初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试达标测试

这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试达标测试，共19页。



一．选择题


1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）


A．4，4，9B．2，6，8C．3，4，5D．1，2，3


2．在△ABC中，如果∠B﹣2∠C＝90°﹣∠C，那么△ABC是（ ）


A．直角三角形


B．钝角三角形


C．锐角三角形


D．锐角三角形或钝角三角形


3．若一个三角形的两个不同的外角之和为300°，那么该三角形是（ ）三角形．


A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定


4．如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，则∠DAE等于（ ）





A．20°B．18°C．45°D．30°


5．如图，△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为（ ）





A．35°B．40°C．45°D．50°


6．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的取值范围是（ ）


A．m＞2B．m＜8C．2＜m＜8D．2≤m≤8


7．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）





A．105°B．115°C．120°D．135°


8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，则∠2＝（ ）





A．92°B．94°C．96°D．98°


9．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（ ）





A．50°B．60°C．70°D．80°


10．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（ ）





A．30°B．35°C．40°D．45°


11．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，连接BD，BE平分∠ABD，BE⊥AD，∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，若∠ADC＝110°，则∠F的度数为（ ）





A．115°B．110°C．105°D．100°


12．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C； ②∠AEF＝∠AFE； ③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个





二．填空题


13．如图，在△ABC中，AB＝2018，AC＝2015，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．





14．如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E，∠C＝40°，∠D＝20°，则∠ABC的度数为 ．





15．如图，已知，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，则∠AEB＝ °．





16．一个多边形的每个内角都等于120°，则它是 边形．


17．一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°．则∠BFD的度数是 ．








三．解答题


18．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝50°．


（1）求∠BFD的度数；


（2）若∠BAD＝∠EBC，∠C＝41°，求∠BAC的度数．








19．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．


（1）若∠B＝20°，∠C＝80°，求∠EAC和∠EAD的大小．


（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．








20．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P是直线AC上一点，过点P作PH⊥BM于点H．


（1）如图1，当∠ACB＝110°，∠BAC＝30°，且点P与点C重合时，∠APH＝ °；


（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH＝∠ACB﹣∠BAC；


（3）如图3，当点P在线段AM上（不含端点）时，


①补全图形；


②直接写出∠APH、∠ACB、∠BAC之间的数量关系： ．








21．在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．





（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为 °；


（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．


请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：


根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想： ；


（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．











22．（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试猜想∠BOC与∠A的关系，并证明．


（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试猜想∠A与∠D的关系 （直接写结果不要证明）


（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试猜想∠A与∠D的关系 （直接写结果不要证明）








23．同学们都知道，任意一个三角形，它的内角和都等于 ；这个内容你能证明吗？


如图1，已知△ABC，求证∠B+∠C+∠BAC＝180°


证明：过顶点A作直线MN∥BC，


∵MN∥BC∴∠BAM＝ ；


∠CAN＝ （ ）


∴∠B+∠C+∠BAC＝∠BAM+∠CAN+∠BAC＝ ．


由此可见，添加一条辅助线，可以帮助我们解决问题，亲借助于这种思路，说明下面的问题如图2，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D＝360°








24．已知：在△ABC中，且∠BAC＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，点F为直线AB上的一动点，连结EF，直线EF与直线AD交于点P，设∠AEF＝α°．


（1）如图1，若DE∥AB，则：


①∠ADE的度数是 ．


②当∠DPE＝∠DEP时，∠AEF＝ 度；当∠PDE＝∠PED时，∠AEF＝ 度．


（2）如图2，若DE⊥AC，则是否存在这样的α的值，使得△DPE中有两个相等的角？若存在，求出α的值；若不存在，说明理由．








参考答案


一．选择题


1．解：A、因为4+4＜9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；


B、因为2+6＝8，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；


C、因为3+4＞5，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；


D、因为1+2＝3，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；


故选：C．


2．解：由∠B﹣2∠C＝90°﹣∠C可得：∠B＝∠C+90°＞90°，


所以三角形是钝角三角形；


故选：B．


3．解：如图：





∵∠EAC+∠FCA＝300°，


∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠EAC+180°﹣∠FCA＝360°﹣（∠EAC+∠FCA）＝60°，


∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝120°，


即△ABC是钝角三角形．


故选：C．


4．解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C＝36°，


∴∠BAD＝14°，∠CAD＝54°，


∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°，


∴∠DAE＝34°﹣14°＝20°．


故选：A．


5．解：∵∠AEA′＝180°﹣∠A′EC＝180°﹣70°＝110°，


又∵∠A′ED＝∠AED＝∠AEA′＝55°，∠DA′E＝∠A＝55°，


∴∠A′DE＝∠ADE＝180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E＝180°﹣55°﹣55°＝70°，


∴∠A′DB＝180°﹣70°﹣70°＝40°


故选：B．


6．解：第三边m的取值范围是5﹣3＜m＜5+3，即2＜m＜8．


故选：C．


7．解：由三角形的内角和定理可知：α＝180°﹣30°﹣45°＝105°，


故选：A．


8．解：∵∠DEC是△ADE的外角，∠A＝46°，∠1＝52°，


∴∠DEC＝∠A+∠1＝46°+52°＝98°，


∵DE∥BC，


∴∠2＝∠DEC＝98°．


故选：D．


9．解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，


∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），


＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD）


∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD），


∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC）


∴∠BDC＝90°+∠A，


∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°，


故选：D．


10．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，


∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°＝4×180°，


∴∠1+∠2+∠3+∠4＝510°，


∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，


∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，


∴∠BOD＝540°﹣510°＝30°，


故选：A．


11．解：∵BE⊥AD，


∴∠BED＝90°，


又∵∠ADC＝110°，


∴四边形BCDE中，∠BCD+∠CBE＝360°﹣90°﹣110°＝160°，


又∵∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，


∴∠BCF+∠CBF＝×160°＝80°，


∴△BCF中，∠F＝180°﹣80°＝100°，


故选：D．


12．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，


∴∠C+∠ABC＝90°，


∠BAD+∠ABC＝90°，


∴∠BAD＝∠C，故①正确；


∵BE是∠ABC的平分线，


∴∠ABE＝∠CBE，


∵∠ABE+∠AEF＝90°，


∠CBE+∠BFD＝90°，


∴∠AEF＝∠BFD，


又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），


∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；


∵∠ABE＝∠CBE，


∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；


∵∠AEF＝∠AFE，


∴AE＝AF，


∵AG平分∠DAC，


∴AG⊥EF，故④正确．


综上所述，正确的结论是①②④．


故选：C．


二．填空题（共5小题）


13．解：∵AD是△ABC的中线，


∴BD＝CD，


∵△ABD周长＝AB+AD+BD，△ACD周长＝AC+CD+AD，


∴△ABD周长﹣△ACD周长＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝2018﹣2015＝3，


即△ACD和△BCD的周长之差是3，


故答案为：3．


14．解：∵DE⊥AC，∠D＝20°，


∴∠A＝70°，


∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，


∴∠ABC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，


故答案为70°．


15．解：∵BE∥AD，


∴∠ABE＝∠BAD＝20°，


∵BE平分∠ABC，


∴∠EBC＝∠ABE＝20°，


∵∠C＝90°，


∴∠BEC＝70°，


∴∠AEB＝110°，


故答案为：110．


16．解：∵多边形的每一个内角都等于120°，


∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，


∴边数n＝360°÷60°＝6．


故答案为：六．


17．解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，


∴∠CDF＝60°，


∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，


∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．


故答案为：15°．


三．解答题（共7小题）


18．解：（1）∵EH⊥BE，


∴∠BEH＝90°，


∵∠HEG＝50°，


∴∠BEG＝40°，


又∵EG∥AD，


∴∠BFD＝∠BEG＝40°；





（2）∵∠BFD＝∠BAD+∠ABE，∠BAD＝∠EBC，


∴∠BFD＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝40°，


∵∠C＝41°，


∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣41°＝99°．


19．解：（1）∵∠B＝20°，∠C＝80°，


∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，


∵AE平分∠BAC，


∴∠CAE＝∠BAC＝40°，


∵AD⊥BC，


∴∠ADC＝90°，


∵∠C＝80°，


∴∠CAD＝90°﹣∠C＝10°，


∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣10°＝30°；





（2）结论：∴∠EAD＝（∠C﹣∠B）．


理由：∵三角形的内角和等于180°，


∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，


∵AE平分∠BAC，


∴∠CAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），


∵AD⊥BC，


∴∠ADC＝90°，


∴∠CAD＝90°﹣∠C，


∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）＝∠C﹣∠B＝（∠C﹣∠B）．


20．解：（1）如图1中，





∵∠ACB＝110°，∠BAC＝30°，


∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝180°﹣110°﹣30°＝40°，


∵BM平分∠ABC，


∴∠HBC＝×40°＝20°，


∵PP⊥BM，


∴∠HCB＝90°﹣∠HBC＝90°﹣20°＝70°，


∴∠APH＝∠ACB﹣∠OCB＝110°﹣70°＝40°；


故答案为40．





（2）如图2中，作射线AH，





则∠4＝∠1+∠2，∠3＝∠5+∠P，


所以，∠3+∠4＝∠1+∠2+∠5+∠P，


∵PH⊥BH，


∴∠3+∠4＝90°，


∴∠1+∠2+∠5+∠P＝90°，


即∠BAC+∠2+∠P＝90°，


∵BH平分∠ABC，


∴∠2＝∠ABC，


∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，


∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB，


∴∠2＝（180°﹣∠BAC﹣∠ACB），


∴∠APH＝90°﹣∠BAC﹣∠2＝90°﹣∠BAC﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠ACB﹣∠BAC）；





（3）如图3中，结论：∠APH＝180°+（∠BAC﹣∠ACB）．





∵BH平分∠ABC，


∴∠ABH＝（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）．


∵PH⊥BH，


∴∠APH＝90°+（∠ABH+∠BAC）


＝90°+（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）+∠BAC


＝180°+（∠BAC﹣∠ACB），


即∠APH＝180°+（∠BAC﹣∠ACB）．


故答案为∠APH＝180°+（∠BAC﹣∠ACB）．


21．解：（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，


∴∠1＝（∠BAC+∠C）＝×150°＝75°，


∵∠1＝∠APB+∠BAC，


∴75°＝∠APB+30°，


∴∠APB＝45°，


故答案为45；


（2）


根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：


∠APB＝∠C；


（3）证明：如图3，∵AP平分∠BAC，


∴∠BAP＝∠BAC．


又∵BE平分∠ABD，


∴∠1＝∠ABD，


∵∠APB＝∠1﹣∠BAP，


∴∠APB＝∠ABD﹣∠BAC，


∴∠APB＝（∠ABD﹣∠BAC）．


∴∠APB＝∠C．








22．解：（1）∠BOC＝90°+∠A．


理由如下：如图1，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，


∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，


∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；


（2）∠D＝90°﹣∠A，


理由如下：如图2，∵BD平分∠FBC，


∴∠DBC＝∠FBC．


同理可证：∠DCB＝∠BCE．


∴∠DBC+∠DCB＝（∠FBC+∠BCE），


∵∠FBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，


∴∠DBC+∠DCB＝（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，


∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°﹣∠A；


故答案是：90°﹣∠A；


（3）∠BDC＝∠A；


证明：∵CD平分∠ACB的外角，BD平分∠ABC，


∴∠ECD＝∠ACE，∠DBC＝∠ABC


∵∠ECD是△DBC的外角


∴∠BDC＝∠ECD﹣∠DBC


＝（∠ACE﹣∠ABC）


∵∠ACE是△ABC的外角


∴∠ACE﹣∠ABC＝∠A


∴∠BDC＝∠A；


故答案是：∠A．








23．解：（1）过顶点A作直线MN∥BC，∵MN∥BC，


∴∠BAM＝∠B；∠CAN＝∠C（两直线平行，内错角相等）


∴∠B+∠C+∠BAC＝∠BAM+∠CAN+∠BAC＝180°．


故答案为：180°，∠B，∠C，两直线平行，内错角相等，180°；





（2）如图2，过点E引一条直线EF∥AB，


∵EF∥AB，


∴∠B+∠BEF＝180°．


∵AB∥CD，EF∥AB，


∴EF∥CD，


∴∠FED+∠D＝180°，


∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝180°+180°＝360°，


即∠B+∠BED+∠D＝360°．





24．解：（1）①∵∠BAC＝70°，AD是△ABC的角平分线，


∴∠BAD＝∠BAC＝35°，


∵DE∥AB，


∴∠ADE＝∠BAD＝35°，


故答案为35°．





②在△DPE中，∵∠ADE＝35°，


∴∠DPE＝∠PED＝（180°﹣35°）＝72.5°，


∵∠DPE＝∠AEP+∠DAE，


∴∠AEF＝72.5°﹣35°＝37.5°；


∵当∠PDE＝∠PED时，∠DPE＝110°，


∴∠AEF＝∠DPE﹣∠DAE＝75°，


故答案为37.5，75；


（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°﹣35°＝55°．


①当DP＝DE时，∠DPE＝62.5°，∠AEF＝∠DPE﹣∠DAC＝62.5°﹣35°＝27.5°．


②当EP＝ED时，∠EPD＝∠ADE＝55°，∠AEF＝∠DPE﹣∠DAC＝55°﹣35°＝20°．


③当DP＝PE时，∠EPD＝180°﹣2×55°＝70°，∠AEF＝∠DPE﹣∠DAC＝70°﹣35°＝35°．


④如图2中，当点F在BA的延长线上时，只有DE＝DP，


此时∠AEF＝90°﹣27.5°＝62.5°．


⑤当点F在AB的延长线上时，只有DE＝DP，同法可得α＝117.5°．











图2
图3
图4
∠C的度数
90°


∠C的伴随角∠APB的度数



图2
图3
图4
∠C的度数
90°
80°
120°
∠C的伴随角∠APB的度数
45°
40°
60°