（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（3）第一章集合与常用逻辑用语第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词（含解析）

 [练案3]第三讲　逻辑联结词、全称量词与存在量词

A组基础巩固

一、单选题

1．(2020·内蒙古呼和浩特市高三调研)已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　C　)

A．命题¬p是真命题

B．命题p是特称命题

C．命题p是全称命题

D．命题p既不是全称命题也不是特称命题

[解析]　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称命题，故选C.

2．(2020·山西芮城期末)在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为(　A　)

A．(¬p)∨(¬q)　　 B．p∨(¬q)

C．(¬p)∧(¬q)　　 D．p∨q

[解析]　“甲测试成绩不优秀”可表示为¬p，“乙测试成绩不优秀”可表示为¬q，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为(¬p)∨(¬q)．故选A.

3．“若¬q”是假命题，命题“p∧q”也是假命题，则(　C　)

A．命题“(¬p)∨q”是假命题

B．命题“p∨q”是假命题

C．命题“(¬p)∨q”是真命题

D．命题“p∨(¬q)”是真命题

[解析]　由“¬q”为假命题，得q为真命题．又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，“¬p”为真命题，所以命题“(¬p)∨q”是真命题，命题“p∨q”是真命题，故选C.

4．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为(　D　)

A．所有实数的平方都不是正数

B．有的实数的平方是正数

C．至少有一个实数的平方是正数

D．至少有一个实数的平方不是正数

[解析]　命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“所有实数的平方不都是正数”，即至少有一个实数的平方不是正数，故选D.

5．(2020·吉林长春实验中学高三期中)命题“∀x∈R，x3－3x≤0”的否定为(　C　)

A．“∀x∈R，x3－3x>0”　　 B．“∀x∈R，x3－3x≥0”

C．“∃x0∈R，x－3x0>0”　　 D．“∃x0∈R，x－3x0<0”

[解析]　因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x3－3x≤0”的否定为“∃x0∈R，x－3x0>0”．故选C.

6．下列四个命题中为真命题的是(　C　)

A．∀x∈R，x2＋3<0　　 B．∀x∈N，x2≥1

C．∃x0∈Z，x<1　　 D．∃x0∈Q，x＝3

7．已知命题p：∀x∈R，(a＋2)x2－2ax＋1<0，若命题p为假命题，则a的取值范围为(　A　)

A．R　　 B．(－∞，－2)

C．(－∞，－2]　　 D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)

[解析]　若命题p为真，则

∴∴a∈∅，因此若命题p为假命题，则a的取值范围为R，故选A.

二、多选题

8．(2019·山东聊城一中高三10月月考)下列命题中是真命题的是(　ABD　)

A．∃x，y∈(0，＋∞)，lg ＝lg x－lg y

B．∀x∈R，x2＋x＋1>0

C．∀x∈R,2x<3x

D．∃x，y∈R,2x·2y＝2xy

[解析]　对于A，由对数的运算性质可知，∃x，y∈(0，＋∞)，lg ＝lg x－lg y，故正确；对于B，b2－4ac＝1－4＝－3<0，故正确：对于C，当x＝－1时，2－1>3－1，故错误；对于D，由同底数幂乘积可得x＝y＝2时，2x·2y＝2xy，故正确．故选A、B、D.

9．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为假命题的是(　ACD　)

A．p∧q　　 B．p∧(¬q)

C．(¬p)∧q　　 D．(¬p)∧(¬q)

[解析]　∵x2－x＋1＝(x－)2＋>0，∴命题p为真命题．当a2<b2时，不一定有a<b，如32<(－5)2，但3>－5，故命题q为假命题，故¬q为真命题．∴p∧(¬q)为真命题，故选A、C、D.

10．下列命题中为假命题的是(　ACD　)

A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

C．命题“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”的否定

D．命题“若>1，则x>1”的逆否命题

[解析]　命题“若x>1，则x2>1”的否命题：若x≤1，则x2≤1，显然不正确，反例：x＝－2，x2>1.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题：若x>|y|，则x>y，正确．命题“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”为真命题，所以其否定为假命题．命题“若>1，则x>1”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选A、C、D.

二、填空题

11．(2020·安徽滁州联合质检)命题“∃x0∈R,2x<cosx0”的否定为　∀x∈R,2x2≥cosx　.

[解析]　特称命题的否定为全称命题，所以命题“∃x0∈R,2x<cosx0”的否定为∀x∈R,2x2≥cosx.

12．若“∀x∈[－，]，m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最大值为__0__.

[解析]　“∀x∈[－，]，m≤tan x＋1”为真命题，可得－1≤tan x≤1，∴0≤tan x＋1≤2，∴实数m的最大值为0.

13．(2020·北京海淀区高三上期中)能说明“若存在x0，使得f(－x0)＝－f(x0)，则f(x)不是偶函数”为假命题的一个函数f(x)是__f(x)＝x2－1(答案不唯一)__.

[解析]　如f(x)＝x2－1.当x＝－1时，满足f(－1)＝0，f(1)＝0，满足存在x0，使得f(－x0)＝－f(x0)，但是函数f(x)是偶函数．

14．(2020·湖北孝感八校联考)已知命题p：∀x∈R，x2＋1>0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x＋x<a，且p∧q为真命题，则实数a的取值范围为__(2，＋∞)__.

[解析]　命题p：∀x∈R，x2＋1>0为真命题，若命题“p∧q”为真命题，则q是真命题．由命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x＋x<a为真命题，得a>(x2＋x－2)min＝2，∴实数a的取值范围为(2，＋∞)．

B组能力提升

1．(2020·辽宁锦州期末)命题p：∀x∈[2，＋∞)，log2x≥1，则(　A　)

A．p是真命题，¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1

B．p是假命题，¬p：∀x∈[2，＋∞)，log2x<1

C．p是假命题，¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1

D．p是真命题，¬p：∀x∈[2，＋∞)，log2x<1

[解析]　∵y＝log2x为增函数，∵x≥2，∴log2x≥log22＝1，∴p为真命题．¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1.故选A.

2．(2020·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x>x，则下列命题中为真命题的是(　A　)

A．(¬p)∧q　　 B．p∧(¬p)

C．(¬p)∧(¬q)　　 D．p∧q

[解析]　对于p：当x＝－1时，x＋＝－2，∴p为假命题．从而¬p为真命题，取x0∈(0,1)，此时x>x，∴q为真命题．(¬p)∧q为真命题．

3．(2020·西藏拉萨中学月考)下列说法正确的是(　C　)

A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x≠1”

B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

C．命题p：∃x0∈R，sinx0>1，则¬p：∀x∈R，sin x≤1

D．“φ＝2kπ＋(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件

[解析]　对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”，A错误，对于B，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，B错误．对于C，命题p：∃x0∈R，sin x0>1，则¬p：∀x∈R，sin x≤1，C正确．对于D，φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数，充分性成立．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，必要性不成立，不是充要条件，D错误．故选C.

4．(2020·贵州贵阳模拟)已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(¬p)∧q为真命题，则x的值为(　D　)

A．1　 B．－1　

C．2　 D．－2

[解析]　因为¬p：∃x∈R,2x≥3x，要使(¬p)∧q为真命题，所以¬p与q同时为真命题．由2x≥3x得()x≥1，所以x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2.又x≤0，所以x＝－2.故选D.

5．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是　(0，]　.

[解析]　由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.又a>0，故a的取值范围是(0，]．