（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（12）第二章函数、导数及其应用第九讲函数与方程（含解析）

 [练案12]第九讲　函数与方程

A组基础巩固

一、单选题

1．设函数f(x)＝3x＋x，则函数f(x)存在零点的区间是(　C　)

A．(0,1)　　 B．(1,2)

C．(－1,0)　　 D．(－2，－1)

[解析]　函数f(x)为增函数，因为f(－1)＝3－1－1＝－，f(0)＝1＋0＝1，所以函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C.

2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(　C　)

A．至多有一个　　 B．有一个或两个

C．有且仅有一个　　 D．—个也没有

[解析]　因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.

3．(2020·山东青岛模拟)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(　C　)

A．f(x0)＝0　　 B．f(x0)>0

C．f(x0)<0　　 D．f(x0)≤0

[解析]　在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象，由图象可知，当0<x0<a时，有2x0<logx0，即f(x0)<0.

4．(2020·湖南永州模拟)若函数f(x)＝2|x|－k存在零点，则k的取值范围是(　D　)

A．(－∞，0)　　 B．[0，＋∞)

C．(－∞，1)　　 D．[1，＋∞)

[解析]　由函数f(x)＝2|x|－k存在零点，得2|x|＝k有解，作出函数y＝2|x|的图象如图所示，则由图象可知，要使函数f(x)＝2|x|－k存在零点，只需y＝2|x|与y＝k的图象有交点，则k≥1，故选D.

5．函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　C　)

A．4　 B．5　

C．6　 D．7

[解析]　由f(x)＝xcos x2＝0，得x＝0或cos x2＝0.又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]．由于cos(＋kπ)＝0(k∈Z)，而在＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有，，，，满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.故选C.

6．(2020·广西宜州联考)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　B　)

A．5　 B．4　

C．3　 D．2

[解析]　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.

7．(2020·安徽六安一中模拟)若函数f(x)＝|logax|－3－x(a>0，a≠1)的两个零点是m，n，则(　C　)

A．mn＝1　　 B．mn>1

C．mn<1　　 D．mn>

[解析]　令f(x)＝0，得|logax|＝3－x，易知y＝|logax|与y＝3－x的图象有2个交点．不妨设m<n，a>1，作出两个函数的图象，如图所示，∴3－m>3－n，即－logam>logan，∴logam＋logan<0，即loga(mn)<0，∴mn<1.故选C.

二、多选题

8．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递减的是(　AD　)

A．y＝log(x＋1)　　 B．y＝2x－1

C．y＝x2－　　 D．y＝－x3

[解析]　函数y＝log(x＋1)在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0，y＝x2－在(－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0.对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选A、D.

9．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点可以是(　AC　)

A．0　 B．　

C．－　 D．2

[解析]　2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－，故选A、C.

10．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是(　AD　)

A．f(x)＝(2x－1)2　　 B．f(x)＝ex－1

C．f(x)＝ln(x－)2　　 D．f(x)＝4x－1

[解析]　选项A，x1＝；选项B，x1＝0；选项C，x1＝或－；选项D，x1＝.因为g(1)＝4＋2－2>0，g()＝2＋1－2>0，g()＝＋－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈(，)．选项中，x1＝和x1＝时，满足|x1－x2|≤0.25.故选A、D.

三、填空题

11．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为　－　.

[解析]　由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.

12．(2020·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝__2__.

[解析]　因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.

13．(2020·江苏淮安联考)函数f(x)对一切实数x都满足f(＋x)＝f(－x)，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为　　.

[解析]　因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个根是，另外两个根的和为1，故方程f(x)＝0的三个实根的和为.

14．(2020·广东阳江调研)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是__(－1,0)__.

[解析]　关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．

B组能力提升

1．y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，相应的x值与y的值如下表：

则y＝f(x)在区间(1,6)上零点个数为(　D　)

A．3个　　 B．奇数

C．偶数　　 D．至少3个

[解析]　由表可知，在(1,2)，(3,4)，(5,6)三个区间内，y＝f(x)各至少有一个零点，故在(1,6)内至少有3个零点．

2．(2020·安徽宣城第二次调研测试)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2019＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　A　)

A．a>c>d>b　　 B．a>d>c>b

C．c>d>a>b　　 D．c>a>b>d

[解析]　

由题意设g(x)＝(x－a)·(x－b)，则f(x)＝2 019＋g(x)，所以g(x)＝0的两个根是a，b，由题意知f(x)＝0的两根c，d就是g(x)＝－2 019的两根，画出g(x)(开口向上)以及直线y＝－2 019的大致图象，如图所示，则g(x)的图象与直线y＝－2 019的交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b.又a>b，c>d，且c，d在区间(b，a)内，所以由图得，a>c>d>b，故选A.

3．(2020·河南郑州质检)已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　C　)

A．1　 B．2　

C．3　 D．4

[解析]　如图，作出g(x)＝()x与h＝cosx的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.

4．(多选题)(2020·河南新乡模拟改编)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为(　BD　)

A．－　 B．－2　

C．4　 D．5

[解析]　g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.故选B、D.

5．(2020·天津部分区质量调查)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数根a，b，c，则a＋b＋c的取值范围是(　D　)

A．(，1)　　 B．(，1)

C．(，2)　　 D．(，2)

[解析]　假设a<b<c，通过作图可得a∈(－，0)，b＋c＝2，所以a＋b＋c∈(，2)，故选D.