2019届高三文科数学二轮复习配套教案：第一篇专题三第2讲　解三角形

第2讲　解三角形

(对应学生用书第20页)

1.(2018·全国Ⅱ卷,文7)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB等于(　A　)

(A)4 (B) (C) (D)2

解析:因为cos =,

所以cos C=2cos2-1=2×2-1=-.

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1×-=32,

所以AB==4.故选A.

2.(2018·全国Ⅲ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C等于(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为S=absin C==

=abcos C,

所以sin C=cos C,即tan C=1.

因为C∈(0,π),所以C=.故选C.

3.(2017·全国Ⅰ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C等于(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:△ABC中,A+B+C=π,

sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C).

因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,

所以sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,

sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,

cos Asin C+sin Asin C=0,

因为sin C>0,

所以sin A+cos A=0.

所以tan A=-1,

又因为A∈(0,π),所以A=,

由正弦定理得=,

所以=,sin C=,C为锐角,

所以C=,故选B.

4.(2017·全国Ⅱ卷,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=　　　　. 

解析:因为2bcos B=acos C+ccos A,

所以由正弦定理得

2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)

=sin B,

因为sin B≠0,

所以cos B=,B∈(0,π),

所以B=.

答案:

5.(2016·全国Ⅱ卷,文15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　. 

解析:由题sin A=,sin C=,

sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C

=×+×

=.

则由=得b===.

答案:

6.(2014·全国Ⅰ卷,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　 m. 

解析:

Rt△ABC中,∠CAB=45°,

BC=100 m,

所以AB=100 m,AC=100 m,

因为∠MAC=75°,∠ACM=60°,

所以∠AMC=180°-75°-60°=45°,

△MAC中,根据正弦定理

=,

所以=,

所以AM=100××=100(m).

Rt△MNA中,∠MAN=60°,sin 60°=,

所以MN=AM·sin 60°=100×=150(m).

答案:150

7.(2014·全国Ⅱ卷,文17)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.

(1)求C和BD;

(2)求四边形ABCD的面积.

解:(1)由题设及余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C

=13-12cos C,①

BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A

=5+4cos C.②

由①②得cos C=,故C=60°,BD=.

(2)四边形ABCD的面积

S=AB·DAsin A+BC·CDsin C

=×1×2+×3×2sin 60°

=2.

1.考查角度

考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题.

2.题型及难易度

选择题、填空题、解答题均有,难中易三种题型均有.

(对应学生用书第20~22页)

正余弦定理、三角形面积公式的应用

考向1　解一般三角形

【例1】 (1)(2018·湖南省永州市一模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若2sin B=sin A+sin C,cos B=,且S△ABC=6,则b等于(　　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

(2)(2018·超级全能生全国联考)已知△ABC中,AC=4,BC=4,∠ABC=.

①求角A和△ABC的面积;

②若CD为AB上的中线,求CD2.

(1)解析:因为2sin B=sin A+sin C,

所以2b=a+c,

因为cos B=,

所以=,

即==-1=,

所以ac=b2,

所以S△ABC=acsin B=×b2×=6,

所以b2=16,所以b=4.故选C.

(2)解:①由=,得sin∠BAC=,

又BC<AC,则∠BAC<,

解得∠BAC=.

所以∠ACB=,

所以△ABC的面积

S=×4×4×sin=4(+1).

②设AB=x,

则在△ABC中,由余弦定理得32=x2+16-8xcos,

即x2-4x-16=0,

解得x=2+2(舍负),

所以BD=+.

在△BCD中,由余弦定理得

CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos=16-4.

(1)正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程,据此解三角形的基本思路是根据公式和已知条件得出方程或者方程组,通过解方程或者方程组得出未知元素.(2)已知两个内角和一条边的三角形只能使用正弦定理、已知三边的三角形只能使用余弦定理(其中已知两边及其夹角的也可使用余弦定理),已知两边及一边的对角的既能使用正弦定理也能使用余弦定理.

考向2　解实际应用问题

【例2】 (1)(2018·江西南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米B处,以v千米/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米C处,若cos α=cos β,则v等于(　　)

(A)60 (B)80 (C)100 (D)125

(2)

(2018·吉林大学附中四模)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,则可以计算出A,B两点的距离为　　　　m. 

解析:

(1)作图如图所示,由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2×200×150cos(α+β),(*)

由正弦定理得=,sin α=sin β.

由sin2α+cos2α=1,

解得sin β=,

故cos β=,sin α=,cos α=,

故cos(α+β)=-=0,

代入(*)式,解得v=100.故选C.

(2)根据三角形内角和为180°,所以∠BAC=30°,

由正弦定理=,

即=,

解得AB=50(m).

答案:(1)C　(2)50

把实际问题归入可解三角形中,再根据正弦定理、余弦定理得出需要的量,解题中准确画出图形是关键一步.

考向3　平面图形中的有关计算

【例3】 (1)(2018·湖北省高三5月冲刺)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为40 m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(　　)(其中π≈3,≈1.73)

(A)15 m2 (B)16 m2 (C)17 m2 (D)18 m2

(2)

(2018·湖南长郡中学二模)如图,在平面四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=60°,∠D=150°,AB=2BC=4,则四边形ABCD的面积为　　　　. 

解析:(1)因为圆心角为,弦长为40 m,

所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m,

因此根据经验公式计算出弧田的面积为

(40×20+20×20)=(400+200)m2,

实际面积等于扇形面积减去三角形面积为

××402-×20×40=-400m2,

因此两者之差为-400-(400+200)≈16 m2.

故选B.

(2)

连接AC,在△ABC中,AB=2BC=4,∠B=60°,

利用余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BC·AB·cos B,

解得AC=2,所以AB2=AC2+BC2,

所以△ABC是直角三角形,

所以∠DAC=∠DCA=15°,

过点D作DE⊥AC,

则AE=AC=,

所以DE=tan 15°AE=(2-)×=2-3,

则S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=6-3+2=6-.

答案:(1)B　(2)6-

平面图形中计算包括线段长度、图形面积、角度等,基本思想是找出平面图形中的可解三角形,通过解三角形计算出相关的元素,得出求解目标.

热点训练:(1)(2018·广西二模)我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”,设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积公式”为S=.若a2sin C=24sin A,a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a2)sin A,则用“三斜求积公式”求得的S等于(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)(2018·河南省高三最后一卷)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+bsin A=csin C,a=2,b=2,则sin B=　　　　; 

(3)

(2018·山东潍坊青州三模)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=,BC=,AB⊥AD,AC⊥CD,AD=3AC,则AC=　　　　; 

(4)(2018·广西省柳州市一模)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B-bcos A=0.

①求A;

②当a=,b=2时,求△ABC的面积.

(1)解析:由a2sin C=24sin A可得a2c=24a,

所以ac=24,

由a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a2)sin A可得

a(c-b)(c+b)=(27-a2)a,

整理得a2+c2-b2=27,

结合三角形面积公式可得

S=

=

=.

故选D.

(2)解析:因为asin A+bsin B+bsin A=csin C,

所以a2+b2+ab=c2.

由余弦定理得cos C==-,

又0<C<π,

所以C=.

c2=a2+b2-2abcos C

=22+(2)2-2×2×2×-

=20,

所以c=2.

由正弦定理得=,

即=,

解得sin B=.

答案:

(3)解析:设AC=x,AD=3x,

在直角△ACD中,得CD==2x,

所以sin∠CAD==,

在△ABC中,由余弦定理得

cos∠BAC==,

由于∠BAC+∠CAD=,

所以cos∠BAC=sin∠CAD,

即=,

整理得3x2-8x-3=0,

解得x=3.即AC=3.

答案:3

(4)解:①因为asin B-bcos A=0,

由正弦定理,得sin A sin B-sin B cos A=0,

又sin B≠0,从而tan A=,

由于0<A<π,所以A=.

②法一　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,

而a=,b=2,A=,

得7=4+c2-2c,

即c2-2c-3=0.

因为c>0,所以c=3,

故△ABC面积为bcsin A=.

法二　由正弦定理,得=,

从而sin B=.

又由a>b知A>B,

所以cos B=,

故sin C=sin (A+B)

=sinB+

=sin B cos +cos B sin

=,

所以△ABC的面积为absin C=.

解三角形与三角函数的综合

考向1　三角函数方法求三角形中的最值和范围

【例4】 (1)(2018·安徽江南十校二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A是B和C的等差中项,·>0,a=,则△ABC周长的取值范围是(　　)

(A), (B),

(C), (D),

(2)(2018·福建厦门二检)等边△ABC的边长为1,点P在其外接圆劣弧AB上,则S△PAB+S△PBC的最大值为　　　　. 

解析:(1)因为A是B和C的等差中项,

所以2A=B+C,所以A=,

又·>0,则cos(π-B)>0,

从而B>,所以<B<,

因为====1,

所以b=sin B,c=sin C=sin-B,

所以△ABC的周长为

l=a+b+c=+sin B+sin-B

=sinB++,

又<B<,<B+<,

<sinB+<,

所以<l<.故选B.

(2)

设∠PCA=θ,则∠PCB=-θ,∠PBC=+θ,

外接圆半径为R,

在△ABC中,2R==,

同理PA=sin θ,PB=sin-θ,

PC=sin+θ,

则S△PAB+S△PBC=PB×(PA+PC)

=sin-θsin θ+sin+θ

=cos θ-sin θsin θ+cos θ

=sin 2θ+cos 2θ

=sin2θ+.

当θ=时,S△PAB+S△PBC的最大值为.

答案:(1)B　(2)

根据正弦定理把三角形中的边使用一个角的三角函数表示出来,代入求解目标,把求解目标化为该角的三角函数式,利用三角恒等变换把求解目标化为可以使用三角函数性质得出其最值或者取值范围的形式,得出其最值或者取值范围.

考向2　三角形中的三角函数求值

【例5】 (1)(2018·天津市滨海新区八校联考)已知在△ABC中,cosA-=,则sin 2A等于(　　)

(A)- (B) (C) (D)-

(2)(2018·天津市滨海新区八校联考)在△ABC中,AB=,AC=3,sin A=2sin C.

①求BC的长;

②求cos2C-的值.

(1)解析:因为cosA-=,

所以cos A cos +sin A sin =,

即(cos A+sin A)=,

所以cos A+sin A=,

两边平方,得1+sin 2A=,

所以sin 2A=-.故选A.

(2)解:①在△ABC中,因为sin A=2sin C,

所以BC=2AB=2.

②因为cos C==,

所以sin C=,

所以sin 2C=2sin Ccos C=,

cos 2C=cos2C-sin2C=,

cos2C-=cos 2Ccos +sin 2Csin =.

根据正、余弦定理求出三角形中一些角的三角函数,把求解目标使用求出的角表示出来,再利用三角恒等变换公式求出其值.

考向3　三角函数与解三角形的交汇

【例6】 (2018·陕西省西工大附中七模)已知f(x)=(sin ωx+cos ωx)cos ωx-,其中ω>0,若f(x)的最小正周期为4π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)锐角三角形ABC中,(2a-c)cos B=bcos C,求f(A)的取值范围.

解:(1)f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx=sin2ωx+,

因为f(x)的最小正周期为4π,

所以ω=,

所以f(x)=sinx+,

令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,

解得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为4kπ-,4kπ+,k∈Z.

(2)因为(2a-c)cos B=bcos C,

所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,

整理得2sin Acos B=sin A,cos B=,B=,

因为三角形ABC是锐角三角形,

所以0<A<且0<-A<,

所以<A<,所以<A+<,

所以<f(A)<.

从三角恒等变换角度把三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式解决三角函数问题(如求最小正周期、单调区间、最值等),从正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的角度求解出三角形中的元素,结合三角函数的性质解决问题,特别要注意的事项是三角形中角的范围.

【例1】 (2018·陕西咸阳5月信息专递)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcos C+csin B.

(1)求角B;

(2)若b=2,求△ABC的面积最大值.

解:(1)由已知和正弦定理得

sin A=sin Bcos C+sin Csin B,

因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,

所以sin B=cos B,

又0°<B<180°,

解得B=45°.

(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,

即(2)2=a2+c2-2accos 45°,

整理得a2+c2=8+ac.

又a2+c2≥2ac(当且仅当a=c时取等号),

所以8+ac≥2ac,即ac≤4(2+),

所以S△ABC=acsin B≤×4(2+)×=2+2,

故△ABC面积的最大值为2+2.

【例2】

(2018·江苏南京师大附中考前模拟)如图,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向6千米处.

(1)警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时∠CBP=45°,求BP的距离;

(2)警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?

解:(1)在△ABP中,AB=6,∠A=60°,∠APB=75°,

由正弦定理,=,

即BP==

=

=3(-)

=(9-3)(千米),

故BP的距离是(9-3)千米.

(2)甲从C到A,需要4小时,乙从A到B需要1小时.

设甲、乙之间的距离为f(t),要保持通话则需要f(t)≤9.

①当0≤t≤1时,

f(t)=

=3≤9,

即7t2-16t+7≤0,

解得≤t≤,又t∈[0,1],

所以≤t≤1,

时长为小时.

②当1<t≤4时,

f(t)=

=3≤9,

即t2-6t+3≤0,

解得3-≤t≤3+,

又t∈(1,4],

所以1<t≤4,时长为3小时.

3+=(小时).

故两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时.

【例3】 (2018·河南郑州外国语学校第十五次调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=sin C.

(1)若cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,求sin A+sin B的值;

(2)若c=2,求△ABC面积的最大值.

解:(1)因为cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,

所以1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sin Asin B,

所以sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,

所以a2+b2-c2=-ab,

所以cos C==-,

又0<C<π,

所以C=,

sin A+sin B=sin C=sin=.

(2)当c=2,a+b=c=2,

所以cos C===-1,

所以sin C=

=

=,

所以S△ABC=absin C

=ab

=,

因为a+b=2,

所以a+b=2≥2,

即ab≤3,当且仅当a=b=时等号成立,

所以S△ABC=≤=,

所以△ABC面积的最大值为.

(对应学生用书第22页)

【典例】 (2015·全国Ⅰ卷,文17)(12分)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.

(1)若a=b,求cos B;

(2)若B=90°,且a=,求△ABC的面积.

评分细则:

解:(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.2分

又a=b,所以可得b=2c,a=2c.4分

由余弦定理可得cos B==.6分

(2)由(1)知b2=2ac.

因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.8分

故a2+c2=2ac,得c=a=,11分

所以△ABC的面积为1.12分

【答题启示】

(1)解三角形的基本工具是勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换公式,解题中首先要保证知识使用正确.

(2)解三角形的基本思想是方程思想,通过(1)中的知识和已知条件得出关于求解目标的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得结果.