞,0)
解析:法一 ①当即x≤-1时,f(x+1)
②当时,不等式组无解.
③当即-1
因此不等式的解集为(-1,0).
④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.
综上,不等式f(x+1)
法二
当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)
所以x<0,
即不等式f(x+1)
5.(2018·全国Ⅱ卷,文12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于( C )
(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50
解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(1-x)=-f(x-1).
又f(1-x)=f(1+x),
所以-f(x-1)=f(x+1),
所以f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
所以函数f(x)是周期为4的周期函数.
由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)=0.
又因为f(1-x)=f(1+x),
所以f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.
又f(1)=2,所以f(-1)=-2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.
6.(2017·全国Ⅲ卷,文12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a等于( C )
(A)- (B) (C) (D)1
解析:函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点等价于方程-x2+2x=a(ex-1+e-x+1)有唯一解,即函数g(x)=-x2+2x,h(x)=a(ex-1+e-x+1)有唯一的交点,通过验证四个选项,可知当a=时,函数g(x)=-x2+2x在x=1取得最大值1,函数h(x)=a(ex-1+e-x+1)在x=1取得最小值1,两个函数图象仅有一个交点,故选C.
7.(2016·全国Ⅱ卷,文12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi等于( B )
(A)0 (B)m (C)2m (D)4m
解析:由题y=f(x)与y=|x2-2x-3|均关于x=1对称.则当两函数交点个数m为偶数时,xi=×2=m.当交点个数为奇数时,xi=2×+1=m,故选B.
8.(2014·全国Ⅰ卷,文12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( C )
(A)(2,+∞) (B)(1,+∞)
(C)(-∞,-2) (D)(-∞,-1)
解析:由题意得ax3-3x2+1=0存在唯一的正数解,
a=-,设h(x)=-,x≠0,
则h'(x)=-+=,
令h'(x)>0得-1
所以h(x)在(-∞,-1)上单调递减,(-1,0)上单调递增,
在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
且x→-∞时,h(x)→0;
x→+∞时,h(x)→0,
且h(1)=2,h(-1)=-2,
如图,直线y=a与h(x)图象只有一个交点,且x0>0,
观察图象可得a<-2.故选C.
1.考查角度
全面考查函数的概念、表示方法,函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,函数图象的识别判断和应用,考查函数与方程.
2.题型及难易度
选择题、填空题,易、中、难三种题型均有.
(对应学生用书第8~10页)
函数的性质
【例1】 (1)(2018·天津滨河新区八校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有<0,记a=,b=,c=,则( )
(A)a
(A)403 (B)405 (C)806 (D)809
(3)(2018·湖南省永州市高三一模)定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
解析:(1)设0
所以函数g(x)=在(0,+∞)上单调递减,
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
因此a==g(4.10.2)
c==g(log0.24.1)
=g(log54.1)∈(g(1),g(0.5)),
即a
即函数的周期为5.
当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,
所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.
当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,
所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)
=403×(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5))+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)
=403×1+f(1)+f(2)+f(3)=403+0+1+1=405.
故选B.
(3)画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图,
由图可知,函数M在 A(2,4) 处取得最小值4,
即M的最小值为4,故选C.
函数的性质主要是单调性、最值、奇偶性和周期性.(1)注意函数单调性的定义及其等价形式,如函数在区间D单调递增:∀x1,x2∈D,(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,>0等.
(2)注意函数周期性的几种呈现形式,如下均是以2为周期的函数的呈现形式f(x-2)=f(x),f(x-1)=f(x+1),f(x+1)=-f(x),f(x+1)=.
(3)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a),f(-a)的转化,注意其图象的对称性的应用.
热点训练1:(1)(2018·河南省中原名校质检二)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为( )
(A)(2,+∞) (B)0,∪(2,+∞)
(C)0,∪(,+∞) (D)(,+∞)
(2)(2018·广东东莞考情冲刺)已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x+4)=f(x-2),且当x∈[-3,0)时,f(x)=+3sin x,则f(2 018)等于( )
(A)- (B)- (C) (D)
解析:(1)因为f(x)是R上的偶函数,
且在(-∞,0]上单调递减,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,
因为f(1)=2,所以f(log2x)>2=f(1),
即f(log2x)>f(1),
所以log2x<-1或log2x>1,
所以0
(2)因为函数f(x)(x∈R)为奇函数且满足f(x+4)=f(x-2),
所以f(x+6)=f(x),
即函数f(x)表示以6为周期的周期函数,
因为当x∈[-3,0)时,f(x)=+3sin x,
所以f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=-f(-2)
=-+3sin(-π)=,故选D.
函数的图象
【例2】 (1)(2018·陕西省西工大八模)函数y=ex(2x-1)的示意图是( )
(2)(2018·河南中原名校质检二)定义在R上的函数f(x),满足f(x)=且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=,则方程g(x)=f(x)在区间[-1,5]上所有实根之和为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:(1)y'=2ex+ex(2x-1)=ex(2x+1),
令y'>0,得函数y=ex(2x-1)在-,+∞上递增,
令y'<0,得函数y=ex(2x-1)在-∞,-上递减,
又因为x=0时,y=-1,所以排除B,C,D.故选A.
(2)由f(x+1)=f(x-1)知f(x)为以2为周期的周期函数,因为f(x)=g(x)==2+,所以函数f(x),g(x)在[-1,5]上的图象如图所示,
又因为g(x)=关于(2,2)中心对称,故方程g(x)=f(x)在区间[-1,5]上的根就是函数y=f(x)和y=g(x)的交点横坐标,共有三个交点,自左向右横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1和x3关于(2,2)中心对称,所以x1+x3=4,x2=1,故x1+x2+x3=5.故选C.
函数图象主要有两类问题.(1)函数图象的识别:基本方法是根据函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)以及特殊点的函数值,采用排除法找到符合要求的函数图象.
(2)函数图象的应用:利用函数图象解决函数的零点个数的判断(见热点三),利用函数图象的对称性求解函数值之和或者自变量之和等,常见的结论是“如果f(a-x)=f(a+x)对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;如果f(a-x)+f(a+x)=2b对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,以及上述两个结论的各种等价形式”.
热点训练2:(1)(2018·河南中原名校质检二)函数f(x)=的大致图象是( )
(2)(2018·广西钦州第三次质检)设函数f(x)=2sin2πx与函数y=的图象在区间-,上交点的横坐标依次为x1,x2,…,xn,则xi等于( )
(A)4 (B)2 (C)0 (D)6
解析:(1)f(x)==
f(x)为奇函数,排除B;
在(0,+∞)上,当0
(2)函数y==-与y=2sin2πx的图象有公共的对称中心,0,
从图象知它们在区间-,上有八个交点,分别为四对对称点,每一对的横坐标之和为1,故所有的横坐标之和为4.故选A.
函数与方程
考向1 判断函数零点个数
【例3】 (1)(2018·江西九校联考)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))-f(x)的零点的个数为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(2)(2018·福建泉州5月质检)设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)+x的零点个数是 .
解析:(1)令u=f(x),对函数y=f(f(x))-f(x)求零点,
由f(u)-u=0,得f(u)=u,
所以或
解得u=e或u=-2.
①当u=e时,由f(x)=e得
或前一式解得x=e,
后一式解得有两个负解.
②u=-2时,即f(x)=-2,
无解或有两解,
总之,共有解1+2+2=5(个),
即函数有5个零点,故选D.
(2)在同一个坐标系中画出函数f(x)=的图象和直线y=-x,如图所示.
而函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为
函数f(x)=的图象和直线y=-x的交点的个数,
从图中发现,一共有两个交点,所以其零点个数为2.
答案:(1)D (2)2
(1)函数零点可以化为两个函数图象的交点问题解决,即通过把方程f(x)=0化为g(x)=h(x),则f(x)零点的个数即为函数y=g(x),y=h(x)图象的交点个数,这是解决函数零点问题的基本方法.
(2)复合函数的零点问题常使用换元方法,把复合函数化为一个简单的函数,先研究这个简单函数的零点情况,再根据换元表达式研究原来的函数零点情况.
考向2 根据零点个数确定参数范围
【例4】 (1)(2018·安徽淮南二模)已知函数f(x)=则方程f(x)=kx恰有两个不同的实根时,实数k的取值范围是( )
(A)0, (B)0,
(C), (D),
(2)(2018·福建莆田第二次质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=若函数F(x)=f(x)-m有六个零点,则实数m的取值范围是( )
(A)-, (B)-,0∪0,
(C)-,0 (D)-,0
解析:(1)因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根,
所以y=f(x)与y=kx有两个交点,
k表示直线y=kx的斜率,
当x>1时,y=f(x)=ln x,
所以y'=;
设切点为(x0,y0),则k=,
所以切线方程为y-y0=(x-x0),
又切线过原点,所以y0=1,x0=e,k=,
如图所示,
结合图象,可得实数k的取值范围是,.故选C.
(2)x≥0时,画出函数的图象如图所示,当0≤x<2时,很容易画出图象,利用导数研究函数y=(x≥2)的图象的走向,从而确定出其在[2,3)上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,但是其一直落在x轴下方,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数F(x)=f(x)-m有六个零点,等价于有三个正的零点,相当于函数f(x)的图象与直线y=m在y轴右侧有三个交点,观察图象可知m的取值范围是-,0,故选D.
根据函数零点个数确定参数取值集合的基本思想是数形结合,即把方程f(x)=0化为g(x)=f(x),通过函数y=g(x),y=h(x)的交点个数确定参数值的集合.把方程f(x)=0化为g(x)=h(x)的基本思想是(1)如果参数能够分离,且分离参数后,另一端的函数性质较易研究,则采用分离参数的方法.
(2)如果参数不易分离,或者分离参数后另一端的函数性质较难研究,则尽可能把参数与x的一次式放在一起,这样含参数的函数图象为直线,利用直线与函数图象的交点确定参数范围.
热点训练3:(1)(2018·江西省新余一中二模)用[a]表示不大于实数a的最大整数,如[1.68]=1,设x1,x2分别是方程x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,则[x1+x2]等于( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(2)(2018·天津河东区二模)已知函数f(x)满足f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根,则实数m的取值范围是( )
(A)0, (B),+∞
(C)0, (D)0,
(3)(2018·四川成都模拟一)已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数是( )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
解析:(1)因为x1,x2分别是方程
x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,
所以x1,x2分别是g(x)=x+ex-4及h(x)=x+ln(x-1)-4的零点,
由于g(x)是单调递增函数,
又g(1)<0,g>0,
所以1
h>0,所以3
f(x)=-1=-1=-,
在同一坐标系内画出y=f(x),y=mx+m在(-1,1]上的图象,
动直线y=mx+m过定点(-1,0),
当再过(1,1)时,斜率m=,
由图象可知当0
(3)令f(x)=t,函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数问题⇔f(t)-t-1=0的根的个数问题.y=f(t),y=t+1的图象如图,结合图象可得f(t)-t-1=0的根t1=0,t2=1,t3∈(1,2),方程f(x)=0有1解,f(x)=1有3解,f(x)=t3有3解.
综上,函数F(x)的零点个数是7.
故选A.
【例1】 (1)(2018·天津河西区三模)设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是( )
(A)-1 (B)- (C)- (D)
(2)(2018·天津质量调查)已知函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,且当x≤0时,f(x)=-x3+ln(1-x),设a=f(log36),b=f(log48),c=f(log510),则a,b,c的大小关系为( )
(A)a>b>c (B)c>b>a
(C)b>c>a (D)b>a>c
解析:(1)易知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,
则由f(1-x)≤f(x+m),
得|1-x|≥|x+m|,即(1-x)2≥(x+m)2,
即g(x)=(2m+2)x+m2-1≤0在x∈[m,m+1]上恒成立,
则
解得-1≤m≤-,
即m的最大值为-.
(2)函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,
将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位得到y=f(x),
则f(x)关于直线x=0即y轴对称,
则函数f(x)是偶函数,
当x≤0时,f(x)=-x3+ln(1-x),为减函数,
所以当x≥0时f(x)为增函数,
因为log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52,
且log32=,log42=,log52=,
又0
即log32>log42>log52>0,
则1+log32>1+log42>1+log52>1,
即log36>log48>log510>1,
因为当x≥0时f(x)为增函数,
所以f(log36)>f(log48)>f(log510),
即a>b>c.故选A.
【例2】 (1)(2018·山东潍坊青州三模)函数f(x)=(ex-e-x)cos x在区间[-5,5]上的图象大致为( )
(2)(2018·安徽合肥一中冲刺高考最后一卷)函数y=sin x(1+cos 2x)在区间[-2,2]内的图象大致为( )
(3)(2018·江西重点中学协作体二联)函数f(x)=ln|x-1|-ln|x+1|的大致图象为( )
解析:(1)当x∈[0,5]时,由f(x)=(ex-e-x)cos x=0,
可得函数的零点为0,,,可排除选项A,D;
当x=π时,f(π)=-eπ+e-π<0,
对应点在x轴下方,可排除选项C,故选B.
(2)函数y=sin x(1+cos 2x)定义域为[-2,2],
其关于原点对称,
且f(-x)=sin(-x)(1+cos 2x)=-sin x·(1+cos 2x)=-f(x),
则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除D;
当0
排除C;
由2sin xcos2x=0,可得x=±或0,排除A,故选B.
(3)函数定义域是{x|x≠±1},
又f(-x)=ln|-x-1|-ln|-x+1|
=ln|x+1|-ln|x-1|=-f(x),
即f(x)是奇函数,排除A,C,
又f=ln-ln<0,排除D,
正确答案为B.故选B.
【例3】 (1)(2018·福建百校临考冲刺)设函数f(x)=若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,使得====7,则a的取值范围为( )
(A)(6,12) (B)[6,12]
(C)(6,18) (D)[6,18]
(2)(2018·福建百校联考冲刺)已知函数f(x)=则函数f[f(x)]的零点个数为( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
(3)(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数.若函数f(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
(A)1,1+∪(-2,0) (B)1,1+
(C)-2,1+ (D)(-2,1)
解析:(1)存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,
使得====7成立,
等价于方程=7有四个不同的实根,
易证:当x≤1时,方程|12x-4|=7x有两个不等实根,分别为,,
则当x>1时,方程x(x-2)2+a=7x也有两个不等实根,
令g(x)=x(x-2)2+a-7x=x3-4x2-3x+a,
则g'(x)=3x2-8x-3,令g'(x)=0,
解得x1=-,x2=3,
可知函数g(x)在区间(1,3)上单调递减,
在区间(3,+∞)上单调递增,
若使函数g(x)有两个零点,
必有g(1)=-6+a>0,g(3)=-18+a<0,
解得6
因为f[f(x)]=0,所以f(t)=0,
由图象可知,f(t)=0有四个解,
分别为t1=2,t2=3,-1
即f[f(x)]=0有2个零点;
由图象可知,当t2=3时,f(x)=3有一个根,
即f[f(x)]=0有1个零点;
由图象可知,当-1
由图象可知,当1
综上所述,f[f(x)]=0有8个零点.所以选C.
(3)①当a=1时,f(x)=
由f(x)=0得或
解得x=0或x=-1-,函数f(x)只有两个零点,舍去;
②当a<1时,若x≥0,则f(x)=(a-1)ex-x,
所以f'(x)=(a-1)ex-1<0,
所以f(x)≤f(0)=a-1<0;
当x<0,f(x)=2x2+4x-a=0至多两个零点,
即函数f(x)至多两个零点,舍去;
③当a>1时,若x<0,则f(x)=2x2+4x-a=0只有一个零点,
若x≥0,则f(x)=(a-1)ex-x=0⇒a-1=,
令g(x)=,
因为g'(x)==0,所以x=1,
因此当0≤x≤1时,
g'(x)≥0,g(x)∈[g(0),g(1)]=0,,
当x>1时,g'(x)<0,g(x)∈0,,
因为要使函数f(x)有三个零点,
需使函数g(x)有两个零点,
因此0
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