初二数学上册秋季班培优讲义 第5讲 截长补短
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截长补短
1．截长补短指的是两种方法：截长法和补短法．
（1）截长法：在**上，截取**＝**，连接**；
（2）补短法：延长**到*，使**＝**，连接**．
2．目的：实现三条线段或者多条线段的关系到两条线段的关系转化，而全等是处理两条线段关系的重要手段．
3．适用：这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
若题目条件或求证结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”．
如图，在中，，于D，求证：．
【解析】解法一：（截长）在CD上截取，连接AE，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴，∴，
∴．
解法二：（补短）延长CB到F，使，连接AF，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【教师备课提示】这道题主要告诉孩子们，截长补短指的是两种方法，通过这道题给孩子们讲解截长补短的做法和证明过程．当出现线段的和差倍分时，要能马上想到截长补短．
如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD上的点，且．求证：．
【解析】延长CB到点E，使，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴，，
∴，∴，，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴．
【教师备课提示】例2——例5主要是想告诉学生们，当题目中出现线段的和差倍分时，要选用截长补短的方法，但是不一定两种方法都可以，要尝试，一般用补短的方法要多些．
如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：．
【解析】延长AC到E点，使，连接DE，由题意可知，，，，，
，，
，，
，，，
，．
如图，ABCD是正方形，．求证：．
【解析】延长CB至M，使得，连接AM．
，，，，
，，，
，，
，．
已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，．
求证：．
【解析】延长FD到G，使，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，∴，，
∴，∵，
∴，∴，
∴．
五边形ABCDE中，，，．求证：AD平分．
【解析】延长DE至F，使得，连接AC，AF．
∵，，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，即AD平分．
【教师备课提示】这道题和前面不同的是，在条件中出现了线段的和差倍分关系，方法都是一样的——截长补短．
（金牛区期末统考改编）如图，已知两个全等的等腰直角、，其中，E为AB中点，可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N，连结MN、CE．
（1）如图7-1，当M、N分别在线段CA、CB（不包括端点）上，求证：．
（2）如图7-2，当M在线段AC上，N在BC的延长线上，请探究AM，MN，CN之间的数量关系，并说明理由．
图7-1 图7-2
【解析】（1），理由如下：
在AM上截取，连接EH，
、均是等腰直角三角形，E为AB中点，
，，
在与中：
，
，
在与中
，
（2），理由如下：
在CB上截取，连接EH，
在和中，
，
，
，，
，，
在和中
，，．
【教师备课提示】例7主要让孩子们加深对旋转的理解，并初步接触探究综合题．
（1）如图1-1，中，，于D，且，则_
_________．
（2）如图1-2，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别是边BC、CD上的点，连接PQ．若的周长是2，则___________．
图1-1 图1-2
【解析】（1）；（2）．
如图，是等边三角形，．求证：．
【解析】法一：延长AD到E，使得，
∵，∴，
∴是等边三角形，∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中
∴，
∴．
法二：延长DA到E，使，
∵是正三角形
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，，
∴，
∴是等边三角形
∴．
如图，已知，，且，求．
【解析】如图，延长BA到点F，使，
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（14—15年西川半期）如图4-1，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交边AB、AC于M、N两点，连接MN，完成下列各题：
（1）如图4-1，若MN与BC不平行，求证：；
（2）若点M、N分别是边AB、CA延长线上的点，其他条件不变，请在图4-2中画出图形，并再探究线段BM、MN、NC之间的数量关系，并加以证明．
图4-1 图4-2
【解析】（1）在和中
∴，，，
，，
，
在和中
，，.
（2）（图略）在CA上截取CG，使，
在和中
，∴，，
∴，
在和中
，，．
