2021高考数学一轮复习统考第12章算法初步复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案含解析北师大版

第4讲　直接证明与间接证明

基础知识整合

1．直接证明

2．间接证明

(1)反证法的定义

假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．

(2)利用反证法证题的步骤

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；

③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．

分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．

1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证： <a”，“索”的“因”应是(　　)

A．a－b>0  B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0  D．(a－b)(a－c)<0

答案　C

解析　<a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.

2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是(　　)

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c中至多有一个偶数

D．假设a，b，c中至多有两个偶数

答案　B

解析　“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”．故选B.

3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P>Q  B．P＝Q

C．P<Q  D．由a的取值确定

答案　C

解析　要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，即比较2a＋7＋2与2a＋7＋2的大小，既而比较与

的大小，即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，只需比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.

4．若a>b>0，且x＝a＋，y＝b＋，则(　　)

A．x>y  B．x<y

C．x≥y  D．x≤y

答案　A

解析　因为a＋－＝(a－b)>0，所以a＋>b＋.故选A.

5．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是(　　)

A．ac2<bc2  B．a2>ab>b2

C.<   D．>

答案　B

解析　∵a2－ab＝a(a－b)，a<b<0，∴a－b<0，

a2－ab>0，∴a2>ab.①

又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②

由①②，得a2>ab>b2.

6．(2019·扬州调研)设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．

答案　m<n

解析　解法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得m<n.

解法二：(分析法)－<⇐＋>⇐a<b＋2·＋a－b⇐2·>0，显然成立．

核心考向突破

考向一　综合法证明

例1　已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列，证明：2cos2x＝cos2y.

证明　∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，

∴sinθ＋cosθ＝2sinx，①

sinθcosθ＝sin2y，②

①2－②×2，可得(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝4sin2x－2sin2y，即4sin2x－2sin2y＝1.

∴4×－2×＝1，

即2－2cos2x－(1－cos2y)＝1.

故证得2cos2x＝cos2y.

综合法证明的思路

(1)分析条件，选择方向．分析题目中的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法．

(2)转化条件，组织过程．把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．

(3)适当调整，回顾反思．回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．

[即时训练]　1.设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.

证明　因为a，b，c>0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，三式相加，得＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

考向二　分析法证明

例2　已知：a>0，b>0，a＋b＝1，

求证： ＋≤2.

证明　要证 ＋≤2，

只需证a＋＋b＋＋2≤4，

又a＋b＝1，故只需证 ≤1，

只需证＝ab＋(a＋b)＋≤1，

只需证ab≤.

因为a>0，b>0,1＝a＋b≥2，所以ab≤，

故原不等式成立.

分析法证明的思路

分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．

易错警示：分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证…只需要证…”或“…⇐…”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．

[即时训练]　2.已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，

求证：＋＋≤.

证明　欲证＋＋≤，

则只需证(＋＋)2≤3，

即证a＋b＋c＋2(＋＋)≤3，

即证＋＋≤1.

又＋＋≤＋＋＝1，当且仅当a＝b＝c＝时取“＝”．

所以原不等式＋＋≤成立．

精准设计考向，多角度探究突破

考向三　反证法证明

角度　　证明否定性命题

例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

解　(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，

两式相减，得an＋1＝an，

所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，

所以an＝.

(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap，aq，ar(p<q<r，且p，q，r∈N*)，

则2·＝＋，

所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)

又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N*.

所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．

所以假设不成立，原命题得证．

角度　　证明存在性问题

例4　设x，y，z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，求证：a，b，c三数至少有一个不小于2.

证明　假设a，b，c都小于2，

则a＋b＋c<6.

而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6(当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”)与a＋b＋c<6矛盾，

∴a，b，c中至少有一个不小于2.

角度　　证明唯一性命题

例5　已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.

(1)求证：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．

解　(1)证明：由已知，得SA2＋AD2＝SD2，

∴SA⊥AD.同理可得SA⊥AB.

又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.

(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.

∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.

∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，

∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．

故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.

1．反证法的适用范围

当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．

2．用反证法证明不等式要把握的三点

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从结论的反面出发进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推理证明；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知条件矛盾，有的与假设矛盾，有的与基本事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．

[即时训练]　3.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解　(1)由已知，得

所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．

(2)证明：由(1)，得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，

则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，

所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.

因为p，q，r∈N*，所以

所以2＝pr⇒(p－r)2＝0.

所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

4．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.

证明　证法一：假设三式同时大于，

即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，

因为a，b，c∈(0,1)，

所以三式同向相乘，得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>.

又(1－a)a≤2＝，

同理(1－b)b≤，(1－c)c≤，

所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，

这与假设矛盾，故原命题正确．

证法二：假设三式同时大于，

因为0<a<1，所以1－a>0，

≥> ＝，

同>，>，

三式相加，得>，这是矛盾的，故假设错误，

所以原命题正确．

5．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；

(2)用反证法证明：方程f(x)＝0没有负数根．

证明　(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，

不妨设x1<x2，则x2－x1>0.

∵a>1，∴ax2－x1>1且ax1>0，

∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.

又x1＋1>0，x2＋1>0，

∴－＝

＝>0.

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，

故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，

则ax0＝－.

∵a>1，∴0<ax0<1，

∴0<－<1，

即<x0<2，与假设x0<0相矛盾，

故方程f(x)＝0没有负数根．