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    (山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(34)第五章数列第二讲等差数列及其前n项和(含解析)

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     [练案34]第二讲 等差数列及其前n项和

    A组基础巩固

    一、单选题

    1.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=( D )

    A.12  B.14 

    C.16  D.18

    [解析] 由a2=2,a3=4知d=2.

    所以a10a2+8d=2+8×2=18.故选D.

    2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3a2 018=1,则S2 020=( C )

    A.22 020  B.2 021 

    C.1 010  D.21 010

    [解析] 因为{an}为等差数列,a3a2 018=1,所以a1a2 020a3a2 018=1,所以S2 020=1 010,故选C.

    3.已知数列{an}为等差数列,a2a3=1,以a10a11=9,则a5a6=( A )

    A.4  B.5 

    C.6  D.7

    [解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a2a3=1,a10a11=9,所以2a1+3d=1,2a1+19d=9,解得a1=-d,所以a5a62a1+9d=-2×+9×=4.

    另解:a10a11-(a2a3)=16d=8d,所以a5a6a2a3+6d=1+3=4.故选A.

    4.(2020·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( B )

    A.1升  B.升 

    C.升  D.

    [解析] 设该等差数列为{an},公差为d

    由题意得

    解得

    a5+4×.故选B.

    5.一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是( D )

    A.d>   B.d<

    C.<d<   D.<d

    [解析] 由题意可得

    解得<d.故选D.

    6.(2020·辽宁五校联考)已知等差数列{an}的公差为d,且a8a9a20=24,则a1d的最大值为( C )

    A.  B. 

    C.2  D.4

    [解析] 解法一:因为a8a9a10=24,所以a1+7d+(a1+8d)+(a1+9d)=24,所以a1=8-8d,所以a1d=(8-8d)d=8(dd2)=-8(d)2+2,所以当d时,a1d取得最大值,最大值为2.故选C.

    解法二:因为a8a9a10=24,所以3a9=24,所以a1+8d=8,所以a1=8(1-d),所以a1d=8(1-d)d=8(dd2)=-8(d)2+2,所以当d时,a1d取得最大值,最大值为2.故选C.

    二、多选题

    7.等差数列{an}是递增数列,满足a73a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是( AD )

    A.d>0

    B.a1>0

    C.当n=5时Sn最小

    D.Sn>0时,n最小值为8

    [解析] a73a5a1+6d3a1+12d

    a1=-3d,由已知得d>0,

    a1<0,故A正确,B不正确.

    Snn2+(a1)nn2dn(n2-7n),

    n=3或4时,Sn最小,故C不正确.

    Sn>0解得n>7或n<0,因此Sn>0时n最小

    为8,故D正确,选A、D.

    8.(2020·皖中名校联考改编)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a13a3S6,给出以下结论正确的是( ACD )

    A.a10=0   B.S10最小

    C.S7S12   D.S19=0

    [解析] 2a13a3S62a13a1+6d6a1+15d

    a1=-9dana1+(n-1)d=(n-10)d

    a10=0,A正确

    Snna1=-9nd(n2-19n),

    S9S10S7S12S19=0,故B错误,C、D正确,选A、C、D.

    三、填空题

    9.已知数列{an}中,a1=1且(nN*),则a10  .

    [解析] 由已知得+(10-1)×=1+3=4,故a10.

    10.中位数为1 011的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为__3__.

    [解析] 设首项为a1,则a1+2 019=2×1 011,解得a1=3.故填3.

    11.若等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5a7a9a11a13__3__.

    [解析] 因为S17×17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质知a5a13a7a11,所以a5a7a9a11a13a9=3.

    12.(2019·江苏)已知数列{an}(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5a8=0,S9=27,则S8的值是__16__.

    [解析] 解法一:设等差数列{an}的公差为d,则a2a5a8=(a1d)(a1+4d)+a1+7da+4d25a1da1+7d=0,S99a1+36d=27,解得a1=-5,d=2,则S88a1+28d=-40+56=16.

    解法二:设等差数列{an}的公差为d.S99a5=27,a5=3,又a2a5a8=0,则3(3-3d)+3+3d=0,得d=2,则S8=4(a4a5)=4(1+3)=16.

    四、解答题

    13.(2020·武汉市部分学校调研测试)已知等差数列{an}前三项的和为-9,前三项的积为-15.

    (1)求等差数列{an}的通项公式;

    (2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.

    [解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,则由a1a2a3=-9,

    a2=-3,则a1=-3-da3=-3+d

    a1a2a3=-15,得(-3-d)(-3)(-3+d)=-15,

    解得d2=4,d=±2,

    an=-2n+1或an=2n-7.

    (2)由题意得an=2n-7,所以|an|=

    n≤3时,Sn=-(a1+…+an)=n=6nn2; 

    n≥4时,Sn=-a1a2a3a4+…+an=-2(a1a2a3)+(a1a2+…+an)=18-6nn2.

    综上,数列{|an|}的前n项和Sn

    14.(2019·全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.

    (1)若a3=4,求{an}的通项公式;

    (2)若a1>0,求使得Snann的取值范围.

    [解析] (1)设{an}的公差为d.

    S9=-a5a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.

    于是a1=8,d=-2.

    因此{an}的通项公式为an=10-2n.

    (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)dSn.

    a1>0知d<0,故Snan等价于n2-11n+10≤0,

    解得1≤n≤10.

    所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,nN}.

    B组能力提升

    1.(2020·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S5=10,则{an}的公差为( C )

    A.  B. 

    C.  D.

    [解析] 由题意知a1a2=3S5=10,即a1a5=4得3d=1,d,故选C.

    2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S674=2,S1 348=12,则S2 022=( C )

    A.22  B.26 

    C.30  D.34

    [解析] 由等差数列的性质知,S674S1 348S674S2 022S1 348成等差数列,则2(S1 348S674)=S674S2 022S1 348,即2×(12-2)=2+S2 022-12,解得S2 022=30.

    3.(2020·安徽淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和,S2 018<S2 016S2 017<S2 018,则Sn<0时n的最大值是( D )

    A.2 017  B.2 018 

    C.4 033  D.4 034

    [解析] 因为S2 018<S2 016S2 017<S2 018

    所以a2 018a2 017<0,a2 018>0.

    所以S4 034=2 017(a2 018S2 017)<0,S4 035=4 035a2 018>0,

    可知Sn<0时n的最大值是4 034.故选D.

    4.(2020·郑州模拟)在等差数列{an}中,a1=-2 018,其前n项的和为Sn,若=2,则S2 018__-2_108__.

    [解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a1(n-1)d,所以数列{}也成等差数列,由=2得{}的公差为1,因此+(2 018-1)×1=-1,则S2 018=-2 018.

    5.(2020·广东七校第二次联考)已知数列{an}满足a1=1,an+1,且bnnN*.

    (1)求证:数列{bn}为等差数列;

    (2)设数列{}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.

    [解析] (1)因为bn,且an+1

    所以bn+1=1+=1+bn,故bn+1bn=1.

    b1=1,

    所以数列{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.

    (2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bnn

    bn,所以an.

    .

    所以Tn()=1-.

     

     

     

     

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