（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（51）第八章解析几何第二讲两条直线的位置关系（含解析）

 [练案51]第二讲　两条直线的位置关系

A组基础巩固

一、单选题

1．(2019·临川一中)直线kx－y＋2＝4k，当k变化时，所有直线都通过定点(　C　)

A．(0,0)　 B．(2,1)　

C．(4,2)　 D．(2,4)

[解析]　直线方程可化为y－2＝k(x－4)，所以直线恒过定点(4,2)．

2．(2019·河北省五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　C　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.

3．(2019·安徽合肥)直线l1：(a＋3)·x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　B　)

A．－4　 B．－2　

C．2　 D．4

[解析]　∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)×1＋1×(a－1)＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直线l1在x轴上的截距是－2，故选B.

4．(2019·北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　A　)

A．x－y＋1＝0　　 B．x＋y＋1＝0

C．x－y－1＝0　　 D．x＋y－1＝0

[解析]　因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点(，)，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A.

5．(2019·广东广州二模)已知点A与点B(1,2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　D　)

A．(3,4)　　 B．(4,5)

C．(－4，－3)　　 D．(－5，－4)

[解析]　设A(x，y)，则，

∴，选D.

6．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝(　C　)

A．0　 B．1　

C．－2　 D．－1

[解析]　因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是，所以＝，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.

7．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为(　B　)

A．y＝x－1　　 B．y＝x－

C．y＝x＋　　 D．y＝x＋1

[解析]　由得记A(－1，－1)，在直线y＝2x＋1上取一点B(0,1)，则其关于直线y＝x的对称点为B′(1,0)，又kAB′＝＝，∴所求直线方程为y－(－1)＝[x－(－1)]，即y＝x－.故选B.

8．(2019·辽宁省葫芦岛市模拟)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(　C　)

A．3　 B．0　

C．－1　 D．1

[解析]　直线mx－y＋1－2m＝0可化为y＝m(x－2)＋1，故直线过定点Q(2,1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ＝m·＝m＝－1，故选C.

二、多选题

9．使三直线l1：4x＋y＝4、l2：mx＋y＝0、l3：2x－3my＝4不能围成三角形的m的值可能是(　ACD　)

A．－　 B．－　

C．－1　 D．4

[解析]　当l1∥l2时，－m＝－4，即m＝4；

当l1∥l3时，－3m＝，即m＝－，

当l1、l3相交时，由

得l1与l3的交点坐标(，)，

由＋＝0得m＝－1或，故选ACD.

10．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是(　AD　)

A．15°　 B．30°　

C．60°　 D．75°

[解析]　l1与l2之间的距离|AB|＝＝，如图不防设直线m与l2相交于M或N，由题意知∠ABM＝∠ABN＝60°，∴m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°，故选AD.

三、填空题

11．已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是__0或1__.

[解析]　因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a＝0或1.

12．(2020·江苏启东质检)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是__x＋2y－3＝0__.

[解析]　当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－，此时，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.

13．(2019·洛阳模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝　　.

[解析]　由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.

四、解答题

14．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．

[解析]　由题意知kBH＝，∴kAC＝－2，又A(5,1)，

∴直线AC的方程为2x＋y－11＝0.

由可得C(4,3)，

设B(x0，y0)，则M(，)，

代入CM的方程得2x0－y0－1＝0.

由可得B(－1，－3)，∴kBC＝.

所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，

即6x－5y－9＝0.

15．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A、C的坐标．

[解析]　如图，设C(x0，y0)，由题意知l1∩l2＝A，则⇒

即A(－1,0)．

又∵l1⊥BC，∴kBC·kl1＝－1.∴kBC＝＝＝－2.

∴由点斜式可得BC的直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.

又∵l2：y＝0(x轴)是∠A的平分线，

∴B关于l2的对称点B′在直线AC上，易得B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC的方程为x＋y＋1＝0.

由C(x0，y0)在直线AC和BC上，可得⇒即C(5，－6)．

B组能力提升

1．(2020·湖北武汉调研)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为(　B　)

A．1　 B．2　

C．2　 D．2

[解析]　由题意知b2＋1－ab2＝0，∴a＝1＋，又b>0，∴ab＝b＋≥2(当且仅当b＝1时取等号)，故选B.

2．若直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则l的方程是(　C　)

A．3x－2y－5＝0　　 B．2x－3y－5＝0

C．2x＋3y＋1＝0　　 D．3x＋2y－1＝0

[解析]　设P(a,1)，则由题意知Q(2－a，－3)，∴2－a＋3－7＝0，即a＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝＝－，∴l的方程为y＋1＝－(x－1)，即2x＋3y＋1＝0，故选C.

3．(2019·江西赣州模拟)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　A　)

A．3　 B．2　

C．3　 D．4

[解析]　由题意知，点M所在直线与l1，l2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x＋y＋c＝0，则＝，解得c＝－6.点M在直线x＋y－6＝0上．点M到原点的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即d＝＝3，故选A.

4．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　C　)

A．3　 B．6　

C．2　 D．2

[解析]　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.

5．(2019·河北保定模拟)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　A　)

A．2　 B．　

C．2　 D．

[解析]　依据题意作出图形如下：

将x＝2代入x＋y－4＝0得y＝2，

将y＝0代入x＋y－4＝0得x＝4，

∴B(2,0)关于直线l的对称点为B1(4,2)，

∵|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，

∴当A、P、B1共线时|PA|＋|PB|最小，且最小值为|AB1|＝2，故选A.

[引申]　①|PA|＋|PB|最小时点P的坐标为　(，)　.

②若将“B(2,0)”改为“B(3,2)”，则|PA|与|PB|差的最大值为　　.