2021高考数学一轮复习统考第12章算法初步复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明课时作业含解析北师大版 练习

第4讲 直接证明与间接证明课时作业1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D.这里①是②的(　　)A．充分条件  B．必要条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件答案　B解析　分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B.2．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案　B解析　注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”．故选B.3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是(　　)A．a>b>c  B．b>c>aC．c>a>b  D．a>c>b答案　A解析　因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋>＋>＋>0，所以a>b>c.故选A.4．(2020·南阳摸底)用反证法证明命题“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)A．a，b都能被5整除  B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除  D．a不能被5整除答案　B解析　由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．由题意知其否定是“a，b都不能被5整除”．5．(2019·包头模拟)若实数a，b满足a＋b＜0，则(　　)A．a，b都小于0B．a，b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于0答案　D解析　假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b＜0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.6．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有(　　)A．[－x]＝－[x]  B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]  D．[x－y]≤[x]－[y]答案　D解析　取x＝1.6，y＝2.7，则[x]＝[1.6]＝1，[y]＝[2.7]＝2，[－x]＝[－1.6]＝－2，故A错误；[2x]＝[3.2]＝3，故B错误；[x＋y]＝[1.6＋2.7]＝4，故C错误．故选D.7．(2019·兰州模拟)若a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是(　　)A．a2＋b2≥  B．ab≤C．＋≥4   D．＋≤1答案　D解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·2＝，∴A成立；ab≤2＝，∴B成立．又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴C成立，∴应选D.8．下列不等式一定成立的是(　　)A．lg >lg x(x>0)B．sinx＋>2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D．<1(x∈R)答案　C解析　对于A，当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg ≥lg x，故A不正确；对于B，当x≠kπ时，sinx正负不定，不能用基本不等式，所以B不正确；对于D，当x＝0时，＝1，故D不正确．由基本不等式可知C正确．9．(2019·郑州模拟)设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则(　　)A．P>Q  B．P<Q C．P≤Q  D．P≥Q答案　A解析　因为2x＋2－x≥2＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.10．已知a>b>0，且ab＝1，若0<c<1，p＝logc，q＝logc2，则p，q的大小关系是(　　)A．p>q  B．p<q C．p＝q  D．p≥q答案　B解析　因为>ab＝1,0<c<1，所以p＝logc<0.又因为2＝<＝，所以q＝logc2>0.所以p>q.故选B.11．(2020·亳州摸底)实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)A．一定是正数  B．一定是负数C．可能是0  D．正、负不确定答案　B解析　由a＋b＋c＝0，abc>0得a，b，c中必有两负一正，不妨设a<0，b<0，c>0，且|a|<c，则>，从而－>，又<0，所以＋＋<0.12．(2020·邹平调研)若a>b>c，则使＋≥恒成立的最大的正整数k为(　　)A．2  B．3 C．4  D．5答案　C解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，且a－c＝a－b＋b－c.又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，k≤＋，∴k≤4，故k的最大整数为4.故选C.13．设a>b>0，x＝a＋b，y＝a＋b，则x，y的大小关系是________．答案　x>y解析　因为a>b>0，所以x－y＝a(－)＋b(－)＝(a－b)(－)＝(－)2(＋)>0.所以x>y.14．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．答案　①③④解析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④都能使＋≥2成立．15．(2019·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．答案　③解析　若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.16．(2020·石家庄摸底)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则∠A＝________，△ABC的形状为________．答案　　等边三角形解析　由题意，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．17．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C成等差数列，分别用分析法与综合法证明：＋＝.证明　分析法：要证明＋＝，即证＋＝3，即证＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证b2＝a2＋c2－ac.∵∠A，∠B，∠C成等差数列，∴∠B＝60°，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac成立．∴＋＝.综合法：∵△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C成等差数列，∴∠B＝60°.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，∴c2＋a2＋bc＋ab＝b2＋ac＋bc＋ab，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴＋＝1，∴＋＝3，∴＋＝.