(山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(34)第五章数列第二讲等差数列及其前n项和(含解析)
展开[练案34]第二讲 等差数列及其前n项和
A组基础巩固
一、单选题
1.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=( D )
A.12 B.14
C.16 D.18
[解析] 由a2=2,a3=4知d==2.
所以a10=a2+8d=2+8×2=18.故选D.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a2 018=1,则S2 020=( C )
A.22 020 B.2 021
C.1 010 D.21 010
[解析] 因为{an}为等差数列,a3+a2 018=1,所以a1+a2 020=a3+a2 018=1,所以S2 020==1 010,故选C.
3.已知数列{an}为等差数列,a2+a3=1,以a10+a11=9,则a5+a6=( A )
A.4 B.5
C.6 D.7
[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a3=1,a10+a11=9,所以2a1+3d=1,2a1+19d=9,解得a1=-,d=,所以a5+a6=2a1+9d=-2×+9×=4.
另解:a10+a11-(a2+a3)=16d=8⇒d=,所以a5+a6=a2+a3+6d=1+3=4.故选A.
4.(2020·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( B )
A.1升 B.升
C.升 D.升
[解析] 设该等差数列为{an},公差为d,
由题意得即
解得
∴a5=+4×=.故选B.
5.一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是( D )
A.d> B.d<
C.<d< D.<d≤
[解析] 由题意可得即
解得<d≤.故选D.
6.(2020·辽宁五校联考)已知等差数列{an}的公差为d,且a8+a9+a20=24,则a1d的最大值为( C )
A. B.
C.2 D.4
[解析] 解法一:因为a8+a9+a10=24,所以a1+7d+(a1+8d)+(a1+9d)=24,所以a1=8-8d,所以a1d=(8-8d)d=8(d-d2)=-8(d-)2+2,所以当d=时,a1d取得最大值,最大值为2.故选C.
解法二:因为a8+a9+a10=24,所以3a9=24,所以a1+8d=8,所以a1=8(1-d),所以a1d=8(1-d)d=8(d-d2)=-8(d-)2+2,所以当d=时,a1d取得最大值,最大值为2.故选C.
二、多选题
7.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是( AD )
A.d>0
B.a1>0
C.当n=5时Sn最小
D.Sn>0时,n最小值为8
[解析] ∵a7=3a5,∴a1+6d=3a1+12d,
∴a1=-3d,由已知得d>0,
∴a1<0,故A正确,B不正确.
Sn=n2+(a1-)n=n2-dn=(n2-7n),
当n=3或4时,Sn最小,故C不正确.
Sn>0解得n>7或n<0,因此Sn>0时n最小
为8,故D正确,选A、D.
8.(2020·皖中名校联考改编)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论正确的是( ACD )
A.a10=0 B.S10最小
C.S7=S12 D.S19=0
[解析] ∵2a1+3a3=S6,∴2a1+3a1+6d=6a1+15d,
∴a1=-9d,∴an=a1+(n-1)d=(n-10)d,
∴a10=0,故A正确;
∵Sn=na1+=-9nd+=(n2-19n),
∴S9=S10,S7=S12,S19=0,故B错误,C、D正确,选A、C、D.
三、填空题
9.已知数列{an}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10= .
[解析] 由已知得=+(10-1)×=1+3=4,故a10=.
10.中位数为1 011的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为__3__.
[解析] 设首项为a1,则a1+2 019=2×1 011,解得a1=3.故填3.
11.若等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13=__3__.
[解析] 因为S17=×17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质知a5+a13=a7+a11,所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.
12.(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是__16__.
[解析] 解法一:设等差数列{an}的公差为d,则a2a5+a8=(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=a+4d2+5a1d+a1+7d=0,S9=9a1+36d=27,解得a1=-5,d=2,则S8=8a1+28d=-40+56=16.
解法二:设等差数列{an}的公差为d.S9==9a5=27,a5=3,又a2a5+a8=0,则3(3-3d)+3+3d=0,得d=2,则S8==4(a4+a5)=4(1+3)=16.
四、解答题
13.(2020·武汉市部分学校调研测试)已知等差数列{an}前三项的和为-9,前三项的积为-15.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,则由a1+a2+a3=-9,
得a2=-3,则a1=-3-d,a3=-3+d,
由a1a2a3=-15,得(-3-d)(-3)(-3+d)=-15,
解得d2=4,d=±2,
∴an=-2n+1或an=2n-7.
(2)由题意得an=2n-7,所以|an|=
①当n≤3时,Sn=-(a1+…+an)=n=6n-n2;
②当n≥4时,Sn=-a1-a2-a3+a4+…+an=-2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18-6n+n2.
综上,数列{|an|}的前n项和Sn=
14.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
[解析] (1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,
解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
B组能力提升
1.(2020·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S5=10,则{an}的公差为( C )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知a1+a2=3①,S5==10,即a1+a5=4②,②-①得3d=1,∴d=,故选C.
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S674=2,S1 348=12,则S2 022=( C )
A.22 B.26
C.30 D.34
[解析] 由等差数列的性质知,S674,S1 348-S674,S2 022-S1 348成等差数列,则2(S1 348-S674)=S674+S2 022-S1 348,即2×(12-2)=2+S2 022-12,解得S2 022=30.
3.(2020·安徽淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和,S2 018<S2 016,S2 017<S2 018,则Sn<0时n的最大值是( D )
A.2 017 B.2 018
C.4 033 D.4 034
[解析] 因为S2 018<S2 016,S2 017<S2 018,
所以a2 018+a2 017<0,a2 018>0.
所以S4 034==2 017(a2 018+S2 017)<0,S4 035==4 035a2 018>0,
可知Sn<0时n的最大值是4 034.故选D.
4.(2020·郑州模拟)在等差数列{an}中,a1=-2 018,其前n项的和为Sn,若-=2,则S2 018=__-2_108__.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为=a1+(n-1)d,所以数列{}也成等差数列,由-=2得{}的公差为1,因此=+(2 018-1)×1=-1,则S2 018=-2 018.
5.(2020·广东七校第二次联考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,且bn=,n∈N*.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.
[解析] (1)因为bn=,且an+1=,
所以bn+1===1+=1+bn,故bn+1-bn=1.
又b1==1,
所以数列{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=n,
又bn=,所以an==.
故==-.
所以Tn=(-)=1-=.