初中数学沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数综合与测试课时训练

这是一份初中数学沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数综合与测试课时训练，共5页。

【专题概述】


二次函数的图象和性质是安徽中考必考内容之一,主要考查二次函数与其他函数图象共存问题、二次函数的图象和性质综合、二次函数图象与系数的关系、二次函数表达式的确定、与二次函数的图象和性质有关的新定义和探究性问题等,试题以选择题、填空题和解答题形式呈现,难度在中等或中等以上.掌握二次函数的图象和性质是解答此类问题的关键.


【专题训练】


类型1 二次函数与其他函数图象共存问题


解答此类问题的常用方法是:先由其中一个函数的图象,结合函数图象的性质确定字母系数的取值或取值范围,再确定另一个函数的大致图象,从而作出正确的判断.


1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax-bc的图象大致是( )








2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+b与一次函数y=bx+a的图象可能是( )





类型2 二次函数图象与字母系数的关系


解答此类问题,要弄清楚几种关系:a决定了抛物线的开口方向;a,b共同决定抛物线对称轴的位置;c决定抛物线与y轴的交点位置;b2-4ac决定抛物线与x轴的交点情况等.


3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中00;③a+2b+4c>0;④4ab+ba<-4.其中正确结论的个数是 ( )





A.1B.2C.3D.4


类型3 二次函数表达式的确定


待定系数法是确定二次函数表达式的常用方法.一般地,已知抛物线经过的三个点的坐标,常设为一般式y=ax2+bx+c;已知抛物线的顶点和抛物线经过的另一个点的坐标,常设为顶点式y=a(x+h)2+k;已知抛物线与x轴的交点坐标和抛物线经过的另一个点的坐标,常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2),有时也会结合平移或翻折等知识来求二次函数的表达式.


4.已知某二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,求这个二次函数的表达式.




















5.如图,△OAB的边OA在x轴上,其中点B的坐标为(3,4),且OB=BA.





(1)求经过A,B,O三点的抛物线的表达式;


(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移,设A,B的对应点分别为点A',B'.若四边形ABB'A'为菱形,求平移后的抛物线的表达式.





























类型4 与二次函数的图象和性质有关的新定义题


解答此类问题的关键是读懂“新定义”的意义.


6.我们规定:若抛物线的顶点在坐标轴上,则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线y=x2和y=(x-2)2都是“数轴函数”.


(1)抛物线y=x2-4x+4和抛物线y=x2-6x是“数轴函数”吗?请说明理由.


(2)若抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”,求该抛物线的表达式.
































类型5 与二次函数的图象和性质有关的分类讨论探究


解答此类问题时,要画出所有符合条件的图形,再用分类讨论的方法逐一求解,防止漏解.


7.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.


(1)求二次函数的表达式;


(2)若P为抛物线上的一点,F为对称轴上的一点,且以A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.








参考答案


1. (A)


2. (C)


3. (C)


4.解:由题可知,抛物线与x轴交于点(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.


∵顶点在函数y=2x的图象上,


∴y=2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2).


设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-2,


把(2,0)代入,得0=9a-2,解得a=29,


∴y=29(x+1)2-2=29x2+49x-169.


5.解:(1)y=-49x(x-6)=-49x2+83x.


(2)∵点B的坐标为(3,4),点A的坐标为(6,0),


∴BA=32+42=5.


∵四边形ABB'A'为菱形,∴BB'=BA=5.


①若抛物线沿x轴向右平移,则B'(8,4),


∴平移后抛物线的表达式为y=-49(x-8)2+4;


②若抛物线沿x轴向左平移,则B'(-2,4),


∴平移后抛物线的表达式为y=-49(x+2)2+4.


综上所述,平移后的抛物线的表达式为y=-49(x-8)2+4或y=-49(x+2)2+4.


6.解:(1)抛物线y=x2-4x+4是“数轴函数”,抛物线y=x2-6x不是“数轴函数”.


理由:∵y=x2-4x+4=(x-2)2,∴抛物线的顶点坐标为(2,0),在x轴上,∴抛物线y=x2-4x+4是“数轴函数”.


∵y=x2-6x=(x-3)2-9,∴抛物线的顶点坐标为(3,-9),在第四象限,∴抛物线y=x2-6x不是“数轴函数”.


(2)y=2x2+4mx+m2+16=2(x+m)2-m2+16,顶点坐标为(-m,-m2+16).


由于抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”,分两种情况:①当顶点在x轴上时,-m2+16=0,m=±4,抛物线的表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32;


②当顶点在y轴上时,-m=0,m=0,抛物线的表达式为y=2x2+16.


综上,抛物线的表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32或y=2x2+16.


7.解:(1)用交点式得函数表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.


(2)①当AB为平行四边形的一条边时,如图1,


则AB=PF=2,由(1)知y=x2-4x+3=(x-2)2-1,则对称轴为直线x=2.


当点P在对称轴右侧时,点P的坐标为(4,3);当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点P的坐标为(0,3).





②当AB是四边形的对角线时,如图2,


则AB和PF的交点坐标为(2,0),∴点P的坐标为(2,-1).


综上,点P的坐标为(4,3)或(0,3)或(2,-1).