（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（14）第二章函数、导数及其应用第十一讲导数的概念及运算（含解析）

 [练案14]第十一讲　导数的概念及运算

A组基础巩固

一、单选题

1．已知函数f(x)＝cosx，则f(π)＋f′()＝(　C　)

A．－　 B．－　

C．－　 D．－

[解析]　f(π)＝，f′(x)＝，f′()＝－，∴f(π)＋f′()＝－.故选C.

2．(2020·江西上高二中月考)函数f(x)＝的导函数为(　B　)

A．f′(x)＝2e2x　　 B．f′(x)＝

C．f′(x)＝　　 D．f′(x)＝

[解析]　f′(x)＝＝＝.故选B.

3．(2020·福建福州八县联考，11)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　B　)

A．－e　 B．2　

C．－2　 D．e

[解析]　由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.

4．(2020·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋是奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为(　B　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　由函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，则f(x)＝x＋，f′(x)＝1－，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为，故选B.

5．(2020·湖北黄冈模拟，4)已知直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，则实数m的值为(　B　)

A．－　 B．－e　

C．　 D．e

[解析]　设切点坐标为(n，)，对y＝xex求导得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，则有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此时有＝nen＝－，∴m＝－e.故选B.

6．(2020·湖南娄底二模，5)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－，则函数图象在x＝－1处的切线方程是(　A　)

A．2x－y＋1＝0　　 B．x－2y＋2＝0

C．2x－y－1＝0　　 D．x＋2y－2＝0

[解析]　当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－，∴f(x)＝(x<0)，又f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.故选A.

7．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　B　)

A．－1　 B．0　

C．2　 D．4

[解析]　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－)＝0.

二、多选题

8．(2020·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是(　ACD　)

A．(x＋)′＝1＋

B．(log2x)′＝

C．(3x)′＝3x·log3e

D．(x2cos x)′＝－2xsin x

[解析]　因为(x＋)′＝1－，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln 3，所以选项C不正确；因为(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以选项D不正确．故选A、C、D.

9．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角α的值可能为(　CD　)

A．　　 B．

C.　　 D．

[解析]　依题意得f′(x)≥，即曲线y＝f(x)在任意一点处的切线斜率不小于，故其倾斜角为不小于的锐角，故选C、D.

10．(2020·山东模拟改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　BCD　)

A．y＝sin x　　 B．y＝ln x

C．y＝ex　　 D．y＝x3

[解析]　设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f(x)＝sin x的导函数为f′(x)＝cos x，则f′(x1)·f′(x2)＝－1有无数组解，故函数y＝sin x具有T性质；y＝f(x)＝ln x的导函数为f′(x)＝，则f′(x1)·f′(x2)＝>0，故函数y＝ln x不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)·f′(x2)＝9xx≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选B、C、D.

三、填空题

11．(1)(2018·天津，10)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__e__；

(2)(2020·长春模拟)若函数f(x)＝，则f′(2)＝　　；

(3)函数y＝x·tanx的导数为y′＝　tanx＋　.

[解析]　(1)本题主要考查导数的计算．

∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝ex(lnx＋)，

∴f′(1)＝e1×(ln1＋1)＝e.

(2)由f′(x)＝，得f′(2)＝.

(3)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′

＝tanx＋x·()′＝tanx＋x·

＝tanx＋.

12．(2020·广州调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切，则实数k的值为__1＋ln_2__.

[解析]　由y＝xln x得，y′＝ln x＋1.设直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切于点P(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(ln x0＋1)(x－x0)，又直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y0＝x0ln x0代入切线方程，得x0＝2，故P(2,2ln 2)．把(2,2ln 2)代入直线方程y＝kx－2，得k＝1＋ln 2.

13．(2020·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为　　.

[解析]　因为定义域为(0，＋∞)，由y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.

B组能力提升

1．(2020·湖南长沙长郡中学模拟)等比数列{an}中，a2＝2，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)，则f′(0)＝(　B　)

A．8　 B．－8　

C．4　 D．－4

[解析]　f′(x)＝(x－a1)(x－a2)(x－a3)＋x[(x－a1)(x－a2)(x－a3)]′，∴f′(0)＝－a1a2a3＝－a＝－8.

2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　D　)

[解析]　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.

3．(2020·山西太原模拟)已知函数f(x)＝xln x＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a的值为(　A　)

A．1　 B．0　

C．　 D．－1

[解析]　∵f(x)＝xln x＋a，∴f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程为y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得a＝1.故选A.

4．(2020·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　C　)

A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)

C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)

[解析]　设f′(3)，f(3)－f(2)＝，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选C.

5．已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 014)＋f(－2 014)＋f′(2 015)－f′(－2 015)＝(　D　)

A．0　 B．2 014　

C．2 015　 D．8

[解析]　因为f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，所以f′(x)＝acosx＋3bx2，则f(x)－4＝asinx＋bx3是奇函数，且f′(x)＝acosx＋3bx2为偶函数，所以f(2 014)＋f(－2 014)＋f′(2 015)－f′(－2 015)＝[f(2 014)－4]＋[f(－2 014)－4]＋8＝8.