（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（13）第二章函数、导数及其应用第十讲函数模型及其应用（含解析）

 [练案13]　　第十讲　函数模型及其应用

A组基础巩固

一、单选择

1．现有一组数据如下：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　C　)

A．v＝log2t　　 B．v＝logt

C．v＝　　 D．v＝2t－2

[解析]　解法一：v值随t值增大，且增长速度越来越快，故应选择幂函数模型，仅选项C符合．

解法二：取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝log2＝－1≠1.5；代入C，得v＝＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.其余4组数据同样代入可知C最合要求．故选C.

2．(2020·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　C　)

A．7　 B．8　

C．9　 D．10

[解析]　由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6(k－9)2＋864(1≤k≤10，k∈N)，所以当k＝9时，获得利润最大，故选C.

3．(2020·安徽马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈ 0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　B　)

A．2020年　 B．2021年　

C．2022年　 D．2023年

[解析]　若2018年是第一年，则第n年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B.

4．(2020·河南豫南豫北第二次联考)古代数学名著《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿垣的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？”意思是：有面厚五尺的墙壁，大、小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打1尺，以后每天的速度是前一天的一半．它们多久可以相遇？(　A　)

A．天　 B．天　

C．天　 D．天

[解析]　由于前两天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打(1＋)尺，因此前两天两只老鼠共打3＋1.5＝4.5(尺)．

第三天，大鼠打4尺，小鼠打尺，因此两只老鼠第三天相遇．

设第三天相遇时，大鼠打y尺，小鼠打(0.5－y)尺，

则＝，所以y＝，因为第三天大鼠的速度是4尺/天，所以第三天进行了＝(天)，所以它们经过2＋＝天可以相遇．故选A.

5．(2020·江西南昌二轮复习测试)某地一电商2016年和2017年这两年“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a,2017年的增长率为b，则该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为(　D　)

A．　　 B．

C.　　 D．－1

[解析]　设该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为x，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，∴x＝－1，故选D.

6．(2020·云南保山联考)某种新药服用x h后，血液中的药物残留量为y毫克，如图，为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟应在当日(　C　)

A．上午10：00

B．中午12：00

C．下午4：00

D．下午6：00

[解析]　当x∈[0,4]时，设y＝k1x，

把(4,320)代入，得320＝4k1，解得k1＝80，所以y＝80x.

当x∈(4,20]时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)分别代入可得，解得所以y＝400－20x.

所以y＝f(x)＝

令f(x)＝240，得x＝3或x＝8.

故第二次服药最迟应在当日下午4：00.

二、多选题

7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则要洗的次数是(　CD　)

A．2　 B．3　

C．4　 D．5

[解析]　设至少要洗x次，则(1－)x≤，所以≤，4x≥100，因此至少洗4次，故选C、D.

8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙，如图所示，那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中不一定正确的是(　BCD　)

A．在t1时刻，甲车在乙车前面

B．t1时刻后，甲车在乙车后面

C．在t0时刻，两车的位置相同

D．t0时刻后，乙车在甲车前面

[解析]　由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大，则在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面．故选B、C、D.

三、填空题

9．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射出时，t秒后的高度为x米，可由x＝at－5t2确定，已知射箭2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为__180米__.

[解析]　由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60，所以x＝60t－5t2，而x＝60t－5t2＝－5(t－6)2＋180，则当t＝6时，x的最大值为180米，即弓箭能达到的最大高度为180米．

10．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙最为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过__16__min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

[解析]　当t＝8时，y＝ae－8b＝a，

所以e－8b＝.

容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24.

所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．

11．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．小明和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为546.6元．

[解析]　依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为

f(x)＝

当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；

当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.

所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，

又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．

四、解答题

12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．

(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．

[解析]　(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，

则y＝400＋60t－120，

令＝x，则x2＝6t，即t＝，

所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(构建二次函数)

所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，

即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．

(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，

解得4<x<8，即4<<8，<t<.

因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．

13．(2020·山东三校联考，21)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：W(x)＝其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位：元)．

(1)求f(x)的函数关系式；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该珍稀水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

[解析]　(1)由已知得f(x)＝15W(x)－20x－10x＝15W(x)－30x＝

＝

(2)由(1)得f(x)＝

＝

当0≤x≤2时，f(x)max＝f(2)＝390；

当2<x≤5时，f(x)＝780－30[＋(1＋x)]≤780－30×2＝480，

当且仅当＝1＋x，即x＝4时等号成立．

因为390<480，所以当x＝4时，f(x)max＝480.

答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树的单株利润最大，最大利润是480元．

B组能力提升

1．(2020·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型的家庭标准如表：

张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%，张先生家在2019年购买食品和2018年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于(　D　)

A．贫困　 B．温饱　

C．小康　 D．富裕

[解析]　设2018年人均食品支出x元，则2019年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x,2019年人均消费支出2×92.5%x＋475，由题意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，∴x＝500.此时，n＝≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕．

2．(2020·山西朔州一中期末)设某公司有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(均正常数)，公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产、分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年人创造产值在原有基础上增长了1.2x%，若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　B　)

A．15　 B．16　

C．17　 D．18

[解析]　依题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，

则，解得0<x≤，

又因为x∈N*，所以x的最大值为16，故选B.

3．(2020·湖北省七市高三联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为__10__小时．

[解析]　前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0(0.9)t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝(0.9)t，解得t＝10，即需要花费10小时．

4．(2020·皖中名校第二次联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制订一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金总数不超过9万元，同时资金总数不超过收益的20%.

(1)若建立奖励方案的函数模型为y＝f(x)，试研究这个函数的定义域、值域和的取值范围；

(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．

[解析]　(1)y＝f(x)的定义域是[10,1 000]，值域是(0,9]，∈(0,0.2]．

(2)①不符合要求，②符合要求，理由如下．

当y＝＋2时，＝＋的最大值是>0.2，不符合要求．

当y＝4lg x－3时，该函数在定义域上为增函数，最大值为9.

≤0.2⇔y－0.2x≤0.令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10,1 000]，则g′(x)＝<0.

所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．