（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（2）第一章集合与常用逻辑用语第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件（含解析）
展开[练案2]第二讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
A组基础巩固
一、单选题
1．(2020·山东省实验中学第二次诊断)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( A )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a＋b＋c≥3，则a2＋b2＋c2＝3
[解析] 命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．故选A.
2．(2020·河北邯郸月考)下列命题是真命题的为( A )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x<y，则x2<y2
[解析] 选项A，由＝得＝0，则x＝y，为真命题；选项B，由x2＝1得x＝±1，x不一定为1，为假命题；选项C，若x＝y，，不一定有意义，为假命题；选项D，若x<y<0，则x2>y2，为假命题，故选A.
3．(2020·安徽淮南二中、宿城一中联考)命题p：“若a≥b，则a＋b>2 020且a>－b”的逆否命题是( C )
A．若a＋b≤2 020且a≤－b，则a<b
B．若a＋b≤2 020且a≤－b，则a>b
C．若a＋b≤2 020或a≤－b，则a<b
D．若a＋b≤2 020或a≤－b，则a>b
[解析] 根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 020且a>－b”的逆否命题是：若a＋b≤2 020或a≤－b，则a<b.故选C.
4．(2020·湖北襄阳调研)设a，b∈R，则“2a－b<1”是“ln a<ln b”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由2a－b<1得a<b，由ln a<ln b得0<a<b，∴“2a－b<1”是“ln a<ln b”的必要不充分条件，故选B.
5．已知命题p：x≠3且y≠2，q：x＋y≠5，则p是q的( D )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (等价转化法)原命题等价于判断¬q：x＋y＝5是¬p：x＝3或y＝2的何种条件，
显然¬q¬p，¬p¬q，所以p是q的既不充分也不必要条件．
6．(2020·青岛模拟)已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是( D )
A．m∥α，n∥α B．m⊥α，n⊥α
C．m∥α，n⊂α D．m、n与α所成的角相等
[解析] m∥n⇒m，n与α所成的角相等，反之m，n与α所成的角相等不一定推出m∥n.故选D.
7．(2020·3月份北京市高考适应性测试)设{an}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为Sn.则“∀n∈N*，Sn＋1>Sn”是“{an}为递增数列”的( A )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵Sn＋1>Sn，∴an＋1>0，即dn＋a1>0，
由于对∀N*都成立，因此，d>0且a1＋d>0，
所以{an}为递增数列，若{an}为递增数列，
如－4，－3，－2，－1,0，……，
显然S2<S1，因此选A.
二、多选题
8．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊改编)下列四个命题中，是真命题的有( ABCD )
A．“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题
B．“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题
C．“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题
D．“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题
[解析] A．“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题．
B．“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直于(b－c)”．由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，据此可知a不垂直于(b－c)，该命题为真命题．
C．若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题．
D．“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．
综上，是真命题的有A、B、C、D.
9．(2020·安徽定远中学月考改编)下列说法不正确的是( ABD )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件
C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题
D．“tanx＝1”是“x＝”的充分不必要条件
[解析] 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0⇔x＝－1或x＝2，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B不正确；因为由x＝y能推得sinx＝siny，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tanx＝1”的充分不必要条件，即D不正确．故选A、B、D.
10．(2020·湖南湘潭一中模拟改编)已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数的虚部为－i，则下列为假命题的是( ABD )
A．(¬p)∧(¬q) B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．p∧q
[解析] 由已知可得，复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝＋i＝6i，所以命题p为真命题；复数＝＝，其虚部为－，故命题q为假命题，所以¬q为真命题，所以p∧(¬q)为真命题，故选A、B、D.
三、填空题
11．(2020·黑龙江佳木斯月考)在“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的逆否命题为__“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角”，则∠C≠90°__.
[解析] 逆否命题是否定条件和结论，交换条件和结论．即“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”．
12．(2020·湖南六校联考)设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的__必要不充分__条件．
[解析] 因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁丙；故甲⇒丁，丁甲，即丁是甲的必要不充分条件．
13．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中所有真命题的序号有__①③__.
[解析] ①中命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题．②中命题的否命题为“若两个三角形不相似，这两个三角形的周长不相等”，是假命题．③中命题的逆否命题为“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”．若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实数根，则Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b<0，解得b>0，所以b>－1，是真命题．④若A∪B＝B，则A⊆B，原命题为假命题．又因为逆否命题与原命题同真同假，所以其逆否命题也是假命题．①③是真命题，②④是假命题．
14．(2020·山西大同一中期中)已知集合A＝{x|<2x<8，x∈R}，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}．若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是__(2，＋∞)__.
[解析] 由题意A＝{x|<2x<8，x∈R}＝{x|－1<x<3}．
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
B组能力提升
1．(多选题)(2020·成都市一诊改编)下列判断不正确的是( ABD )
A．“x<－2”是“ln(x＋3)<0”的充分不必要条件
B．函数f(x)＝＋的最小值为2
C．当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题
D．命题“∀x>0,2 020x＋2 020>0”的否定是“∃x0≤0，2 020x0＋2 020≤0”
[解析] 选项A中，由ln(x＋3)<0，得0<x＋3<1，解得－3<x<－2，所以“x<－2”是“ln(x＋3)<0”的必要不充分条件，故选项A不正确；选项B中，令t＝，因为≥3，y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，所以当t≥3时，y＝t＋≥，所以f(x)＝＋的最小值为，故选项B不正确；选项C中，因为命题“若α＝β，则sin α＝sin β”为真命题，所以该命题的逆否命题也为真命题，故选项C正确；选项D中，由全称命题的否定为特称命题知，该命题的否定为“∃x0>0,2 020x0＋2 020≤0”，故选项D不正确．故选A、B、D.
2．(2020·江西抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( C )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
[解析] 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
3．(2020·安徽合肥模拟)(数学文化题)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高上的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 根据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即¬q是¬p的充分不必要条件，故p是q的充分不必要条件，选A.
4．(2020·山西45校联考)下列选项中，>的一个充分不必要条件的是( D )
A．> B．ea>eb
C．a2>b2 D．lga>lgb
[解析] lga>lgb⇒>，反之不成立，如a>b＝0时．所以>的一个充分不必要条件的是lga>lgb，故选D.
5．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( D )
A．[－3,3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]
[解析] ∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.
