2021高考数学一轮复习统考第12章算法初步复数推理与证明第3讲合情推理与演绎推理课时作业含解析北师大版 练习

第3讲 合情推理与演绎推理

课时作业

1．(2019·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)

A．结论正确  B．大前提不正确

C．小前提不正确  D．全不正确

答案　C

解析　因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．故选C.

2．(2019·武汉高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(　　)

A．甲  B．乙

C．丙  D．丁

答案　B

解析　由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．

3．观察下列等式：

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

…

照此规律，第n个等式结果为(　　)

A．(2n)2  B．(2n＋1)2

C．(2n－1)2  D．(n－1)2

答案　C

解析　由题中的数字规律很容易得出第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.

4．(2019·广东茂名五校联盟第一次联考)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得500的所有正约数之和为(　　)

A．988  B．1032

C．1092  D．1182

答案　C

解析　类比36的所有正约数之和的求法，可知500的所有正约数之和可按如下方法得到：因为500＝22×53，所以500的所有正约数之和为(1＋2＋22)(1＋5＋52＋53)＝1092.

5．(2019·湖南省三湘名校第二次联考)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想，在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.43429，计算结果取整数)(　　)

A．1089  B．1086

C．434  D．145

答案　B

解析　由题意，得π(10000)≈＝，

由对数的性质可得ln 10＝，即π(10000)≈1085.725≈1086.故选B.

6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则 ＝(　　)

A．3   B．

C．6  D．2

答案　A

解析　令 ＝x(x>0)，两边平方，得3＋2＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去)，故 ＝3，选A.

7．(2020·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是(　　)

A．33  B．34

C．36  D．35

答案　B

解析　由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.

8．(2019·西宁模拟)将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆列：

根据以上规律判定，从2020到2022的箭头方向是(　　)

答案　A

解析　从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2020＝4×505，所以2020→2021也是箭头垂直指下，之后2021→2022的箭头是水平向右．故选A.

9．(2019·陕西咸阳模拟)如图所示的数阵中，若A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为(　　)

A．   B． 

C．   D．

答案　C

解析　由数阵知A(3,2)＝＋＝＋，A(4,2)＝＋＋＝＋＋，A(5,2)＝＋＋＋＝＋＋＋，…，则A(15,2)＝＋＋＋＋…＋＝＋2×＝＋2×＝＋2×＝，选项C正确．

10．老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n＝(　　)

A．7  B．8

C．11  D．15

答案　C

解析　由题意，得图中甲柱最上面的两个盘子是一样大小的，所以比操作三个盘子的次数(23－1) 要多，比操作四个盘子的次数(24－1)要少，相当于操作三个盘子的时候，最上面的那个挪动了几次，就会增加几次，故选C.

11．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是(　　)

A．   B． 

C．   D．

答案　A

解析　由题意，知凸函数满足

≤f.因为y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，所以sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.故选A.

12．(2019·南宁模拟)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作…，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作(　　)

A．31次  B．32次

C．33次  D．34次

答案　C

解析　由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，…，由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.故共需要操作33次．

13．若△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积S＝r(a＋b＋c)，类比空间中，若四面体的内切球的半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积为________．

答案　R(S1＋S2＋S3＋S4)

解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，即V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)．

14．(2019·黄冈市一模)自2019年来某市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了该市某高中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为________．

答案　黄梅戏

解析　甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳，可知甲参加过黄梅戏或黄梅挑花．

由乙说：我没有参加过黄梅挑花，可知乙参加过黄梅戏或岳家拳．

由丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，可知乙参加过黄梅戏特长班．又因为甲参加过的特长班比乙多，所以乙只参加过一个特长班．

即乙只参加过黄梅戏特长班．

故答案为黄梅戏．

15．“解方程x＋x＝1”有如下思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，故原方程有唯一解x＝2.类比上述思路，不等式x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2的解集是________．

答案　{x|x>2或x<－1}

解析　不等式化为x6＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)，设g(x)＝x3＋x，则g(x)在R上单调递增，所以不等式即g(x2)>g(x＋2)，所以x2>x＋2，解得x>2或x<－1.

16．(2019·甘肃、青海、宁夏联考)数列{an}为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1,1,2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝________.

答案　1

解析　由数列{an}的构造方法，得a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n－1＝n，即a2n－1＋k＝ak(1≤k≤2n－1)，故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1.

17．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图甲、乙、丙、丁是她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，求f(n)的表达式．

解　根据前面四个发现规律：f(2)－f(1)＝4×1，

f(3)－f(2)＝4×2，

f(4)－f(3)＝4×3，…

f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，这n－1个式子相加可得：

f(n)＝2n2－2n＋1.

18．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.

证明　∵△ABC为锐角三角形，

∴A＋B>，∴A>－B，

∵y＝sinx在上是增函数，

∴sinA>sin＝cosB，

同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，

∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.

19．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

解　如图，由三角形相似得

AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，

AC2＝DC·BC，

故＋＝＋＝＝＝.

在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H.

则＝＋＋.

证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE.

∵AB，AC，AD两两垂直，

∴AB⊥平面ACD，又AE⊂平面ACD，

∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，

＝＋，①

又易证CD⊥AE，

故在Rt△ACD中，

＝＋，②

把②式代入①式，得＝＋＋.

20．(2020·云南曲靖监测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin21°＋cos229°－sin1°cos29°；

②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

③sin211°＋cos219°－sin11°cos19°；

④sin2(－12)°＋cos242°－sin(－12)°cos42°；

⑤sin2(－40)°＋cos270°－sin(－40)°cos70°.

(1)从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果把该同学的发现推广为一个三角恒等式；

(3)证明这个结论．

解　(1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.

(2)由上述5个式子的结构特征可知，三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.

(3)证法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.

证法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)

＝＋－sinαcosα－sin2α

＝－＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sin2α－(1－cos2α)

＝1－cos2α－＋cos2α＝.