2021高考数学一轮复习统考第12章算法初步复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明课时作业含解析北师大版 练习

第4讲 直接证明与间接证明

课时作业

1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D.这里①是②的(　　)

A．充分条件  B．必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B.

2．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)

A．假设至少有一个钝角

B．假设至少有两个钝角

C．假设没有一个钝角

D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

答案　B

解析　注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”．故选B.

3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是(　　)

A．a>b>c  B．b>c>a

C．c>a>b  D．a>c>b

答案　A

解析　因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋>＋>＋>0，所以a>b>c.故选A.

4．(2020·南阳摸底)用反证法证明命题“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)

A．a，b都能被5整除  B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除  D．a不能被5整除

答案　B

解析　由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．由题意知其否定是“a，b都不能被5整除”．

5．(2019·包头模拟)若实数a，b满足a＋b＜0，则(　　)

A．a，b都小于0

B．a，b都大于0

C．a，b中至少有一个大于0

D．a，b中至少有一个小于0

答案　D

解析　假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b＜0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.

6．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有(　　)

A．[－x]＝－[x]  B．[2x]＝2[x]

C．[x＋y]≤[x]＋[y]  D．[x－y]≤[x]－[y]

答案　D

解析　取x＝1.6，y＝2.7，则[x]＝[1.6]＝1，[y]＝[2.7]＝2，[－x]＝[－1.6]＝－2，故A错误；[2x]＝[3.2]＝3，故B错误；[x＋y]＝[1.6＋2.7]＝4，故C错误．故选D.

7．(2019·兰州模拟)若a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是(　　)

A．a2＋b2≥  B．ab≤

C．＋≥4   D．＋≤1

答案　D

解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·2＝，∴A成立；ab≤2＝，∴B成立．又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴C成立，∴应选D.

8．下列不等式一定成立的是(　　)

A．lg >lg x(x>0)

B．sinx＋>2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D．<1(x∈R)

答案　C

解析　对于A，当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，

所以lg ≥lg x，故A不正确；

对于B，当x≠kπ时，sinx正负不定，不能用基本不等式，所以B不正确；

对于D，当x＝0时，＝1，故D不正确．

由基本不等式可知C正确．

9．(2019·郑州模拟)设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则(　　)

A．P>Q  B．P<Q

C．P≤Q  D．P≥Q

答案　A

解析　因为2x＋2－x≥2＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.

10．已知a>b>0，且ab＝1，若0<c<1，p＝logc，q＝logc2，则p，q的大小关系是(　　)

A．p>q  B．p<q

C．p＝q  D．p≥q

答案　B

解析　因为>ab＝1,0<c<1，

所以p＝logc<0.

又因为2＝<＝，

所以q＝logc2>0.所以p>q.故选B.

11．(2020·亳州摸底)实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)

A．一定是正数  B．一定是负数

C．可能是0  D．正、负不确定

答案　B

解析　由a＋b＋c＝0，abc>0得a，b，c中必有两负一正，不妨设a<0，b<0，c>0，且|a|<c，则>，从而－>，又<0，所以＋＋<0.

12．(2020·邹平调研)若a>b>c，则使＋≥恒成立的最大的正整数k为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

答案　C

解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，且a－c＝a－b＋b－c.又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，k≤＋，∴k≤4，故k的最大整数为4.故选C.

13．设a>b>0，x＝a＋b，y＝a＋b，则x，y的大小关系是________．

答案　x>y

解析　因为a>b>0，所以x－y＝a(－)＋b(－)＝(a－b)(－)＝(－)2(＋)>0.所以x>y.

14．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．

答案　①③④

解析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④都能使＋≥2成立．

15．(2019·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．

答案　③

解析　若a＝，b＝，则a＋b＞1，

但a＜1，b＜1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；

对于③，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，

因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.

16．(2020·石家庄摸底)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则∠A＝________，△ABC的形状为________．

答案　　等边三角形

解析　由题意，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，

∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，

∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．

17．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C成等差数列，分别用分析法与综合法证明：＋＝.

证明　分析法：要证明＋＝，

即证＋＝3，即证＋＝1，

只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

只需证b2＝a2＋c2－ac.

∵∠A，∠B，∠C成等差数列，∴∠B＝60°，

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac成立．

∴＋＝.

综合法：∵△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C成等差数列，

∴∠B＝60°.

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，

∴c2＋a2＝ac＋b2，

∴c2＋a2＋bc＋ab＝b2＋ac＋bc＋ab，

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

∴＋＝1，

∴＋＝3，

∴＋＝.