（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（10）第二章函数、导数及其应用第七讲对数与对数函数（含解析）

 [练案10]第七讲　对数与对数函数

A组基础巩固

一、单选题

1．计算：(lg －lg 25)÷100－＝(　D　)

A．1　 B．　

C．－10　 D．－20

[解析]　原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg()×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.故选D.

2．函数y＝的定义域是(　C　)

A．(－∞，2)　　 B．(2，＋∞)

C．(2,3)∪(3，＋∞)　　 D．(2,4)∪(4，＋∞)

[解析]　因为所以x>2且x≠3.

3．(2020·河南郑州模拟)函数y＝3＋loga(2x＋3)的图象必经过定点的坐标为(　A　)

A．(－1,3)　 B．(－1,4)　

C．(0,3)　 D．(2,2)

[解析]　因为当x＝－1时，y＝3＋0＝3，所以该函数的图象必经过定点(－1,3)，故选A.

4．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　D　)

A．(0，＋∞)　　 B．(－∞，0)

C．(2，＋∞)　　 D．(－∞，－2)

[解析]　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.

5．(2020·浙江金华模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)＝(　D　)

A．2　 B．－2　

C．　 D．－

[解析]　f(－a)＝lg＝lg()－1＝－f(a)＝－，故选D.

6．(2020·河南洛阳尖子生联考)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　D　)

A．c>b>a　　 B．b>c>a

C．a>c>b　　 D．a>b>c

[解析]　由已知可得a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72,0<log23<log25<log27⇒log32>log52>log72⇒log32＋1>log52＋1>log72＋1⇒a>b>c.

二、多选题

7．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a>0，且a≠1)的图象不可能是(　ABC　)

[解析]　解法一：若0<a<1，则函数y＝是增函数，y＝loga(x＋)是减函数且其图象过点(，0)，结合选项可知，选项D可能成立；若a>1，则y＝是减函数，而y＝loga(x＋)是增函数且其图象过点(，0)，结合选项可知，没有符合的图象．故选A、B、C.

解法二：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知D正确，故选A、B、C.

8．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围可以是(　AD　)

A．(－1,0)　　 B．(0,1)

C．(－∞，－1)　　 D．(1，＋∞)

[解析]　当a>0时，f(a)>f(－a)，即log2a>loga，

解得：a>1，

当a<0时，f(a)>f(－a)即log (－a)>log2(－a)，

解得：－1<a<0，

综上，a∈(－1,0)∪(1，＋∞)，故选A、D.

三、填空题

9．(2020·河南信阳质量检测)若a＝(a>0)，则loga＝__4__.

[解析]　∵a＝＝()3(a>0)，∴a＝，

∴a＝()4，∴loga＝4.

10．(2020·云南玉溪模拟)f(x)＝(loga)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是　<a<1　.

[解析]　∵f(x)＝(loga)x在R上为减函数，

∴0<loga<1，即log1<loga<log.∴<a<1.

11．若函数f(x)＝(a>0，a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是__(1,2]__.

[解析]　当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以解1<a≤2.所以实数a的取值范围为(1,2]．故填(1,2]．

12．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝__－2__.

[解析]　由题意得f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，f(－a)＝－2.故填－2.

四、解答题

13．(2020·天津一中月考)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．

[解析]　(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，

∴a＝2.

由得x∈(－1,3)，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数，

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.

14．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；

(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；

(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．

[解析]　(1)由f(x)的定义域为R，

知x2－2ax＋3>0的解集为R，

则Δ＝4a2－12<0，解得－<a<.

所以a的取值范围为(－，)．

(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－或a≥.

所以实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．

(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，

知u(x)＝x2－2ax＋3>0对x∈[－1，＋∞)恒成立，

因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，

所以当a<－1时，u(x)min＝u(－1)>0，

即解得－2<a<－1；

当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2>0，即－<a<，所以－1≤a<.

综上可知，a的取值范围为(－2，)．

(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，

又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，

则有u(x)min＝3－a2＝2，

解得a＝±1.

B组能力提升

1．(多选题)(2020·山东烟台模拟)已知loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围可以是(　AD　)

A．(0，)　　 B．(，＋∞)

C．(，1)　　 D．(1，＋∞)

[解析]　∵loga<1＝logaa，故当0<a<1时，y＝logax为减函数，0<a<；当a>1时，y＝logax<0，∴a>1，综上知A、D正确．

2．(2020·河北省定州市高三上学期期中考试)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)为(　A　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　当x＋3＝1时，y＝－1，所以A(－2，－1)；当x＝－2时，－1＝3－2＋b，∴b＝－，∴f(log32)＝3log32－＝，故选A.

3．(2020·甘肃会宁模拟)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，则f(x)的最大值为(　C　)

A．10　 B．11　

C．12　 D．13

[解析]　设t＝log2x，∵≤x≤4，∴－2≤t≤2，∴f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，令g(t)＝(t＋)2－，－2≤t≤2，∴当t＝2，即x＝4时，g(t)取得最大值g(2)＝12，即f(x)的最大值为12，故选C.

4．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，()b＝logb，()c＝log2c，则(　A　)

A．a<b<c　 B．c<b<a　

C．c<a<b　 D．b<a<c

[解析]　

a，b，c均为正数，将a，b，c分别看成是函数图象的交点的横坐标．

分别画y＝2x，y＝()x，y＝log2x，y＝logx图象如图．

由图形可知：a<b<c.故选A.

5．(2020·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)若方程f(x)＝m有解，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，

所以log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，

即log4＝－4kx，所以log44x＝－4kx，

所以x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0对一切x∈R恒成立，

所以k＝－.

(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4(2x＋)，

因为2x＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，

所以m≥log42＝.故要使方程f(x)＝m有解，实数m的取值范围为[，＋∞)．