高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦学案

两角和与差的余弦

【学习目标】

1．探索、猜想、发现并推导公式；熟悉公式的结构、加深公式的理解。

2．能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明

【学习重难点】

两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【学习过程】

一、预习内容

（1）向量的数量积

则

（2）单位圆上的点的坐标表示

由图可知：

(              ) ，     (              )

则                     

二、新知学习

（小组交流）

问题1：                                

问题2 ：由出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？

问题3： 两角和的余弦公式：

两角差的余弦公式：

三、新知深化

1．公式中两边的符号正好相反（一正一负）；

2．式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；

3．式子中α、β是任意的。

4．式子的逆用，变形用

四、互相交流 小组活动 公式应用闯关         

1．请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的余弦值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等）

（1）   

（2）   

（3）   

……

2．若β固定，分别用 代替α，你将会发现什么结论呢？[

3．倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？

（1）    

（2）      

（3）

（4）

五、新知应用

例1：求下列各式的值。

（1）

（2）

（3）

例2：已知，求的值。

变题： 

六、新知回顾

1．牢记公式的结构特点，学会逆用公式。不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。

2．强调公式中α、β的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。

注：逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力，同时渗透了一种化归思想。

【达标检测】

1．利用两角和与差的余弦公式证明：

（1）；       （2）

2．利用两角和与差的余弦公式化简与求值

（1）      

（2）=    

（3）       

3．已知，，求的值   

4．（1）cos130°cos5°-sin130°sin5°=

（2）设，若，则

5． （1）已知，求的值。

  （2）已知且它们都是第二象限角，求的值。

6． 已知的值