（山东专用）2021版高考数学一轮复习考案1第一章集合与常用逻辑用语综合过关规范限时检测（含解析）

 [考案1]第一章　综合过关规范限时检测

(时间：45分钟　满分100分)

一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(2020·兰州市高三诊断考试)已知集合A＝{x∈N|－1<x<4}，B⊆A，则集合B中的元素个数至多是(　B　)

A．3　 B．4　 

C．5　 D．6

[解析]　因为A＝|x∈N|－1<x<4}＝{0,1,2,3}，且B⊆A，所以集合B中的元素个数至多是4，故选B.

2．(2018·课标全国Ⅲ，1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　C　)

A．{0}　　 B．{1}

C．{1,2}　　 D．{0,1,2}

[解析]　本题考查集合的运算．∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.

3．(2020·成都市二诊)设全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤－2或x≥1}，则A∩(∁UB)＝(　A　)

A．{x|－1<x<1}　　 B．{x|－2<x<3}

C．{x|－2≤x<3}　　 D．{x|x≤－2或x>－1}

[解析]　由题意知∁UB＝{x|－2<x<1}，则A∩(∁UB)＝{x|－1<x<3}∩{x|－2<x<1}＝{x|－1<x<1}．

4．(2020·宁夏中卫模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　D　)

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

[解析]　命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

5．(2020·山东潍坊重点高中联考)毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的(　B　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　解法一：由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城，因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件．

解法二：设¬p为不到长城，推出¬q非好汉，即¬p⇒¬q，由原命题与其逆否命题等价可知q⇒p，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件．故选B.

6．下列命题中，真命题是(　D　)

A．命题“若a>b，则ac2>bc2”

B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题

C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题

[解析]　命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题，如a>b且c＝0时，ac2＝bc2；命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题，故选D.

7．(2020·广东汕头模拟)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：∀x>0，均有2x－a>0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是(　C　)

A．(－∞，－2)　　 B．(－2,1]

C．(1,2)　　 D．(1，＋∞)

[解析]　若方程x2＋ax＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a2－4<0，即－2<a<2，即p：－2<a<2.

∀x>0,2x－a>0则a<2x，

当x>0时，2x>1，则a≤1，即q：a≤1.

∵¬p是假命题，∴p是真命题．

∵p∧q是假命题，

∴q是假命题，即得1<a<2.故选C.

二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

8．(2020·重庆市第一次调研抽测改编)已知集合A＝{1,2，m}，B＝{3,4}，若A∪B＝{1,2,3,4}，则实数m可以为(　CD　)

A．1　 B．2　 

C．3　 D．4

[解析]　解法一：由题意知m是B中的元素，则m＝3或4，故选C、D.

解法二：由集合中元素的互异性知，m≠1且m≠2，故排除选项A、B，选C、D.

9．(2020·福建三明一中期中改编)下列选项中错误的有(　ABC　)

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”

B．“A≠∅”是“A∩B≠∅”的充分不必要条件

C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”

D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题

[解析]　对于A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”∴A错误；

对于B，由“A≠∅”是得不到“A∩B≠∅”，即“A≠∅”是“A∩B≠∅”不充分条件，

由“A∩B≠∅”可知“A≠∅”，即“A≠∅”是“A∩B≠∅”必要条件，故“A≠∅”是“A∩B≠∅”必要不充分条件，∴B错误；

对于C，命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，∴C错误；

对于D，命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可知，命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题，∴D正确；故A、B、C.

10．(2020·凤城市第一中学高一月考改编)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为(　AB　)

A．[－4，－1]　　 B．[1,4]

C．[－4，－1]∪[1,4]　　 D．[－4,4]

[解析]　由不等式1≤|x|≤4，解得：－1≤x≤－1或1≤x≤4，

对于A，B选项中的集合是不等式解集的真子集，

∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选A、B.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

11．(2018·湖南卷)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝__{1,2,3}__．

[解析]　∵∁UB＝{2}，∴A∪(∁UB)＝{1,2,3}．

12．(2020·江西上饶模拟)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是　∃x0∈R，|x0|＋x<0　.

[解析]　因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．

13．(2020·湖南常德一中模拟)条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是__(－∞，1)__．

[解析]　p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q但qp，也就是说，p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a<1.

14．(2020·衡水金卷A信息卷(五)，14)命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则m<sinx(x∈R)恒成立．若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是__[0,1)__．

[解析]　命题p的逆命题是若x>a，则x>0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1)．

四、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}，a∈R.

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围；

(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

[解析]　A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，

B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)当a＝0时，B＝∅，不符合题意，

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要满足题设条件，

则解得≤a≤2.

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，要满足题设条件，

则无解．

综上可知：≤a≤2.

(2)要满足A∩B＝∅.

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，则a≥4或3a≤2，

即0<a≤或a≥4，

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，则a≤2或3a≥4，

即a<0，

当a＝0时，B＝∅，满足题意．

综上可知：a≤或a≥4.

16．(本小题满分15分)设命题p：方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：函数f(x)＝x3＋x2＋9x无极值．

(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)由得4<a<6，

∴实数a的取值范围为(4,6)．

(2)由题意知p，q一真一假，q为真时，

则f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0恒成立，

∴Δ＝9(3－a)2－36≤0得1≤a≤5，

若p真q假，5<a<6；若q真p假，1≤a≤4.

综上，实数a的取值范围是[1,4]∪(5,6)．