数学九年级上册1.4 用一元二次方程解决问题第3课时导学案

这是一份数学九年级上册1.4 用一元二次方程解决问题第3课时导学案，共7页。

1.4 第3课时 动态几何问题


知识点 1 三角形中的动点问题


1．教材“问题6”变式如图1－4－7，在△ABC中，AC＝50 m，BC＝40 m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s的速度匀速移动，同时，另一点Q由点C开始以3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 m2时，运动时间为( )


A．5秒 B．20秒


C．5秒或20秒 D．不确定





图1－4－7





图1－4－8








2．如图1－4－ 8，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D的方向以eq \r(2) cm/s的速度向点D运动，四边形PDFE为矩形，其中点E在AC上，点F在BC上．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动的时间为t s，则t＝________时，S1＝2S2.


3．如图1－4－9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm，点P，Q同时由A，C两点出发，分别沿AC，CB方向向点C，B移动，它们的速度都是1 cm/s，经过几秒，P，Q两点相距2eq \r(10) cm？并求此时△PCQ的面积．





图1－4－9























知识点 2 矩形中的动点问题


4．如图1－4－10，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝6 cm，





图1－4－10


动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2 cm/s的速度向点B移动，到达点B后停止运动，点Q以1 cm/s的速度向点D移动，到达点D后停止运动，P，Q两点出发后，经过________s，线段PQ的长是10 cm.


5．如图1－4－11，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点E从点A出发，沿AB方向以1 cm/s的速度向点B移动，同时，点F从点B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动，当点F到达点C时，两点同时停止运动．经过几秒后△EBF的面积为5 cm2?





图1－4－11














6. [2016·兴化校级期末] 如图1－4－12，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2?





图1－4－12














7．如图1－4－13，甲、乙两物体分别从正方形广场ABCD的顶点B，C同时出发，甲由点C向点D运动，乙由点B向点C运动，图中点F，E分别对应甲、乙某时刻的位置，甲的速度为1 km/min，乙的速度为2 km/min，当乙到达点C时，甲随之停止运动．若正方形广场的周长为40 km.


(1)几分钟后两物体相距2eq \r(10) km?


(2)△CEF的面积能否等于7 km2？请说明理由．





图1－4－13























8．如图1－4－14所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B沿顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝eq \f(1,2)t2＋eq \f(3,2)t(t≥0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.


(1)甲运动4 s后的路程是________ cm；


(2)求甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间．





图1－4－14





























9．如图1－4－15所示，在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，OA＝3 cm，点C的坐标为(3，6)，点P，Q分别从点O，A同时出发，若点P从点O沿OA向点A以1 cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2 cm/s的速度运动，当点P运动到点A时停止运动，点Q也随之停止运动．


(1)经过多长时间，△PAQ的面积为2 cm2?


(2)△PAQ的面积能否达到3 cm2?


(3)经过多长时间，P，Q两点之间的距离为eq \r(17) cm?





图1－4－15






































10．如图1－4－16，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．


(1)经过6秒后，BP＝________ cm，BQ＝________ cm；


(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？


(3)经过几秒后，△BPQ的面积为10 eq \r(3) cm2?





图1－4－16





详解详析


1．C [解析] 设运动时间为t s．由题意知AP＝2t，CQ＝3t，∴PC＝50－2t.∵eq \f(1,2)PC·CQ＝300，∴eq \f(1,2)(50－2t)·3t＝300，解得t＝20或5，∴当运动时间为20 s或5 s时，△PCQ的面积为300 m2.故选C.


2．6 [解析] ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝8 eq \r(2) cm.又∵AP＝eq \r(2)t cm，∴S1＝eq \f(1,2)AP·BD＝eq \f(1,2)×eq \r(2)t×8 eq \r(2)＝8t(cm2)，PD＝(8 eq \r(2)－eq \r(2)t )cm.易知∠PAE＝∠PEA＝45°，∴PE＝AP＝eq \r(2)t cm，∴S2＝PD·PE＝[(8 eq \r(2)－eq \r(2)t)·eq \r(2)t]cm2.∵S1＝2S2，∴8t＝2(8 eq \r(2)－eq \r(2)t)·eq \r(2)t，解得t＝6或0(舍去)．故答案是6.


3．解：设经过x s，P，Q两点相距2eq \r(10) cm.


由题意，得(8－x)2＋x2＝(2eq \r(10))2，


解得x1＝2，x2＝6.


当x＝2时，S△PCQ＝eq \f(1,2)×(8－2)×2＝6(cm2)；


当x＝6时，S△PCQ＝eq \f(1,2)×(8－6)×6＝6(cm2)．


答：经过2 s或4 s，P，Q两点相距2 eq \r(10) cm，此时△PCQ的面积为6 cm2.


4．8或eq \f(8,3) [解析] 连接PQ，过点Q作QM⊥AB于点M，设经过x s，线段PQ的长是10 cm.


∵点P以2 cm/s的速度向点B移动，点Q以1 cm/s的速度向点D移动，


∴PM＝|16－3x|cm，QM＝6 cm.


根据勾股定理，得|16－3x|2＋62＝102，


解得x1＝8，x2＝eq \f(8,3).


5．解：设经过t s后△EBF的面积为5 cm2，


则eq \f(1,2)×2t×(6－t)＝5，


整理，得t2－6t＋5＝0，解得t1＝1，t2＝5.


∵0＜t≤4，∴t＝5舍去．


答：经过1 s后△EBF的面积为5 cm2.


6．解：设x s后△DPQ的面积等于 28 cm2，则△DAP，△PBQ，△QCD的面积分别为eq \f(1,2)×12x，eq \f(1,2)×2x(6－x)，eq \f(1,2)×6×(12－2x)．


根据题意，得6×12－eq \f(1,2)×12x－eq \f(1,2)×2x(6－x)－eq \f(1,2)×6×(12－2x)＝28，


即x2－6x＋8＝0，


解得x1＝2，x2＝4.


答：2 s或4 s后△DPQ的面积等于28 cm2.


7．解：(1)设x min后两车相距2 eq \r(10) km.


∵正方形广场的周长为40 km，


∴正方形广场的边长为10 km.


由甲运动到点F，乙运动到点E，可知FC＝x，EC＝10－2x，


在Rt△ECF中，x2＋(10－2x)2＝(2eq \r(10))2，


解得x1＝2，x2＝6.


当x＝2时，FC＝2，EC＝10－4＝6＜10，符合题意；


当x＝6时，FC＝6，EC＝10－12＝－2＜0，不符合题意，舍去．


答：2 min后，两物体相距2eq \r(10) km.


(2)△CEF的面积不能等于7 km2.理由如下：


设t min后△CEF的面积等于7 km2.


∵甲的速度为1 km/min，乙的速度为2 km/min，


∴CF＝t，CE＝10－2t，∴eq \f(1,2)·t·(10－2t)＝7，


整理，得t2－5t＋7＝0.


∵(－5)2－4×7＜0，∴此方程无实数根，


∴△CEF的面积不能等于7 km2.


8．解：(1)当t＝4时，


l＝eq \f(1,2)t2＋eq \f(3,2)t＝8＋6＝14.


故答案为14.


(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程和为一个半圆的长度，


故eq \f(1,2)t2＋eq \f(3,2)t＋4t＝21，


解得t＝3或t＝－14(不符合题意，舍去)．


答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s.


9 解：(1)设经过x s，△PAQ的面积为2 cm2.


由题意，得eq \f(1,2)(3－x)·2x＝2，


解得x1＝1，x2＝2.


所以经过1 s或2 s，△PAQ的面积为2 cm2.


(2)设经过y s，△PAQ的面积为3 cm2.


由题意，得eq \f(1,2)(3－y)·2y＝3，


即y2－3y＋3＝0，


在此方程中b2－4ac＝－3＜0，


所以此方程没有实数根，


所以△PAQ的面积不能达到3 cm2.


(3)设经过t s，P，Q两点之间的距离为eq \r(17) cm，


则AP＝(3－t)cm，AQ＝2t cm.





由勾股定理，得(3－t)2＋(2t)2＝(eq \r(17))2，


解得t1＝2，t2＝－eq \f(4,5)(不符合题意，舍去)．


所以经过2 s，P，Q两点之间的距离为eq \r(17) cm.


10． (1)6 12


(2)设经过x秒后，△BPQ是直角三角形．


∵△ABC是等边三角形，


∴AB＝BC＝12 cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°.


由题意，知BP＝(12－x)cm，BQ＝2x cm.


①当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，


∴BP＝2BQ，即12－x＝2×2x，


∴x＝eq \f(12,5).


②当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，


∴BQ＝2BP，∴2x＝2(12－x)，∴x＝6.


即经过6秒或eq \f(12,5)秒后，△BPQ是直角三角形．


(3)设经过y秒后，△BPQ的面积为10 eq \r(3) cm2.如图，过点Q作QD⊥AB于点D，∴∠QDB＝90°，∴∠DQB＝30°，∴DB＝eq \f(1,2)BQ＝y cm.


在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ＝eq \r(3)y cm，


∴eq \f(（12－y）\r(3)y,2)＝10 eq \r(3)，解得y1＝10，y2＝2.


∵当y＝10时，2y＞12，故舍去，∴y＝2.


答：经过2秒后，△BPQ的面积为10 eq \r(3) cm2.