初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试导学案

这是一份初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试导学案，共13页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)


1．在下列标志中，属于轴对称图形的是(B)





2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)


A． a＝1，b＝2，c＝3 B． a＝2，b＝3，c＝4


C． a＝2，b＝4，c＝5 D． a＝3，b＝4，c＝5


3．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)


A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个


4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)


A．20° B．35°


C．40° D．70°


(第4题)


(第5题)








5．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)


A． 2 B． eq \r(2)


C． eq \r(3) D． 2eq \r(,3)





(第6题)


6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的个数是(D)


①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3．


A． 1 B． 2 C． 3 D． 4


7．如图，将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角尺的最大边长为(D)


A． 3 cm B． 6 cm


C． eq \r(18) cm D． eq \r(72) cm


(第7题)


(第7题解)








【解】 如解图，过点C作CD⊥AD于点D，


则CD＝3 cm．


在Rt△ADC中，


∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)．


∵该三角尺是含45°角的三角尺，


∴∠BAC＝90°，AB＝AC＝6 cm，


∴BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(62＋62)＝eq \r(72)(cm)．





(第8题)





8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为(C)


A．22．5° B．30°


C．36° D．45°


【解】 设∠B＝x．


∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x．


∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x．


∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x．


∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x．


在△ABD中，∵∠B＝x，∠ADB＝∠BAD＝2x，


∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠B＝36°．


9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C)


A．20° B．25° C．30° D．45°


(第9题)


(第9题解)








【解】 如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，


则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠ACB．


∵△ABC是等边三角形，


∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4．


∴∠AME＝∠AEM＝60°．∴AM＝AE＝2．


∴BM＝AB－AM＝2．


∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．


∵EM∥BC，∴AD⊥EM．


∴点E和点M关于AD对称．


连结CM交AD于点F，连结EF，


则此时EF＋CF的值最小．


∵AC＝BC，AM＝BM，


∴∠ECF＝eq \f(1,2)∠ACB＝30°．


10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE．其中正确的是(C)


A． ② B． ①②③


C． ①②④ D． ①②③④


导学号：91354016


(第10题)


(第10题解)








【解】 如解图，在EA上取点F，使EF＝BE，连结CF．


∵CE⊥AB，EF＝BE，


∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．


∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠AFC．


∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠FAC．


在△ACD和△ACF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠D＝∠AFC，,∠DAC＝∠FAC，,AC＝AC，))


∴△ACD≌△ACF(AAS)．


∴AD＝AF，CD＝CF．∴CD＝CB，故①正确．


AD＋AB＝AF＋(BE＋AE)＝AF＋EF＋AE＝AE＋AE＝2AE，故②正确．


根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE，


故③错误．


AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．


综上所述，正确的是①②④．


二、填空题(每小题3分，共30分)


11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝__30°__．


,(第11题)) ,(第12题))


12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高AD的长是__8__ cm．


13．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E．若∠1＝50°，则∠2的度数为__40°__．


,(第13题)) ,(第14题))


14．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且它们相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，BC＝10，则△OEF的周长为__10__．


【解】 ∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，


∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO．


∵OE∥AB，OF∥AC，


∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，


∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠COF，


∴BE＝OE，OF＝FC，


∴△OEF的周长＝OE＋EF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10．





(第15题)


15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__52°__．


【解】 ∵AC＝AD＝DB，


∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C．


设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝eq \f(α,2)．


∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°－eq \f(α,2)．


∵∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°，


∴2α＋102°－eq \f(α,2)＝180°，


解得α＝52°，即∠ADC＝52°．


16．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，垂足为D，且OD＝3，则△ABC的面积是__eq \f(63,2)__．


, (第16题)) , (第16题解))


【解】 如解图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，连结OA．


由角平分线的性质知OD＝OE＝OF，


∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝eq \f(1,2)AB·OE＋eq \f(1,2)BC·OD＋eq \f(1,2)AC·OF＝eq \f(1,2)(AB＋BC＋AC)·OD＝eq \f(1,2)×21×3＝eq \f(63,2)．


17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是__eq \f(24,5)__．


,(第17题)) ,(第17题解))


【解】 过点A作AD⊥BC于点D，如解图．


∵AB＝AC＝5，BC＝6，


∴BD＝eq \f(1,2)BC＝3，∴AD＝eq \r(AB2－BD2)＝4．


易得当BP⊥AC时，BP有最小值．


此时eq \f(1,2)AD·BC＝eq \f(1,2)BP·AC，


得4×6＝5BP，∴BP＝eq \f(24,5)．


18．如图是两把完全一样的含30°角的三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两把三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是__5__．


(第18题)


(第18题解)








【解】 如解图，连结C′C．


∵M是AC，A′C′的中点，AC＝A′C′＝10，


∴CM＝A′M＝C′M＝eq \f(1,2)AC＝5，


∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠CMC′＝60°．


∴△MCC′为等边三角形．∴C′C＝CM＝5．





(第19题)


19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝__eq \f(5,2n＋1)__．


【解】 易得第一个正方形的面积为1，


第一个等腰直角三角形的面积为eq \f(1,4)，


第二个正方形的面积为eq \f(1,2)，


第二个等腰直角三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \f(1,4)，


……


∴第n个正方形的面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)×1＝eq \f(1,2n－1)，


第n个等腰直角三角形的面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2n＋1)，


∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＋eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(5,2n＋1)．





(第20题)


20．如图，正方形ABDE，正方形CDFI，正方形EFGH的面积分别为25，9，16，△AEH，△BDC，△GFI的面积分别为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝__18__．导学号：91354017


【解】 过点A作AK⊥HE，交HE的延长线于点K．


易得DE2＝25，DE2＝9，EF2＝16，


∴DE2＝DF2＋EF2，


∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°．


易得∠AEK＋∠DEK＝∠DEK＋∠DEF＝90°，


∴∠AEK＝∠DEF．


又∵AE＝DE，∠K＝∠DFE＝90°，


∴△AEK≌△DEF(AAS)，


∴AK＝DF．


又∵EH＝EF，


∴S△AHE＝eq \f(1,2)EH·AK＝eq \f(1,2)EF·DF＝S△DEF．


同理，S△BDC＝S△GFI＝S△DEF，


∴S1＋S2＋S3＝3S△DEF．


易得DF＝3，EF＝4，


∴S△DEF＝eq \f(1,2)×3×4＝6，


∴S1＋S2＋S3＝3×6＝18．


三、解答题(共40分)


21．(6分)如图，AD＝BC，AC＝BD．求证：△EAB是等腰三角形．





(第21题)


【解】 在△ADB和△BCA中，


∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝BC，,BD＝AC，,AB＝BA，))


∴△ADB≌△BCA(SSS)，


∴∠DBA＝∠CAB，


∴△EAB是等腰三角形．





(第22题)





22．(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？请说明理由．


【解】 △DEF是等边三角形．理由如下：


∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，


∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，


∴∠AFD＝30°，


∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°．


同理，∠FDE＝∠DEF＝60°．


∴△DEF是等边三角形．





(第23题)


23．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由．


【解】 EF⊥BC．理由如下：


过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G．


∵AB＝AC，AD⊥BC，


∴∠BAC＝2∠CAD．


又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，


∴∠BAC＝2∠E，


∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF．


又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即EF⊥BC．


24．(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF．


(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．


(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．


(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝eq \r(,8)，求此时线段CF的长(直接写出结果)．





(第24题)


【解】 (1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，


∴DF＝BF＝eq \f(1,2)BE，CF＝eq \f(1,2)BE，∴DF＝CF．


∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．


∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF．


∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，


∴∠DFE＝2∠DBF．


同理，∠CFE＝2∠CBF，


∴∠DFE＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF⊥CF．


(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：


如解图①，延长DF交BC于点G．


∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，


∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．


∵F为BE的中点，∴EF＝BF，


∴△DEF≌△GBF(AAS)，


∴DE＝GB，DF＝GF．


∵AD＝DE，∴AD＝GB．


∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC．


∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．


∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．





(第24题解)


(3)如解图②，延长DF交BA于点H．


∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，


∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°．


由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，


∴AE∥BC，


∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．


∵F是BE的中点，∴EF＝BF．


又∵∠DFE＝∠HFB，


∴△DEF≌△HBF(ASA)，∴ED＝BH．


∵BC＝AC＝eq \r(,8)，∠ACB＝90°，∴AB＝4．


∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3．


∵∠BAD＝90°，∴DH＝eq \r(10)，


∴DF＝eq \f(\r(10),2)，∴CF＝eq \f(\r(10),2)．


25．(10分)问题探究：


(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．


深入探究：


(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．


(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．





(第25题)


导学号：91354018


【解】 (1)BD＝CE．理由如下：


∵∠BAE＝∠CAD，


∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，


即∠EAC＝∠BAD．


在△EAC和△BAD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))


∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝CE．


(2)如解图①，在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连结EC．


∵∠ACD＝∠ADC＝45°，


∴AC＝AD，∠CAD＝90°，


∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，


即∠EAC＝∠BAD．


在△EAC和△BAD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))


∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．


∵AE＝AB＝7，∴BE＝eq \r(72＋72)＝eq \r(98)．


易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°，


∴∠CBE＝45°＋45°＝90°，


∴EC＝eq \r(BE2＋BC2)＝eq \r(（\r(98)）2＋32)＝eq \r(107)，


∴BD＝EC＝eq \r(107)．





(第25题解)


(3)如解图②，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB，交BC的延长线于点E．


∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°．


又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，


∴AE＝AB＝7，∴BE＝eq \r(72＋72)＝eq \r(98)．


∵∠ACD＝∠ADC＝45°，


∴∠DAC＝90°＝∠BAE，


∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，


即∠EAC＝∠BAD．


在△EAC和△BAD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAD，,AC＝AD，))


∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．


又∵BC＝3，∴BD＝EC＝BE－BC＝eq \r(98)－3．