2021高考数学一轮复习统考第12章算法初步复数推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入课时作业含解析北师大版 练习
展开第2讲 数系的扩充与复数的引入
课时作业
1．(2019·陕西四校联考)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的实部为( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 B
解析 ∵z＝＝＝＋i，
∴z的实部为.故选B.
2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案 B
解析 ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，
又复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴解得a＜－1.故选B.
3．(2019·河南郑州模拟)已知复数z＝，则z的共轭复数为( )
A．1＋i B．1－i
C．2＋2i D．－i
答案 B
解析 ∵复数z＝＝＝＝1＋i，∴复数z的共轭复数＝1－i.故选B.
4．(2019·郴州模拟)设z＝1－i(i是虚数单位)，若复数＋z2在复平面内对应的向量为，则向量的模是( )
A．1 B．
C． D．2
答案 B
解析 z＝1－i(i是虚数单位)，复数＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝1－i.则向量的模为＝.故选B.
5．(2020·南昌摸底)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案 D
解析 由＝1＋i，
得z＝＝＝＝－1－i.
6．(2020·山西吕梁摸底)已知复数z＝，则||＝( )
A． B．
C．2 D．5
答案 A
解析 解法一：z＝＝＝，所以＝，||＝||＝ ＝.
解法二：||＝|z|＝＝＝.故选A.
7．(2019·江西新余四中、上高二中联考)若复数z满足z(－1＋2i)＝|1＋3i|2(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )
A．－2－4i B．－2＋4i
C．4＋2i D．4－2i
答案 B
解析 由z(－1＋2i)＝|1＋3i|2，得z＝＝＝＝－2－4i，则复数z的共轭复数为－2＋4i.故选B.
8．(2019·安庆二模)已知i为虚数单位，复数z满足(1－i)·z＝2i，则下列关于复数z的说法正确的是( )
A．z＝－1－i B．|z|＝2
C．z·＝2 D．z2＝2
答案 C
解析 由条件知z＝＝＝－1＋i，A错误；|z|＝，B错误；z·＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，C正确；z2＝(－1＋i)2＝－2i，D错误．故选C.
9．(2019·成都模拟)已知复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为 z，则|z|＝( )
A． B．5
C．2 D．2
答案 A
解析 复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，则z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，－2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数为z＝1＋2i，则|z|＝＝.故选A.
10．(2019·福州调研)已知m∈R，i为虚数单位，若>0，则m＝( )
A．1 B．
C． D．－2
答案 B
解析 由已知得＝
＝，由>0，可得
则m＝.选B.
11．(2019·益阳、湘潭两市联考)已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i，命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是( )
A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．p∧q
答案 C
解析 由已知可得，复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝＋i＝6i，所以命题p为真命题；复数＝＝，其虚部为－，故命题q为假命题，命题綈q为真命题．所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
12．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
答案 B
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，则z1≠2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．故选B.
13．(2019·天津高考)i是虚数单位，则||的值为________．
答案
解析 ∵＝＝2－3i，
∴||＝|2－3i|＝.
14．(2020·温州摸底)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝________.
答案 －
解析 由已知得z＋i＝zi，则z(1－i)＝－i，
即z＝＝＝＝－.
15．(2019·厦门模拟)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．
答案
解析 ∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知max＝＝.
16．若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝sinB－cosA＋(cosB－sinA)i在复平面内对应的点位于第________象限．
答案 四
解析 ∵A，B为锐角三角形的两个内角，
∴<A＋B<π，∴－B<A<，－A<B<，
∴sinA>sin＝cosB，sinB>sin＝cosA，∴
∴z在复平面内对应的点位于第四象限．
