2019届高三理科数学二轮复习配套教案：第一篇专题六第1讲　直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质

第1讲　直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质

(对应学生用书第42页)

1.(2018·全国Ⅱ卷,理5)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　A　)

(A)y=±x (B)y=±x

(C)y=±x (D)y=±x

解析:由e===,得=,

所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选A.

2.(2018·全国Ⅲ卷,理6)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　A　)

(A)[2,6] (B)[4,8] 

(C)[,3] (D)[2,3]

解析:设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心 C(2,0),r=,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知条件可得AB=2,所以△ABP面积的最大值为AB·dmax=6,△ABP面积的最小值为AB·dmin=2.

综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.

3.(2017·全国Ⅲ卷,理5)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(　B　)

(A)-=1 (B)-=1

(C)-=1 (D)-=1

解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b2=5a2,

椭圆+=1的焦点为(3,0),

所以c=3.

在双曲线中c2=a2+b2得a2=4,b2=5.

故选B.

4.(2017·全国Ⅱ卷,理9)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(　A　)

(A)2 (B) (C) (D)

解析:双曲线的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,

圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2.

依题意可得2=2,

即=1,

所以d=.

又d==,

所以4b2=3c2,

所以4(c2-a2)=3c2,

所以=4,

即e2=4.所以e=2.故选A.

5.(2017·全国Ⅲ卷,理10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:以A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,

因为直线bx-ay+2ab=0与圆相切,

所以=a得a2=3b2,

由a2=b2+c2得e=,

故选A.

6.(2018·全国Ⅱ卷,理12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:

由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,

设|F1F2|=2c,

因为△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,

所以|PF2|=|F1F2|=2c,

因为|OF2|=c,

所以点P坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°),

即点P(2c,c),

因为点P在过点A,且斜率为的直线上,

所以=,

解得=,

所以e=,故选D.

7.(2017·全国Ⅰ卷,理15)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为　　　　. 

解析:双曲线方程为-=1,

双曲线的渐近线bx-ay=0与圆相交,

则A(a,0)到直线bx-ay=0的距离为=,

又∠MAN=60°,故d=b.

所以=b,故e==.

答案:

1.考查角度

(1)圆的方程、直线与圆的位置关系.

(2)椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质.

2.题型及难易度

选择、填空题,有时也可能出直线与位置关系的解答题,难度为中、低档.

(对应学生用书第42~43页)

直线与圆

考向1　圆的方程

【例1】 一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　. 

解析:由题意知a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2(0<m<4,r>0),

则解得

所以圆的标准方程为x-2+y2=.

答案:x-2+y2=

考向2　直线与圆的位置关系

【例2】 (2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.

所以圆心C(0,-1),半径r=2.

圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,

所以|AB|=2=2=2.

答案:2

(2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断,并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.

热点训练1:(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　. 

解析:法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),

所以

解得

所以圆的方程为x2+y2-2x=0.

法二　画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.

答案:x2+y2-2x=0

热点训练2:(2016·全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为　　　　. 

解析:因为x2+y2-2ay-2=0,

所以x2+(y-a)2=2+a2,

点(0,a)到直线y=x+2a的距离d==.

2+a2-=3,

所以a2=2,所以r2=2+a2=4,

圆面积S=πr2=4π.

答案:4π

圆锥曲线的定义与标准方程

考向1　圆锥曲线的定义及应用

【例3】 点P是双曲线-=1的右支上一点,点M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的动点,则|PM|-|PN|的最小值为(　　)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:a=4,b=3,c=5,所以双曲线两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),恰好为圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,

因为|PF1|-|PF2|=2a=8,

所以|PM|min=|PF1|-r1=|PF1|-2,

|PN|max=|PF2|+r2=|PF2|+1,

所以(|PM|-|PN|)min=(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=8-3=5.故选C.

考向2　圆锥曲线的方程

【例4】 (2018·衡阳三模)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆上一动点(异于左、右顶点),若△AF1F2的周长为6且面积的最大值为,则椭圆的标准方程为(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+y2=1 (D)+y2=1

解析:由椭圆的定义可得2(a+c)=6,

所以a+c=3,①

当A在上(或下)顶点时,△AF1F2的面积取得最大值,

即最大值为bc=,②

由①②及a2=c2+b2联立求得a=2,b=,c=1,

可得椭圆方程为+=1.故选A.

①定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.②计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线设为mx2-ny2=1(mn>0).

热点训练3:

如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为(　　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:因为b2=2,c=,

所以|F1F2|=2.

又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,

由余弦定理得

cos 120°==-,

解得a=3.

故选B.

热点训练4:(2018·黑龙江模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为(　　)

(A)-=1 (B)-=1

(C)x2-=1 (D)-y2=1

解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,

可得=,它的一个焦点坐标为(2,0),可得c=2,即a2+b2=4,

解得a=1,b=,

所求双曲线方程为x2-=1.故选C.

圆锥曲线的几何性质

【例5】 (2018·安阳一模)已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,且·(+)=0(O为坐标原点),若||=||,则椭圆的离心率为(　　)

(A)- (B)

(C)- (D)

解析:

如图,取PF1的中点A,连接OA,

所以2=+,=,

所以+=,

因为·(+)=0,

所以·=0,

所以⊥,

因为||=||,

不妨设|PF2|=m,则|PF1|=m,

因为|PF2|+|PF1|=2a=m+m,

所以m=a=2(-1)a,

因为|F1F2|=2c,

所以4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2(3-2),

所以=9-6=(-)2,

所以e=-.故选A.

热点训练5:(2018·广西柳州市一模)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:法一　因为点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,

所以=2,

设|PF2|=x,则|PF1|=2x,

由椭圆定义知x+2x=2a,

所以x=,

所以|PF2|=,则|PF1|=,

由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,

解得c=a,

所以e==,选A.

法二　由PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2.

不妨设|PF1|=2,|PF2|=1,则|F1F2|=.

所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=.

所以e==.故选A.

热点训练6:椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点,则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　　　　. 

解析:由题意可知,以F1F2为直径的圆的方程为

x2+y2=c2,将其代入椭圆方程,

消去y得(a2-b2)x2+a2b2-a2c2=0.

因为圆与椭圆有交点,

所以Δ=0-4(a2-b2)·(a2b2-a2c2)≥0,

所以a2c2(a2-2c2)≤0,所以a2≤2c2,即e=≥,

又椭圆的离心率e<1,所以≤e<1.

答案:,1

【例1】 (2018·江西赣州红色七校联考)已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心为(a,b),a-b+=0,①

⇒b=(a+1),

圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为d=1+=+1⇒|a+b|=2,②

由①②得|2a+1|=2,a<0,

故得a=-,a2+b2=a2+3(a+1)2=3.

【例2】 (2018·河南中原名校质检二)直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于两点A,B,线段AB的中点为 M(1,1),则椭圆的离心率是(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),

则

①-②整理得,=-·,

又kAB=-,

AB中点为M(1,1),所以-=-,

所以=,

所以e==.故选A.

【例3】 (2018·齐齐哈尔二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则+的取值范围为(　　)

(A)[1,2] (B)[,]

(C)[,4] (D)[1,4]

解析:由2b=2可得b=1,即A(0,1),

又F1(-c,0),B(-a,0),

所以=×(a-c)×1=,

又a2-c2=1,所以a=2,c=,

所以|PF1|+|PF2|=2a=4,

所以+=

=,

由题意得2-≤|PF1|≤2+,

|PF1|(4-|PF1|)=-(|PF1|-2)2+4,

所以1≤|PF1|(4-|PF1|)≤4,

所以1≤≤4.

故选D.