2021高考数学一轮复习统考第12章算法初步复数推理与证明第1讲算法初步学案含解析北师大版

第十二章  算法初步、复数、推理与证明

第1讲　算法初步

基础知识整合

1．算法的框图及结构

(1)算法

算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．

(2)程序框图

程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．

(3)三种基本逻辑结构

2．算法语句的格式及框图

(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能

(2)条件语句的格式及框图

①IF－THEN格式

②IF－THEN－ELSE格式

(3)循环语句的格式及框图

①UNTIL语句

②WHILE语句

1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．

2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．

3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．

1．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　B

解析　k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k<3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k<3，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故输出2.故选B.

2．下列程序段执行后，变量a，b的值分别为(　　)

A．20,15  B．35,35

C．5,5  D．－5，－5

答案　A

解析　a＝15，b＝20，把a＋b赋给a，因此得出a＝35，再把a－b赋给b，即b＝35－20＝15.再把a－b赋给a，此时a＝35－15＝20，因此最后输出的a，b的值分别为20,15.故选A.

3．(2019·武昌调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2,2,5时，输出的S为17，那么在判断框中可以填入(　　)

A．k>n

B．k<n

C．k≥n

D．k≤n

答案　A

解析　第一次输入a＝2，此时S＝0×2＋2＝2，k＝0＋1＝1，不满足k＝1>n＝2；第二次输入a＝2，此时S＝2×2＋2＝6，k＝1＋1＝2，不满足k＝2>n＝2；第三次输入a＝5，此时S＝6×2＋5＝17，k＝2＋1＝3，满足k＝3>n＝2，循环终止，输出的S＝17.故选A.

4．(2019·湖南郴州模拟)执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是(　　)

A．5  B．3

C．4  D．2

答案　A

解析　模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为k＝2，k＝3，k＝4，k＝5，大于4，可得S＝sin＝，输出S的值为.故选A.

5．(2020·锦州摸底)若如图所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是(　　)

A．n≥3

B．n≥4

C．n≥5

D．n≥6

答案　B

解析　第一次循环，n＝1，S＝2；第二次循环，n＝2，S＝6；第三次循环，n＝3，S＝14；第四次循环，n＝4，S＝30，故选B.

6．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为1，则输出n的值为________．

答案　3

解析　第一次：x＝1，x2－4x＋3＝0≤0.第二次：x＝2，n＝1，x2－4x＋3＝－1≤0.第三次：x＝3，n＝2，x2－4x＋3＝0≤0.第四次：x＝4，n＝3，x2－4x＋3＝3>0，输出n，程序结束．

核心考向突破

考向一　算法的基本结构

例1　(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于(　　)

A．2－

B．2－

C．2－

D．2－

答案　C

解析　＝0.01，

x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，x<不成立；

s＝1＋，x＝，x<不成立；

s＝1＋＋，x＝，x<不成立；

s＝1＋＋＋，x＝，x<不成立；

s＝1＋＋＋＋，x＝，x<不成立；

s＝1＋＋＋＋＋，x＝，x<不成立；

s＝1＋＋＋＋＋＋，x＝，x<成立，

此时输出s＝2－.故选C.

利用循环结构表示算法应注意的问题

(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构．

(2)注意准确选择表示累计的变量．

(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．

[即时训练]　1.(2019·天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(　　)

A．5

B．8

C．24

D．29

答案　B

解析　i＝1，S＝0，i不是偶数；第一次循环：S＝1，i＝2<4；第二次循环：i是偶数，j＝1，S＝5，i＝3<4；第三次循环：i不是偶数，S＝8，i＝4，满足i≥4，输出S，结果为8.故选B.

2．(2020·濮阳模拟)执行如图所示的程序框图(其中b＝c mod 10表示b等于c除以10的余数)，则输出的b为(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

答案　D

解析　a＝2，b＝8，n＝1；c＝16，a＝8，b＝6，n＝2；c＝48，a＝6，b＝8，n＝3；c＝48，a＝8，b＝8，n＝4；c＝64，a＝8，b＝4，n＝5；c＝32，a＝4，b＝2，n＝6；c＝8，a＝2，b＝8，n＝7，…，易知该程序框图中a，b的值以6为周期重复出现．又因为2019＝6×336＋3，所以当n＝2019时，b＝8.故选D.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　算法的交汇性问题

角度　　算法与函数的交汇

例2　(2019·潍坊模拟)执行右边的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x值为(　　)

A．0

B．e

C．0或e

D．0或1

答案　C

解析　程序对应的函数为

y＝

若x≤0，由y＝1，得ex＝1，得x＝0，满足条件；

若x＞0，由y＝2－ln x＝1，得ln x＝1，即x＝e，满足条件．综上，输入的x值为0或e，故选C.

角度　　算法与数列的交汇

例3　(2020·西宁模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的S的值是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝＋＋…＋的值，

可得S＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故选B.

角度　　算法与统计的交汇

例4　(2019·九江联考)图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位：吨)的茎叶图，月均用水量依次记为A1，A2，…，A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，则输出的n的值为________．

答案　7

解析　由程序框图，知算法的功能是计算15户居民中月均用水量大于2.1的户数，由茎叶图得，在这15户居民中，月均用水量大于2.1的户数为7，故输出的n的值为7.

解决算法的交汇性问题的方法

循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．

[即时训练]　3.(2020·宁夏银川模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于(　　)

A．[－6，－2]  B．[－5，－1]

C．[－4,5]  D．[－3,6]

答案　D

解析　当0≤t≤2时，S＝t－3∈[－3，－1]．当－2≤t＜0时,2t2＋1∈(1,9]，则S∈(－2,6]．综上，当－2≤t≤2时，S∈[－3,6]，故选D.

4．(2019·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内的(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是(　　)

A．i>100，n＝n＋1

B．i<34，n＝n＋3

C．i>34，n＝n＋3

D．i≥34，n＝n＋3

答案　C

解析　算法的功能是计算1＋＋＋…＋的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中的(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，所以终止程序运行的i值为35，所以判断框内的(1)处应为i>34，故选C.

5．在2018～2019赛季NBA季后赛中，当一个球队进行完7场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计，如下表：

为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算σ的算法流程图如图所示(其中是这7场比赛的平均得分)，求输出的σ的值．

解　由题意，知＝×(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程图可知s＝(100－100)2＋(104－100)2＋(98－100)2＋(105－100)2＋(97－100)2＋(96－100)2＋(100－100)2＝70.故σ＝＝.

考向三　基本算法语句

例5　(1)(2019·福州质检)下列程序语句的算法功能是(　　)

A．输出a，b，c三个数中的最大数

B．输出a，b，c三个数中的最小数

C．将a，b，c从小到大排列

D．将a，b，c从大到小排列

答案　A

解析　由程序语句可知，当比较a，b的大小后，选择较大的数赋给a；当比较a，c的大小后，选择较大的数赋给a，最后输出a，所以此程序的作用是输出a，b，c三个数中的最大数．故选A.

(2)运行下面的程序，执行后输出的s的值是(　　)

A．11  B．15

C．17  D．19

答案　B

解析　当i＝3时，s＝7，当i＝5时，s＝11，当i＝7时，s＝15，此时不满足“i<6”，所以输出s＝15，故选B.

基本算法语句应用中需注意的问题

(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调，A＝B和B＝A的含义及运行结果是不同的．

(2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值．

(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N＝N＋1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N的值加上1再赋给变量N，这样原来的值被“冲”掉．

[即时训练]　6.阅读下面的程序：

如果上述程序输入的值是51，则运行结果是(　　)

A．51  B．15

C．105  D．501

答案　B

解析　因为51÷10＝5……1，所以a＝5，b＝1，x＝10×1＋5＝15.故选B.

7．(2019·龙岩质检)如图所示的程序，若最终输出的结果为，则在程序中“____？____”处应填入的语句为(　　)

A．i>＝8  B．i>＝7

C．i<7  D．i<8

答案　B

解析　S＝0，n＝2，i＝1，执行S＝，n＝4，i＝2；S＝＋＝，n＝8，i＝3；S＝＋＝，n＝16，i＝4；S＝＋＝，n＝32，i＝5；S＝＋＝，n＝64，i＝6；S＝＋＝，n＝128，i＝7.此时满足题目条件输出的S＝，∴“？”处应填上i>＝7.故选B.

(2019·沈阳模拟)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为(　　)

A．120  B．84

C．56  D．28

答案　B

解析　初始值i＝0，n＝0，S＝0，第一次循环，i＝1，n＝1，S＝1；第二次循环，i＝2，n＝3，S＝4；第三次循环，i＝3，n＝6，S＝10；第四次循环，i＝4，n＝10，S＝20；第五次循环，i＝5，n＝15，S＝35；第六次循环，i＝6，n＝21，S＝56；第七次循环，i＝7，n＝28，S＝84，此时退出循环，输出S＝84，故选B.

答题启示

求解循环结构的程序框图题的“三注意”

(1)注意是当型循环结构，还是直到型循环结构；

(2)注意选择准确的表示累计的变量；

(3)注意在哪一步开始循环，及执行循环体的条件．

对点训练

“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“aMODb”表示a除以b的余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝(　　)

A．0  B．25

C．50  D．75

答案　B

解析　初始值：a＝675，b＝125，第一次循环：c＝50，a＝125，b＝50；第二次循环：c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环：c＝0，a＝25，b＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a的值为25，故选B.