（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（15）第二章函数、导数及其应用第十二讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性（含解析）

 [练案15]第十二讲　导数在研究函数中的应用

第一课时　导数与函数的单调性

A组基础巩固

一、单选题

1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　D　)

A．(－∞，2)　　 B．(0,3)

C．(1,4)　　 D．(2，＋∞)

[解析]　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.故选D.

2．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　D　)

A．在(0，＋∞)上单调递增

B．在(0，＋∞)上单调递减

C．在(0，)上单调递增

D．在(0，)上单调递减

[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)．当f′(x)>0时，解得x>，即函数的单调递增区间为(，＋∞)；当f′(x)<0时，解得0<x<，即函数的单调递减区间为(0，)．故选D.

3．已知函数f(x)＝，则(　D　)

A．f(e)>f(2)>f(3)　　 B．f(3)>f(e)>f(2)

C．f(3)>f(2)>f(e)　　 D．f(e)>f(3)>f(2)

[解析]　f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，所以f(3)＝＝，所以f(e)>f(3)>f(2)．故选D.

4．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　A　)

A．(1,2]　　 B．[4，＋∞)

C．(－∞，2]　　 D．(0,3]

[解析]　f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3，即函数f(x)的单调递减区间是(0,3]，所以0<a－1<a＋1≤3，解得1<a≤2.故选A.

5.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为(　A　)

A．(－3，－2)∪(2,3)

B．(－，)

C．(2,3)

D．(－∞，－)∪(，＋∞)

[解析]　由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以f(x2－6)>1可化为－2<x2－6<3，所以2<x<3或－3<x<－2.故选A.

6．(2020·河南许昌、平顶山期中)已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是(　A　)

A．f(－3)<f(4)<f(－5)　　 B．f(4)<f(－3)>f(－5)

C．f(－5)<f(－3)<f(4)　　 D．f(4)<f(－5)<f(－3)

[解析]　x∈(－∞，0)时，xf′(x)>0即f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，又f(x)为偶函数，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∴f(3)<f(4)<f(5)，∴f(－3)<f(4)<f(－5)，故选A.

二、多选题

7．(2020·青岛市高中毕业班模拟)已知当m，n∈[－1,1]时，sin －sin <n3－m3，则以下判断正确的是(　BC　)

A．m>n　　 B．m3<n3

C．m<n　　 D．m与n的大小关系不确定

[解析]　由题意，设f(x)＝x3＋sin ，

则f′(x)＝3x2＋cos ，

当x∈[－1,1]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

又由m3＋sin <n3＋sin ，

所以f(m)<f(n)，即m<n，故选B、C.

8．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不可能是(　ABD　)

[解析]　根据题意f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项C满足题意．故选A、B、D.

三、填空题

9．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＋c＝__－12__.

[解析]　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，所以－1,3是f′(x)＝0的两个根，所以b＝－3，c＝－9，所以b＋c＝－12.

10．函数f(x)＝的单调递减区间是__(0,1)和(1，e)__.

[解析]　f′(x)＝<0得，解得0<x<1或1<x<e.

∴f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e)．

11．已知函数f(x)＝x2(x－a)．

(1)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是　(3，)　；

(2)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是　(－∞，3]∪[，＋∞)　.

[解析]　(1)由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3x(x－)．若f(x)在(2,3)上不单调，则有可得3<a<.取补集可得(2)结果．

四、解答题

12．(2020·山东枣庄调研)已知函数f(x)＝xex－(x2＋x)a(a∈R)．

(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程；

(2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间．

[解析]　(1)a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，

所以切线的斜率是k＝f′(1)＝2e.

又f(1)＝e，所以y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.

(2)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝ln a.

①当a＝时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．

②当0<a<时，ln a<－1，由f′(x)>0，得x<ln a或x>－1，由f′(x)<0，得ln a<x<－1.

所以单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)．

③当a>时，ln a>－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>ln a，由f′(x)<0，得－1<x<ln a.

所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．

综上所述，当a＝时，f(x)在R上单调递增；

当0<a<时，单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)；

当a>时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．

13．(2020·四川成都诊断)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；

(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝－ax－2.

由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，知当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．

设G(x)＝－，则只要a>G(x)min即可，

而G(x)＝(－1)2－1，所以G(x)min＝－1，所以a>－1.

(2)由h(x)在[1,4]上单调递减，得当x∈[1,4]时，

h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立，

设G(x)＝－，则a≥G(x)max，而G(x)＝(－1)2－1，又x∈[1,4]，所以∈[，1]，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.

B组能力提升

1．(2020·河北九校第二次联考)函数f(x)＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　B　)

A．(－3,1)　　 B．(0,1)

C．(－1,3)　　 D．(0,3)

[解析]　解法一：令f′(x)＝1－＋<0，得0<x<1，故所求函数的单调递减区间为(0,1)．故选B.

解法二：由题意知x>0，故排除A，C选项；又f(1)＝4<f(2)＝＋2ln 2，故排除D选项．故选B.

2.函数f(x)＝(x3＋bx2＋cx)＋d的图象如图，则函数y＝log2(x2＋bx＋)的单调递减区间为(　D　)

A．[，＋∞)　　 B．[3，＋∞)

C．(－∞，]　　 D．(－∞，－2)

[解析]　f′(x)＝(3x2＋2bx＋c)，由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0，所以解得令g(x)＝x2＋bx＋，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1.由g(x)>0，解得x<－2或x>3.当g′(x)<0时，x<，所以g(x)的单调递减区间为(－∞，－2)．所以函数y＝log2(x2＋bx＋)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选D.

3．(2020·武汉模拟)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则(　C　)

A．a<b<c　 B．c<b<a　

C．c<a<b　 D．b<c<a

[解析]　依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此有f(－1)<f(0)<f()，即有f(3)<f(0)<f()，c<a<b.故选C.

4．(2020·河北省武邑中学高三上学期第三次调研考试)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3的解集为(　B　)

A．(0，＋∞)　　 B．(－∞，0)∪(3，＋∞)

C．(－∞，0)∪(0，＋∞)　　 D．(3，＋∞)

[解析]　令g(x)＝exf(x)－ex，∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex(f(x)＋f′(x)－1)>0，g(0)＝f(0)－1＝3，而exf(x)>ex＋3，即为exf(x)－ex>e0f(0)－e0等价于g(x)>g(0)，∴x>0，选A.

5．(2020·江西上饶联考)已知函数f(x)＝aln x＋x2＋(a＋1)x＋1.

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x2＋1(x>0)，

则f′(x)＝－＋x＝，由

解得x>1.所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．

(2)因为f(x)＝aln x＋x2＋(a＋1)x＋1，

所以f′(x)＝＋x＋a＋1＝＝，

又函数f(x)＝aln x＋x2＋(a＋1)x＋1在(0，＋∞)上单调递增，

所以f′(x)≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，

即x＋a≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，

所以a≥0.

故实数a的取值范围是[0，＋∞)．