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2019-2020学年广西玉林市玉州区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年广西玉林市玉州区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）下列四个点中，在函数y＝3x的图象上的是（ ）
A．（﹣1，3） B．（3，﹣1） C．（1，3） D．（3，1）
2．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，则它的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
3．（3分）如果某函数的图象如图所示，那么y随x的增大而（ ）
A．增大 B．减小
C．不变 D．有时增大有时减小
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）对于的理解错误的是（ ）
A．是实数 B．是最简二次根式
C． D．能与进行合并
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．（3分）如图，描述了安佶同学某日造成的一段生活过程：他早上从家里跑步去书店，在书店买了一本书后：马上就去早餐店吃早餐，吃完早餐后，立即散步走回家．图象中的平面直角坐标系中的x表示时间，y表示安佶离家的距离．请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是（ ）
A．安佶从家到新华书店的平均速度是10千米/分钟
B．安佶买书花了15分钟
C．安佶吃早餐花了20分钟
D．从早餐店到安佶家的1.5千米
8．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
9．（3分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
10．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
11．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
12．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（10，0），OB＝8，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡的横线上．
13．（3分）计算：＝ ．
14．（3分）将直线y＝2x+1向上平移3个单位后得到的解析式为 ．
15．（3分）小明用S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝ ．
16．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是 ．
17．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 ．
18．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB'，以C，E，B'为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 cm．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
20．（6分）已知一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，0）．
（1）求该函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）若点P （3，n）在该函数图象的下方，求n的取值范围．
21．（8分）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米．
（1）若拉索AB⊥AC，求固定点B、C之间的距离；
（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．
22．（8分）上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离y（千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求直线AB所对应的函数关系式；
（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？
23．（9分）为了推动我区教育教学发展，加快教师的成长，在某次研讨课活动中，为了分析某节复习课的教学效果，课前，陈老师让1801班每位同学做6道类似题目（与这节课内容相关），解题情况如图所示：课后，再让学生做6道类似的题目．结果如表所示．已知每位学生至少答对1题．
课后解题情况统计表
答对题数
频数（人）
1
2
2
3
3
3
4
a
5
9
6
13
合计
b
（1）根据图表信息填空：a＝ ；b＝ ．
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 ；课后答对题数的中位数是 ．
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节复习课的教学效果．
24．（9分）随着新冠病毒在全世界蔓延，疫情期间口罩成为紧缺物资，某市防控部门要求市民佩戴口罩出行，某药店购进甲种可有效预防新冠病毒的N95型口罩和乙种普通口罩共400个，这两种口罩的进价和售价如表所示：
甲
乙
进价（元/个）
18
6
售价（元/个）
22
9
该药店计划购进乙种普通口罩x个，两种口罩全部销售完后可获利润y元．
（1）求出利润y与x的函数关系式；
（2）已知购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，利用函数性质，说明该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大？并求出最大利润．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
26．（10分）如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y轴、x轴分别交于点D、F．
（1）求线段OE的长；
（2）求点F的坐标；
（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点P的坐标；否则，说明理由．
2019-2020学年广西玉林市玉州区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）下列四个点中，在函数y＝3x的图象上的是（ ）
A．（﹣1，3） B．（3，﹣1） C．（1，3） D．（3，1）
【分析】分别把各点坐标代入一次函数的解析式进行检验即可．
【解答】解：A、∵当x＝﹣1时，3x＝﹣3≠3，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵当x＝3时，3x＝9≠﹣1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵当x＝1时，3x＝3，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
D、∵当x＝3时，3x＝9≠1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：C．
2．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，则它的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD＝5，BC＝AD＝3，进而可得周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝3，
∴它的周长为：5×2+3×2＝16，
故选：D．
3．（3分）如果某函数的图象如图所示，那么y随x的增大而（ ）
A．增大 B．减小
C．不变 D．有时增大有时减小
【分析】根据函数图象可以得到y随x的增大如何变化，本题得以解决．
【解答】解：由函数图象可得，
y随x的增大而增大，
故选：A．
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
【解答】解：A.，正确；
B.，正确；
C.，不是同类二次根式，不能合并，故错误；
D．，正确．
故选：C．
5．（3分）对于的理解错误的是（ ）
A．是实数 B．是最简二次根式
C． D．能与进行合并
【分析】根据实数的定义，最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：＝3，而3与不是同类二次根式，
故不能合并，
故选：D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（3，﹣m），然后再把B点坐标代入y＝﹣x+1可得m的值．
【解答】解：∵点A（3，m），
∴点A关于x轴的对称点B（3，﹣m），
∵B在直线y＝﹣x+1上，
∴﹣m＝﹣3+1＝﹣2，
∴m＝2，
故选：C．
7．（3分）如图，描述了安佶同学某日造成的一段生活过程：他早上从家里跑步去书店，在书店买了一本书后：马上就去早餐店吃早餐，吃完早餐后，立即散步走回家．图象中的平面直角坐标系中的x表示时间，y表示安佶离家的距离．请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是（ ）
A．安佶从家到新华书店的平均速度是10千米/分钟
B．安佶买书花了15分钟
C．安佶吃早餐花了20分钟
D．从早餐店到安佶家的1.5千米
【分析】结合图象得出安佶同学从家里去书店，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为安佶家到新华书店的距离；进而得出跑步的时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，早餐店到安佶家1.5千米，安佶买书花了15分钟，安佶吃早餐花了20分钟，安佶家到新华书店2.5千米；平均速度＝总路程÷总时间．
【解答】解：A、安佶从家到新华书店的平均速度是2.5÷15＝千米/分钟，故A选项错误；
B、由图象可得出安佶买书花了30﹣15＝15（分钟），故B选项正确；
C、由图象可得出安佶吃早餐花了65﹣45＝20（分钟），故C选项正确；
D、由函数图象可知，从早餐店到安佶家的1.5千米，故D选项正确．
故选：A．
8．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
9．（3分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
【分析】利用勾股定理求出三角形的三边长，即可判断．
【解答】解：由题意：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝5，
则在△ABC中，边长为无理数的边有2条．
故选：B．
10．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
11．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4，根据菱形的面积，即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
12．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（10，0），OB＝8，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝4，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD＝PA+PD＝DA，
∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG＝＝＝2，
∴AC＝4，
∵OA•BK＝•AC•OB，
∴BK＝16，AK＝＝6，
∴点B坐标（16，8），
∴直线OB解析式为y＝x，直线AD解析式为y＝﹣x+1，
由解得，
∴点P坐标（，）．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡的横线上．
13．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】利用二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝4，
故答案为：4．
14．（3分）将直线y＝2x+1向上平移3个单位后得到的解析式为 y＝2x+4 ．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝2x+1上平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x+1+3，即y＝2x+4，
故答案为：y＝2x+4．
15．（3分）小明用S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝ 30 ．
【分析】根据计算方差的公式能够确定数据的个数和平均数，从而求得所有数据的和．
【解答】解：∵S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，
∴平均数为3，共10个数据，
∴x1+x2+x3+…+x10＝10×3＝30，
故答案为：30．
16．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是 x＝2 ．
【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b＝0的解．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．
故答案为x＝2．
17．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 3﹣ ．
【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】解：连接AB，AD，如图所示：
∵AD＝AB＝＝2，
∴DE＝＝，
∴CD＝3﹣．
故答案为：3﹣．
18．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB'，以C，E，B'为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 3或 cm．
【分析】分两种情况：①当∠B′EC＝90°时，根据翻折变换的性质求出∠AEB＝45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，从而求出BE＝AB；②当∠EB′C＝90°时，∠AB′E＝90°，判断出A、B′、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据翻折变换的性质可得AB′＝AB，BE＝B′E，然后求出B′C，设BE＝B′E＝x，表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：①∠B′EC＝90°时，如图1，∠BEB′＝90°，
由翻折的性质得∠AEB＝∠AEB′＝×90°＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝3cm；
②∠EB′C＝90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E＝∠B＝90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′＝AB，BE＝B′E，
由勾股定理得，AC＝＝＝5cm，
∴B′C＝5﹣3＝2cm，
设BE＝B′E＝x，则EC＝4﹣x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2＝EC2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即BE＝cm，
综上所述，BE的长为3或cm．
故答案为：3或．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质计算，然后化简后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+2﹣2
＝；
（2）原式＝（2）2﹣32
＝8﹣9
＝﹣1．
20．（6分）已知一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，0）．
（1）求该函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）若点P （3，n）在该函数图象的下方，求n的取值范围．
【分析】（1）代入可求k的值，进而确定函数关系式；利用列表、描点（两点法）、连线可作函数的图象；
（2）把点P（3，n）代入可求n的值，根据函数的增减性可作出判断．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象过点（﹣1，0）
∴0＝﹣k+2，
∴k＝2，
∴一次函数的解析式为：y＝2x+2．
列表、描点、连线得到函数y＝2x+2的图象，如图所示：
（2）对于y＝2x+2，当x＝3时，y＝8．
因为点P （3，n）在该函数图象的下方，
所以n＜8．
21．（8分）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米．
（1）若拉索AB⊥AC，求固定点B、C之间的距离；
（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB、AC长分别为13米、20米，
∴BC＝＝＝m，
答：固定点B、C之间的距离为m；
（2）∵BC＝21，
∴BD＝21﹣CD，
∵AD⊥BC，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴132﹣BD2＝202﹣（21﹣BD）2，
∴BD＝5，
∴AD＝＝＝12．
22．（8分）上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离y（千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求直线AB所对应的函数关系式；
（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？
【分析】（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，把（0，320）和（2，120）代入y＝kx+b即可得到结论；
（2）设直线CD所对应的函数关系式为y＝mx+n，把（2.5，120）和（3，80）代入y＝mx+n得得到直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣80x+320，当y＝0时，x＝4，于是得到结论．
【解答】解：（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，
把（0，320）和（2，120）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB所对应的函数关系式为：y＝﹣100x+320；
（2）设直线CD所对应的函数关系式为y＝mx+n，
把（2.5，120）和（3，80）代入y＝mx+n得：，
解得：，
∴直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣80x+320，
当y＝0时，x＝4，
∴小颖一家当天12点到达姥姥家．
23．（9分）为了推动我区教育教学发展，加快教师的成长，在某次研讨课活动中，为了分析某节复习课的教学效果，课前，陈老师让1801班每位同学做6道类似题目（与这节课内容相关），解题情况如图所示：课后，再让学生做6道类似的题目．结果如表所示．已知每位学生至少答对1题．
课后解题情况统计表
答对题数
频数（人）
1
2
2
3
3
3
4
a
5
9
6
13
合计
b
（1）根据图表信息填空：a＝ 10 ；b＝ 40 ．
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 3题 ；课后答对题数的中位数是 5题 ．
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节复习课的教学效果．
【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据可以求得b的值，从而可以求得a的值；
（2）根据频数分布直方图中的数据和频数分布表中的数据可以得到相应的众数和中位数；
（3）根据频数分布直方图中的数据和频数分布表中的数据可以计算出前后的平均数，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）b＝4+7+10+9+7+3＝40，
a＝40﹣2﹣3﹣3﹣9﹣13＝10，
故答案为：10，40；
（2）由频数分布直方图中的数据可知，该班课前解题时答对题数的众数是3题，
由频数分布表中的数据可知课后答对题数的中位数是5题，
故答案为：3题，5题；
（3）课前答对题数的平均数为×（1×4+2×7+3×10+4×9+5×7+6×3）＝3.425（题），
课后答对题数的平均数为×（1×2+2×3+3×3+4×10+5×9+6×13）＝4.5（题），
从答对题数的平均数知，这节复习课的教学效果明显．
24．（9分）随着新冠病毒在全世界蔓延，疫情期间口罩成为紧缺物资，某市防控部门要求市民佩戴口罩出行，某药店购进甲种可有效预防新冠病毒的N95型口罩和乙种普通口罩共400个，这两种口罩的进价和售价如表所示：
甲
乙
进价（元/个）
18
6
售价（元/个）
22
9
该药店计划购进乙种普通口罩x个，两种口罩全部销售完后可获利润y元．
（1）求出利润y与x的函数关系式；
（2）已知购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，利用函数性质，说明该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出利润y与x的函数关系式；
（2）根据题意和购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大，并求出最大利润．．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（22﹣18）（400﹣x）+（9﹣6）x＝﹣x+1600，
即利润y与x的函数关系式为y＝﹣x+1600；
（2）∵购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，
∴400﹣x≤3x，
解得，x≥100，
∵y＝﹣x+1600，k＝﹣1＜0，
∴函数值y随x的增大而减少，
∴当x＝100时，y取得最大值，此时y＝1500，400﹣x＝300，
即选择购进乙种普通口罩100个，甲种N95型口罩300个时，药店可获利最大，最大利润是1500元．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
【分析】（1）证出∠A＝90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+42＝（12﹣x）2，
解得：，
∴AQ的长是．
26．（10分）如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y轴、x轴分别交于点D、F．
（1）求线段OE的长；
（2）求点F的坐标；
（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点P的坐标；否则，说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质，结合勾股定理求解OB的长，由折叠的性质可求BE的长，利用OE＝OB﹣BE可求解；
（2）设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝8﹣a，利用△OBD的面积可求解D点坐标，再利用待定系数法可求解直线DF的关系式，进而求解F点坐标；
（3）（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，易求CD＝3，点M在直线y＝﹣0.5x上，点P在直线BD上，要使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，需CD与MP平行且相等或CP与MD平行且相等，当CD与MP平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（m，﹣0.5m），根据MP＝3可求解P点坐标；当CP与MD平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（﹣m，0.5m），可得关于m的方程，解方程可求解P点坐标．
【解答】解：（1）∵矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），
∴OA＝6，AB＝8，∠OAB＝90°，
∴，
由折叠知，BE＝BC＝6，
∴OE＝OB﹣BE＝10﹣6＝4；
（2）设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝8﹣a，
∵BC＝6，CD＝DE＝8﹣a，OB＝10，
，
∴，
解得a＝5，
即点D的坐标为（0，5），
设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，
∴，
得，
即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5，
当y＝0时，0.5x+5＝0
解得x＝﹣10，
∴点F的坐标是（﹣10，0）；
（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，
理由：由（2）知BD的解析式y＝0.5x+5，
∴D（0，5），
又∵C（0，8），
∴CD＝3，
点M在直线y＝﹣0.5x上，点P在直线BD上，
要使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，
需CD与MP平行且相等或CP与MD平行且相等，
当CD与MP平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（m，﹣0.5m），
∴MP＝|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，
解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，
∴P1（﹣2，4），P2（﹣8，1）
当CP与MD平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（﹣m，0.5m），
∴|8﹣（0.5m+5）|＝|0.5m﹣5|，
解得m＝8，
∴P3（8，9）
由上可得，满足题意的点P坐标是P1（﹣2，4），P2（﹣8，1），P3（8，9）．
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）下列四个点中，在函数y＝3x的图象上的是（ ）
A．（﹣1，3） B．（3，﹣1） C．（1，3） D．（3，1）
2．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，则它的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
3．（3分）如果某函数的图象如图所示，那么y随x的增大而（ ）
A．增大 B．减小
C．不变 D．有时增大有时减小
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）对于的理解错误的是（ ）
A．是实数 B．是最简二次根式
C． D．能与进行合并
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．（3分）如图，描述了安佶同学某日造成的一段生活过程：他早上从家里跑步去书店，在书店买了一本书后：马上就去早餐店吃早餐，吃完早餐后，立即散步走回家．图象中的平面直角坐标系中的x表示时间，y表示安佶离家的距离．请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是（ ）
A．安佶从家到新华书店的平均速度是10千米/分钟
B．安佶买书花了15分钟
C．安佶吃早餐花了20分钟
D．从早餐店到安佶家的1.5千米
8．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
9．（3分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
10．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
11．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
12．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（10，0），OB＝8，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡的横线上．
13．（3分）计算：＝ ．
14．（3分）将直线y＝2x+1向上平移3个单位后得到的解析式为 ．
15．（3分）小明用S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝ ．
16．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是 ．
17．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 ．
18．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB'，以C，E，B'为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 cm．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
20．（6分）已知一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，0）．
（1）求该函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）若点P （3，n）在该函数图象的下方，求n的取值范围．
21．（8分）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米．
（1）若拉索AB⊥AC，求固定点B、C之间的距离；
（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．
22．（8分）上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离y（千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求直线AB所对应的函数关系式；
（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？
23．（9分）为了推动我区教育教学发展，加快教师的成长，在某次研讨课活动中，为了分析某节复习课的教学效果，课前，陈老师让1801班每位同学做6道类似题目（与这节课内容相关），解题情况如图所示：课后，再让学生做6道类似的题目．结果如表所示．已知每位学生至少答对1题．
课后解题情况统计表
答对题数
频数（人）
1
2
2
3
3
3
4
a
5
9
6
13
合计
b
（1）根据图表信息填空：a＝ ；b＝ ．
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 ；课后答对题数的中位数是 ．
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节复习课的教学效果．
24．（9分）随着新冠病毒在全世界蔓延，疫情期间口罩成为紧缺物资，某市防控部门要求市民佩戴口罩出行，某药店购进甲种可有效预防新冠病毒的N95型口罩和乙种普通口罩共400个，这两种口罩的进价和售价如表所示：
甲
乙
进价（元/个）
18
6
售价（元/个）
22
9
该药店计划购进乙种普通口罩x个，两种口罩全部销售完后可获利润y元．
（1）求出利润y与x的函数关系式；
（2）已知购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，利用函数性质，说明该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大？并求出最大利润．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
26．（10分）如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y轴、x轴分别交于点D、F．
（1）求线段OE的长；
（2）求点F的坐标；
（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点P的坐标；否则，说明理由．
2019-2020学年广西玉林市玉州区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）下列四个点中，在函数y＝3x的图象上的是（ ）
A．（﹣1，3） B．（3，﹣1） C．（1，3） D．（3，1）
【分析】分别把各点坐标代入一次函数的解析式进行检验即可．
【解答】解：A、∵当x＝﹣1时，3x＝﹣3≠3，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵当x＝3时，3x＝9≠﹣1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵当x＝1时，3x＝3，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
D、∵当x＝3时，3x＝9≠1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：C．
2．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，则它的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD＝5，BC＝AD＝3，进而可得周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝3，
∴它的周长为：5×2+3×2＝16，
故选：D．
3．（3分）如果某函数的图象如图所示，那么y随x的增大而（ ）
A．增大 B．减小
C．不变 D．有时增大有时减小
【分析】根据函数图象可以得到y随x的增大如何变化，本题得以解决．
【解答】解：由函数图象可得，
y随x的增大而增大，
故选：A．
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
【解答】解：A.，正确；
B.，正确；
C.，不是同类二次根式，不能合并，故错误；
D．，正确．
故选：C．
5．（3分）对于的理解错误的是（ ）
A．是实数 B．是最简二次根式
C． D．能与进行合并
【分析】根据实数的定义，最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：＝3，而3与不是同类二次根式，
故不能合并，
故选：D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（3，﹣m），然后再把B点坐标代入y＝﹣x+1可得m的值．
【解答】解：∵点A（3，m），
∴点A关于x轴的对称点B（3，﹣m），
∵B在直线y＝﹣x+1上，
∴﹣m＝﹣3+1＝﹣2，
∴m＝2，
故选：C．
7．（3分）如图，描述了安佶同学某日造成的一段生活过程：他早上从家里跑步去书店，在书店买了一本书后：马上就去早餐店吃早餐，吃完早餐后，立即散步走回家．图象中的平面直角坐标系中的x表示时间，y表示安佶离家的距离．请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是（ ）
A．安佶从家到新华书店的平均速度是10千米/分钟
B．安佶买书花了15分钟
C．安佶吃早餐花了20分钟
D．从早餐店到安佶家的1.5千米
【分析】结合图象得出安佶同学从家里去书店，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为安佶家到新华书店的距离；进而得出跑步的时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，早餐店到安佶家1.5千米，安佶买书花了15分钟，安佶吃早餐花了20分钟，安佶家到新华书店2.5千米；平均速度＝总路程÷总时间．
【解答】解：A、安佶从家到新华书店的平均速度是2.5÷15＝千米/分钟，故A选项错误；
B、由图象可得出安佶买书花了30﹣15＝15（分钟），故B选项正确；
C、由图象可得出安佶吃早餐花了65﹣45＝20（分钟），故C选项正确；
D、由函数图象可知，从早餐店到安佶家的1.5千米，故D选项正确．
故选：A．
8．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
9．（3分）如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
【分析】利用勾股定理求出三角形的三边长，即可判断．
【解答】解：由题意：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝5，
则在△ABC中，边长为无理数的边有2条．
故选：B．
10．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
11．（3分）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4，根据菱形的面积，即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
12．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（10，0），OB＝8，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝4，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD＝PA+PD＝DA，
∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG＝＝＝2，
∴AC＝4，
∵OA•BK＝•AC•OB，
∴BK＝16，AK＝＝6，
∴点B坐标（16，8），
∴直线OB解析式为y＝x，直线AD解析式为y＝﹣x+1，
由解得，
∴点P坐标（，）．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡的横线上．
13．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】利用二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝4，
故答案为：4．
14．（3分）将直线y＝2x+1向上平移3个单位后得到的解析式为 y＝2x+4 ．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝2x+1上平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x+1+3，即y＝2x+4，
故答案为：y＝2x+4．
15．（3分）小明用S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝ 30 ．
【分析】根据计算方差的公式能够确定数据的个数和平均数，从而求得所有数据的和．
【解答】解：∵S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，
∴平均数为3，共10个数据，
∴x1+x2+x3+…+x10＝10×3＝30，
故答案为：30．
16．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是 x＝2 ．
【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b＝0的解．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．
故答案为x＝2．
17．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 3﹣ ．
【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】解：连接AB，AD，如图所示：
∵AD＝AB＝＝2，
∴DE＝＝，
∴CD＝3﹣．
故答案为：3﹣．
18．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB'，以C，E，B'为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 3或 cm．
【分析】分两种情况：①当∠B′EC＝90°时，根据翻折变换的性质求出∠AEB＝45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，从而求出BE＝AB；②当∠EB′C＝90°时，∠AB′E＝90°，判断出A、B′、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据翻折变换的性质可得AB′＝AB，BE＝B′E，然后求出B′C，设BE＝B′E＝x，表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：①∠B′EC＝90°时，如图1，∠BEB′＝90°，
由翻折的性质得∠AEB＝∠AEB′＝×90°＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝3cm；
②∠EB′C＝90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E＝∠B＝90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′＝AB，BE＝B′E，
由勾股定理得，AC＝＝＝5cm，
∴B′C＝5﹣3＝2cm，
设BE＝B′E＝x，则EC＝4﹣x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2＝EC2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即BE＝cm，
综上所述，BE的长为3或cm．
故答案为：3或．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质计算，然后化简后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+2﹣2
＝；
（2）原式＝（2）2﹣32
＝8﹣9
＝﹣1．
20．（6分）已知一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，0）．
（1）求该函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）若点P （3，n）在该函数图象的下方，求n的取值范围．
【分析】（1）代入可求k的值，进而确定函数关系式；利用列表、描点（两点法）、连线可作函数的图象；
（2）把点P（3，n）代入可求n的值，根据函数的增减性可作出判断．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象过点（﹣1，0）
∴0＝﹣k+2，
∴k＝2，
∴一次函数的解析式为：y＝2x+2．
列表、描点、连线得到函数y＝2x+2的图象，如图所示：
（2）对于y＝2x+2，当x＝3时，y＝8．
因为点P （3，n）在该函数图象的下方，
所以n＜8．
21．（8分）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米．
（1）若拉索AB⊥AC，求固定点B、C之间的距离；
（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB、AC长分别为13米、20米，
∴BC＝＝＝m，
答：固定点B、C之间的距离为m；
（2）∵BC＝21，
∴BD＝21﹣CD，
∵AD⊥BC，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴132﹣BD2＝202﹣（21﹣BD）2，
∴BD＝5，
∴AD＝＝＝12．
22．（8分）上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离y（千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求直线AB所对应的函数关系式；
（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？
【分析】（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，把（0，320）和（2，120）代入y＝kx+b即可得到结论；
（2）设直线CD所对应的函数关系式为y＝mx+n，把（2.5，120）和（3，80）代入y＝mx+n得得到直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣80x+320，当y＝0时，x＝4，于是得到结论．
【解答】解：（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，
把（0，320）和（2，120）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB所对应的函数关系式为：y＝﹣100x+320；
（2）设直线CD所对应的函数关系式为y＝mx+n，
把（2.5，120）和（3，80）代入y＝mx+n得：，
解得：，
∴直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣80x+320，
当y＝0时，x＝4，
∴小颖一家当天12点到达姥姥家．
23．（9分）为了推动我区教育教学发展，加快教师的成长，在某次研讨课活动中，为了分析某节复习课的教学效果，课前，陈老师让1801班每位同学做6道类似题目（与这节课内容相关），解题情况如图所示：课后，再让学生做6道类似的题目．结果如表所示．已知每位学生至少答对1题．
课后解题情况统计表
答对题数
频数（人）
1
2
2
3
3
3
4
a
5
9
6
13
合计
b
（1）根据图表信息填空：a＝ 10 ；b＝ 40 ．
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 3题 ；课后答对题数的中位数是 5题 ．
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节复习课的教学效果．
【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据可以求得b的值，从而可以求得a的值；
（2）根据频数分布直方图中的数据和频数分布表中的数据可以得到相应的众数和中位数；
（3）根据频数分布直方图中的数据和频数分布表中的数据可以计算出前后的平均数，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）b＝4+7+10+9+7+3＝40，
a＝40﹣2﹣3﹣3﹣9﹣13＝10，
故答案为：10，40；
（2）由频数分布直方图中的数据可知，该班课前解题时答对题数的众数是3题，
由频数分布表中的数据可知课后答对题数的中位数是5题，
故答案为：3题，5题；
（3）课前答对题数的平均数为×（1×4+2×7+3×10+4×9+5×7+6×3）＝3.425（题），
课后答对题数的平均数为×（1×2+2×3+3×3+4×10+5×9+6×13）＝4.5（题），
从答对题数的平均数知，这节复习课的教学效果明显．
24．（9分）随着新冠病毒在全世界蔓延，疫情期间口罩成为紧缺物资，某市防控部门要求市民佩戴口罩出行，某药店购进甲种可有效预防新冠病毒的N95型口罩和乙种普通口罩共400个，这两种口罩的进价和售价如表所示：
甲
乙
进价（元/个）
18
6
售价（元/个）
22
9
该药店计划购进乙种普通口罩x个，两种口罩全部销售完后可获利润y元．
（1）求出利润y与x的函数关系式；
（2）已知购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，利用函数性质，说明该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出利润y与x的函数关系式；
（2）根据题意和购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大，并求出最大利润．．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（22﹣18）（400﹣x）+（9﹣6）x＝﹣x+1600，
即利润y与x的函数关系式为y＝﹣x+1600；
（2）∵购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，
∴400﹣x≤3x，
解得，x≥100，
∵y＝﹣x+1600，k＝﹣1＜0，
∴函数值y随x的增大而减少，
∴当x＝100时，y取得最大值，此时y＝1500，400﹣x＝300，
即选择购进乙种普通口罩100个，甲种N95型口罩300个时，药店可获利最大，最大利润是1500元．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
【分析】（1）证出∠A＝90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+42＝（12﹣x）2，
解得：，
∴AQ的长是．
26．（10分）如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y轴、x轴分别交于点D、F．
（1）求线段OE的长；
（2）求点F的坐标；
（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点P的坐标；否则，说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质，结合勾股定理求解OB的长，由折叠的性质可求BE的长，利用OE＝OB﹣BE可求解；
（2）设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝8﹣a，利用△OBD的面积可求解D点坐标，再利用待定系数法可求解直线DF的关系式，进而求解F点坐标；
（3）（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，易求CD＝3，点M在直线y＝﹣0.5x上，点P在直线BD上，要使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，需CD与MP平行且相等或CP与MD平行且相等，当CD与MP平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（m，﹣0.5m），根据MP＝3可求解P点坐标；当CP与MD平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（﹣m，0.5m），可得关于m的方程，解方程可求解P点坐标．
【解答】解：（1）∵矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），
∴OA＝6，AB＝8，∠OAB＝90°，
∴，
由折叠知，BE＝BC＝6，
∴OE＝OB﹣BE＝10﹣6＝4；
（2）设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝8﹣a，
∵BC＝6，CD＝DE＝8﹣a，OB＝10，
，
∴，
解得a＝5，
即点D的坐标为（0，5），
设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，
∴，
得，
即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5，
当y＝0时，0.5x+5＝0
解得x＝﹣10，
∴点F的坐标是（﹣10，0）；
（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，
理由：由（2）知BD的解析式y＝0.5x+5，
∴D（0，5），
又∵C（0，8），
∴CD＝3，
点M在直线y＝﹣0.5x上，点P在直线BD上，
要使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，
需CD与MP平行且相等或CP与MD平行且相等，
当CD与MP平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（m，﹣0.5m），
∴MP＝|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，
解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，
∴P1（﹣2，4），P2（﹣8，1）
当CP与MD平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（﹣m，0.5m），
∴|8﹣（0.5m+5）|＝|0.5m﹣5|，
解得m＝8，
∴P3（8，9）
由上可得，满足题意的点P坐标是P1（﹣2，4），P2（﹣8，1），P3（8，9）．
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