浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形（A卷）含解析答案

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第2章�特殊三角形（A卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．下列图标中轴对称图形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，，点为边上一点，且，则的度数为（    ）

A． B． C．32° D．
3．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（    ）
A．3cm，13cm B．4cm，4cm
C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对
4．下列说法不正确的有（    ）
A．三边相等的三角形是等边三角形 B．三个角相等的三角形是等边三角形
C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．顶角为的等腰三角形是等边三角形
5．如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ）

A．8个 B．9个 C．10个 D．11个
6．如图，在中，，，．若平分，则=（    ）

A． B． C． D．
7．勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（    ）
A． B．
C． D．
8．在中，，且，，则AC等于（    ）
A．12 B．8 C．4 D．2
9．下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（    ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，11，12 D．8，15，17
10．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（    ）

A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
12．等腰三角形顶角的度数是底角的函数，这个函数的关系式为 ．
13．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则底角的度数为 ．
14．如图，在中，若，，则 ．

15．如图，在中，，，，，则为 cm．

16．如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ．

17．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距 海里．

18．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ．
19．下列命题中，其逆命题成立的是 ．(只填写序号)
①对顶角相等；
②线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．

评卷人
得分



三、解答题
20．如图所示：

(1)作出与关于对称的图形△；
(2)若小正方形的边长为1，则 ．
21．图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长．

22．如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
23．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝5，D为直线BC的中点，以AD为边作如图所示的等边△ADE，连接CE．求证：AE＝CE；

24．如图，，分别是的两条高，点，分别是，的中点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．

(1)求证：．
(2)若，求线段的长．
26．如图，分别以等腰的边AD，AC，CD为直径画半圆，所得的两个月形图案AGCE与DHCF（即阴影部分）的面积分别记为、，的面积记为S．

(1)求证：的值．
(2)当时，求S的值．
27．如图，在中，于点D，于点E，AD与CE相交于点F，连接DE．

(1)若，，，求．
(2)若，，求．
28．如图，在中，，于点，，分别交、于点、．

（1）如图1，若，，求的长度：
（2）如图2，若，求证：．
29．在中，，，，判断是否是直角三角形．
30．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
31．如图，点、、、在一条直线上，于，于，，．求证：．

32．如图，，分别是的高，且，求证：．


参考答案：
1．C
【详解】①、②、③是轴对称图形，④是中心对称图形.
故选C.
点睛:本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形．一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．B
【分析】先设，根据，，得出，，，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】设，
，
，，
，
，
，
，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用．
3．C
【分析】分5cm长的边是等腰三角形的腰和是等腰三角形的底边两种情况进行讨论，即可求解．
【详解】解：当长的边是等腰三角形的腰时，则其底边是，三条边为，，，能够组成三角形；
当5cm长的边是等腰三角形的底边时，则其腰长是，三条边为，，，能够组成三角形．
故另两边长分别为，或，．
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义及三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．
4．C
【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．三边相等的三角形是等边三角形，故A正确，不符合题意；
B．三个角都相等的三角形是等边三角形，故B正确，不符合题意；
C．有一个角是的三角形，其他两个角度数不能确定，这样的三角形不一定是等边三角形，故C错误，符合题意；
D．顶角为的等腰三角形，即三个角都是的三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法，三条边都相等的三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
5．C
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA=BC，AB=AC，CA=CB去分析求解即可．
【详解】∵AB=，如图所示：
∴①若BA=AC,则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若CB=AC,则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA=CB,则符合要求的有：C5,C6,C7,C8,C9,C10共6个点,
这样的C点有10个．
故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，画“两圆一中垂”即可做到不重不漏，解题关键是分类讨论的数学思想．
6．B
【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，据此即可求解．
【详解】解：平分，，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
7．B
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋(b−a)2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
B、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
∴不能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋c2＝2ab＋c2，
∴（a＋b）2＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2
②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab；
∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
8．B
【分析】根据中，，且，，运用勾股定理得出AC=8．
【详解】∵在中，，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．
9．D
【分析】根据勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
B．∵，
∴，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
C．∵，
∴，
∴以5，11，12为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
D．∵，
∴，
∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故本题选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
10．C
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理逆定理逐个判断即可．
【详解】解：对于①：∵，
∴，
∴，故①满足题意；
对于②：，设，
∴，
∴，
∴，故②满足题意；
对于③：，设，
∵，
∴是直角三角形，故③满足题意；
对于④：∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故④不满足题意；
所以能判断是直角三角形的有：①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，计算过程中细心即可．
11．D
【分析】要证明，由已知条件，，再加一个条件，可以根据，来判断．
【详解】解：根据三角形全等的判定定理，
A，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
B，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
C，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
D，，，，不能使得成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的判定定理：．
12．y＝180−2x/y=-2x+180
【分析】根据一个顶角与两个底角的和为180°，列方程，再整理．
【详解】解：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可知
2x＋y＝180，
整理得：y＝180−2x．
故答案为：y＝180−2x．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数的实际应用，三角形的内角和定理，关键就是利用内角和得到关系式．
13．/50度
【分析】分顶角是钝角与锐角两种情况讨论，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】①顶角是钝角时，，
，不是钝角，不符合题意；
②顶角是锐角时，，
，是锐角，符合题意，
故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键．
14．16
【分析】过点作于，先根据含角的直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于，

，，
，
．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
15．9
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，根据含角的直角三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
16．0.8/
【分析】根据直角三角形斜边上的中线得出CM=AB，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB的中点，
∴CM=AB，
∵AB=1.6km，
∴CM=0.8km，
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，能熟记直角三角形斜边上的中线性质是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
17．10
【分析】根据方位角分析可得，根据路程等于速度乘以时间求得，继而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：甲渔船离开港口向东北方向航行，乙渔船离开港口向西北方向航行，
，
出发一个小时后，（海里），（海里），
（海里），
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，方位角，掌握勾股定理是解题的关键．
18．有两个角互余的三角形是直角三角形．
【分析】交换命题的题设和结论即可确定该命题的逆命题．
【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是：有两个角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
19．②、④
【分析】根据逆命题的确定方法得到各项的逆命题依次判断正确即可.
【详解】①逆命题为：相等的角是对顶角，错误；
②逆命题为：到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确；
③逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；
④如果一个直角三角形的三边长分别是a、b、c，且c为斜边，那么，正确，
故答案为：②、④.
【点睛】此题考查命题的逆命题，判断命题是否正确，正确理解对顶角的性质，线段垂直平分线定理，勾股定理及逆定理是解题的关键.
20．(1)见解析
(2)7

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，△即为所求；

（2）（2），
故答案为：7．
【点睛】本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用割补法求三角形的面积．
21．
【分析】由，平分得，从而得到；同理可得，即，进而得到，代入即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟记性质并准确识图，将未知线段转换为已知线段求解．
22．(1)证明见解析；
(2)证明见解析

【详解】（1）证明：如图，∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵，CD∥AB，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；

（2）证明：由（1）得
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23．见解析
【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝BD＝CD，求出∠ABD＝60°，推出△ABD是等边三角形，得到∠ADB＝60°，由△ADE是等边三角形，得到∠ADE＝60°，AE＝AD＝DE，再证△CDE是等边三角形，得到CE＝DE，即可得到AE＝CE．
【详解】证明：∵∠BAC＝90°，D为BC中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠BCA＝30°，
∴∠ABD＝∠DAB＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AE＝AD＝DE，
∴CD＝DE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∴AE＝CE．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定定理及性质定理，熟记定理并进行推论论证是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)12

【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；
（2）由（1）可求DM，ME，然后在Rt△DEM中根据勾股定理即可求出DE．
（1）
证明：如图，连接，，

、分别是的两条高，
，，
，
是的中点，
，，
，
为的中点，
；
（2）
解：，
，
点是的中点，，
，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形三线合一性质以及勾股定理等知识，根据角三角形斜边上中线的性质得出DM=DN是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE=CM先求出CE的长，再含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出FC的长．
（1）
证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，
∴MC=MA=MB，
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，
∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，
∴∠MEC=∠EMC，
∴CE=CM；
（2）
解：∵AB=4，
∴CE=CM=AB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴EF=CE=1，
∴FC==．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，勾股定理等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
26．(1)详见解析
(2)9cm2

【分析】（1）由勾股定理可得，然后确定出，从而得出结论；
（2）由等腰直角三角形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，
∴，
∵以等腰的边AD，AC，CD为直径画半圆，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，即．
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，且，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记定理是解题的关键．
27．(1)
(2)

【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）取的中点G，连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则，求出，进而可得，求出即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，取的中点G，连接，

∵，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
28．（1）7；（2）见解析
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【详解】解：（1）如图1，，，

，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）证明：如图2，在上取一点，使，连接，

在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．
29．是直角三角形
【分析】根据题中的三边长：，，，利用勾股定理的逆定理直接判定即可得到结论．
【详解】解：在中，，，，
，，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解决问题的关键．
30．9米
【分析】设，则，，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．
【详解】解：设
依题意可知：在中，，，，，
根据勾股定理得：，即：，
解得：
答：旗杆AB的高度是9米．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．
31．证明见解析
【分析】证明≌，即可得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌（HL），
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的全等的判定与性质，掌握用“HL”判定两个直角三角形全等是解答本题的关键．
32．证明见解析.
【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；
【详解】证明：∵，分别是的高，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．