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2019-2020学年广西贵港市八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年广西贵港市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
3．（3分）以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（ ）
A．9m B．12m C．8m D．10m
5．（3分）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（ ）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
7．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
8．（3分）中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现，早报告，早隔离，早治疗”．在这12个字中“早”字出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知正比例函数y＝kx，且y随x的增大而增大，则一次函数y＝2x+k的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A．40° B．55° C．75° D．80°
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
12．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，…，按此作法继续下去，则点A2020的坐标为（ ）
A．（0，2020） B．（0，4040） C．（0，22020） D．（0，42020）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝，则CD＝ ．
15．（3分）如图，以原点O为圆心，OB为半径的弧交数轴于点A，则点A所表示的数是 ．
16．（3分）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为 ．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件： 可使其成为菱形（只填一个即可）．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求该多边形的边数．
（2）如图，已知CE、BD分别是△ABC的高，且BE＝CD．求证：△BEC≌△CDB．
20．（5分）已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点，求函数表达式．
21．（6分）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
22．（8分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
23．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校1200名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．
抽取的部分学生测试成绩的频数分布表
成绩a（分）
频数（人）
百分比
50≤a＜60
10
10%
60≤a＜70
15
n
70≤a＜80
m
20%
80≤a＜90
40
40%
90≤a≤100
15
15%
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）随机抽取的学生总人数为 ，m＝ ，n＝ ．
（2）补全频数分布直方图．
（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，求成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．
24．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A，B1与B对应．
（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为 ．
（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．
25．（11分）若直线y1＝k1x+b1（k1≠0），y2＝k2x+b2（k2≠0），则称直线y＝（k1+k2）x+b1b2为这两条直线的友好直线．
（1）直线y＝3x+2与y＝﹣4x+3的友好直线为 ．
（2）已知直线l是直线y＝﹣2x+m与y＝3mx﹣6（m≠0）的友好直线，且直线l经过第一、三、四象限．
①求m的取值范围；
②若直线l经过点（3，12），求m的值．
26．（10分）如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝ ；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年广西贵港市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点M（﹣1，1）在第二象限．
故选：B．
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝70°，即可求得∠A与∠C的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∵∠A+∠C＝70°，
∴∠A＝∠C＝35°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝145°．
故选：C．
3．（3分）以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、12+12＝（）2，故是直角三角形，故此选项正确；
C、62+82≠112，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、52+122≠232，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（ ）
A．9m B．12m C．8m D．10m
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，
∴AB＝DE＝9m，
故选：A．
5．（3分）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义可以判断哪个图形是中心对称图形，本题得以解决．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
6．（3分）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（ ）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
【分析】利用效率等于工作量除以工作时间得到n＝，然后利用变量和常量对各选项进行判断．
【解答】解：n＝，其中n、t为变量，100为常量．
故选：C．
7．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又∵CE＝3，
∴CD＝3﹣，
故选：C．
8．（3分）中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现，早报告，早隔离，早治疗”．在这12个字中“早”字出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据频率＝进行计算即可．
【解答】解：在这12个字中“早”字出现的频率是：＝，
故选：D．
9．（3分）已知正比例函数y＝kx，且y随x的增大而增大，则一次函数y＝2x+k的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，且y随x的增大而增大，
∴k＞0．
在直线y＝2x+k中，
∵2＞0，k＞0，
∴函数图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
10．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A．40° B．55° C．75° D．80°
【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，又可得∠E＝∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，
∴∠E＝∠DAE，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°．
∴∠BAE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
【分析】连接AC、BD，由菱形的性质得出AB＝5，OB＝OD＝BD＝2，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，得出AC＝2，求出菱形的面积，再由中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】解：连接AC、BD，如图所示：
∵菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，BD＝4，
∴AB＝5，OB＝OD＝BD＝2，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×4＝4，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积＝2；
故选：A．
12．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，…，按此作法继续下去，则点A2020的坐标为（ ）
A．（0，2020） B．（0，4040） C．（0，22020） D．（0，42020）
【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2020坐标即可．
【解答】解：∵直线l的解析式为：y＝x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…，
∴A2020纵坐标为：42020，
∴A2020（0，42020）．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 y＝2x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x﹣5向上平移3个单位所得函数的解析式为y＝2x﹣5+3，即y＝2x﹣2．
故答案为：y＝2x﹣2．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝，则CD＝ ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝AB，代入求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AB＝，
∴CD＝AB＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，以原点O为圆心，OB为半径的弧交数轴于点A，则点A所表示的数是 ．
【分析】由勾股定理求得OB的长，然后根据OA＝OB可求得点A表示的数．
【解答】解：由勾股定理得：OB＝＝，
∵OA＝OB，
∴点A表示的数是﹣．
故答案为：﹣．
16．（3分）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】直接利用根据题意建立平面直角坐标系，进而得出小华的位置．
【解答】解：如图所示：小华的位置为：（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件： AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一） 可使其成为菱形（只填一个即可）．
【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．
【解答】解：▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当AC⊥BD或AB＝BC使其成为菱形．
故答案为：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为 10 ．
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，易得△OCM≌△OAN；由CM＝ON，OM＝ON；设点C坐标（a，b），可求得A（2a﹣5，﹣a），则a＝3，可求OC＝，所以正方形面积是10．
【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，
∵∠COM+∠MOA＝∠MOA+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠COM，
又因为OA＝OC，
∴Rt△OCM≌Rt△OAN（ASA），
∴OM＝ON，CM＝AN，
设点C （a，b），
∵点A在函数y＝2x﹣5的图象上，
∴b＝2a﹣5，
∴CM＝AN＝2a﹣5，OM＝ON＝a，
∴A（2a﹣5，﹣a），
∴﹣a＝2（2a﹣5）﹣5，
∴a＝3，
∴A（1，﹣3），
在直角三角形OCM中，由勾股定理可求得OA＝，
∴正方形OABC的面积是10，
故答案为10．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求该多边形的边数．
（2）如图，已知CE、BD分别是△ABC的高，且BE＝CD．求证：△BEC≌△CDB．
【分析】（1）设这个多边形的边数是n，根据题意列出方程（n﹣2）×180°×﹣90°＝360°，求出方程的解即可；
（2）根据垂直的定义得出∠BEC＝∠CDB＝90°，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】（1）解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）×180°×﹣90°＝360°，
解得：n＝12，
答：这个多边形的边数是12；
（2）证明：∵CE、BD分别是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
20．（5分）已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点，求函数表达式．
【分析】把（0，2），（1，3）代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：根据题意得，解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2．
21．（6分）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 锐角 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
【分析】（1）先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，再得出答案即可；
（2）分为两种情况，12为最长边或x为最长边，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）∵72+82＝113，92＝81，
∴92＜72+82，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）当最长边是12时，x＝＝；
当最长边是x时，x＝＝13，
即x＝13或．
22．（8分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
23．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校1200名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．
抽取的部分学生测试成绩的频数分布表
成绩a（分）
频数（人）
百分比
50≤a＜60
10
10%
60≤a＜70
15
n
70≤a＜80
m
20%
80≤a＜90
40
40%
90≤a≤100
15
15%
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）随机抽取的学生总人数为 100 ，m＝ 20 ，n＝ 15% ．
（2）补全频数分布直方图．
（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，求成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．
【分析】（1）根据50≤a＜60这一组的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；
（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以得到成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．
【解答】解：（1）随机抽取的学生总人数为：10÷10%＝100，
m＝100×20%＝20，
n＝15÷100×100%＝15%，
故答案为：100，20，15%；
（2）由（1）知，m＝20，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）40%+15%＝55%，
即成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比为55%．
24．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A，B1与B对应．
（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为 （﹣x，y） ．
（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解；
（3）利用点A和点A2的坐标变换确定平移的规律，然后写出B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为（﹣x，y）；
故答案为（﹣x，y），
（3）如图，△A2B2C2为所作．
25．（11分）若直线y1＝k1x+b1（k1≠0），y2＝k2x+b2（k2≠0），则称直线y＝（k1+k2）x+b1b2为这两条直线的友好直线．
（1）直线y＝3x+2与y＝﹣4x+3的友好直线为 y＝﹣x+6 ．
（2）已知直线l是直线y＝﹣2x+m与y＝3mx﹣6（m≠0）的友好直线，且直线l经过第一、三、四象限．
①求m的取值范围；
②若直线l经过点（3，12），求m的值．
【分析】（1）根据“友好直线”的定义解答即可；
（2）①根据直线y＝kx+b经过第一、三、四象限可得k＞0，b＜0，据此解答即可；
②把点的坐标代入解析式即可求出m的值．
【解答】解：（1）直线y＝3x+2与y＝﹣4x+3的友好直线为：y＝（3﹣4）x+2×3＝﹣x+6，
故答案为：y＝﹣x+6；
（2）①∵直线l是直线y＝﹣2x+m与y＝3mx﹣6（m≠0）的友好直线，
∴直线l的解析式为：y＝（﹣2+3m）x﹣6m，
∵直线l经过第一、三、四象限，
∴，
解得；
②∵直线线l经过点（3，12），
∴3（﹣2+3m）﹣6m＝12，
∴m＝6．
26．（10分）如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝ 5 ；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质和点B的坐标得出∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，由勾股定理求出AC即可；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，证明△DFC∽△AOC，得出对应边成比例，求出DF，得出OD的长，得出D的坐标；再证明△AFE≌△CFD得出EF＝DF，即可得出DE的长；
（3）分两种情形分别讨论即可：①DE为菱形的边．②DE为菱形的对角线．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点B坐标为（4，﹣3）．
∴∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，
∴AC＝＝5．
故答案为：5；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，
∵∠FCD＝∠OCA，∠DFC＝∠AOC＝90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DF＝，DC＝，
∴OD＝OC﹣DC＝4﹣＝．
∴D（，0）；
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF＝∠DCF，
在△AFE和△CFD中，，
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF＝DF．
∴DE＝2DF＝2×＝．
即折痕DE的长为．
（3）如图所示：
由（2）可知，AE＝CD＝
∴E（，﹣3），D（，0），
①当DE为菱形的边时，DP＝DE＝，可得Q（，﹣3），Q1（﹣，﹣3）．
②当DE为菱形的对角线时，P与C重合，Q与A重合，Q2（0，﹣3），
③当点Q在第一象限，E与Q关于x轴对称，Q（，3）
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣3）或（0，﹣3）或（，3）．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
3．（3分）以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（ ）
A．9m B．12m C．8m D．10m
5．（3分）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（ ）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
7．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
8．（3分）中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现，早报告，早隔离，早治疗”．在这12个字中“早”字出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知正比例函数y＝kx，且y随x的增大而增大，则一次函数y＝2x+k的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A．40° B．55° C．75° D．80°
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
12．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，…，按此作法继续下去，则点A2020的坐标为（ ）
A．（0，2020） B．（0，4040） C．（0，22020） D．（0，42020）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝，则CD＝ ．
15．（3分）如图，以原点O为圆心，OB为半径的弧交数轴于点A，则点A所表示的数是 ．
16．（3分）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为 ．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件： 可使其成为菱形（只填一个即可）．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求该多边形的边数．
（2）如图，已知CE、BD分别是△ABC的高，且BE＝CD．求证：△BEC≌△CDB．
20．（5分）已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点，求函数表达式．
21．（6分）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
22．（8分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
23．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校1200名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．
抽取的部分学生测试成绩的频数分布表
成绩a（分）
频数（人）
百分比
50≤a＜60
10
10%
60≤a＜70
15
n
70≤a＜80
m
20%
80≤a＜90
40
40%
90≤a≤100
15
15%
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）随机抽取的学生总人数为 ，m＝ ，n＝ ．
（2）补全频数分布直方图．
（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，求成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．
24．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A，B1与B对应．
（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为 ．
（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．
25．（11分）若直线y1＝k1x+b1（k1≠0），y2＝k2x+b2（k2≠0），则称直线y＝（k1+k2）x+b1b2为这两条直线的友好直线．
（1）直线y＝3x+2与y＝﹣4x+3的友好直线为 ．
（2）已知直线l是直线y＝﹣2x+m与y＝3mx﹣6（m≠0）的友好直线，且直线l经过第一、三、四象限．
①求m的取值范围；
②若直线l经过点（3，12），求m的值．
26．（10分）如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝ ；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年广西贵港市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点M（﹣1，1）在第二象限．
故选：B．
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝70°，即可求得∠A与∠C的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∵∠A+∠C＝70°，
∴∠A＝∠C＝35°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝145°．
故选：C．
3．（3分）以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、12+12＝（）2，故是直角三角形，故此选项正确；
C、62+82≠112，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、52+122≠232，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（ ）
A．9m B．12m C．8m D．10m
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，
∴AB＝DE＝9m，
故选：A．
5．（3分）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义可以判断哪个图形是中心对称图形，本题得以解决．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
6．（3分）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（ ）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
【分析】利用效率等于工作量除以工作时间得到n＝，然后利用变量和常量对各选项进行判断．
【解答】解：n＝，其中n、t为变量，100为常量．
故选：C．
7．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又∵CE＝3，
∴CD＝3﹣，
故选：C．
8．（3分）中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现，早报告，早隔离，早治疗”．在这12个字中“早”字出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据频率＝进行计算即可．
【解答】解：在这12个字中“早”字出现的频率是：＝，
故选：D．
9．（3分）已知正比例函数y＝kx，且y随x的增大而增大，则一次函数y＝2x+k的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，且y随x的增大而增大，
∴k＞0．
在直线y＝2x+k中，
∵2＞0，k＞0，
∴函数图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
10．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A．40° B．55° C．75° D．80°
【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，又可得∠E＝∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，
∴∠E＝∠DAE，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°．
∴∠BAE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
【分析】连接AC、BD，由菱形的性质得出AB＝5，OB＝OD＝BD＝2，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，得出AC＝2，求出菱形的面积，再由中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】解：连接AC、BD，如图所示：
∵菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，BD＝4，
∴AB＝5，OB＝OD＝BD＝2，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×4＝4，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积＝2；
故选：A．
12．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，…，按此作法继续下去，则点A2020的坐标为（ ）
A．（0，2020） B．（0，4040） C．（0，22020） D．（0，42020）
【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2020坐标即可．
【解答】解：∵直线l的解析式为：y＝x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…，
∴A2020纵坐标为：42020，
∴A2020（0，42020）．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 y＝2x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x﹣5向上平移3个单位所得函数的解析式为y＝2x﹣5+3，即y＝2x﹣2．
故答案为：y＝2x﹣2．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝，则CD＝ ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝AB，代入求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AB＝，
∴CD＝AB＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，以原点O为圆心，OB为半径的弧交数轴于点A，则点A所表示的数是 ．
【分析】由勾股定理求得OB的长，然后根据OA＝OB可求得点A表示的数．
【解答】解：由勾股定理得：OB＝＝，
∵OA＝OB，
∴点A表示的数是﹣．
故答案为：﹣．
16．（3分）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】直接利用根据题意建立平面直角坐标系，进而得出小华的位置．
【解答】解：如图所示：小华的位置为：（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件： AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一） 可使其成为菱形（只填一个即可）．
【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．
【解答】解：▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当AC⊥BD或AB＝BC使其成为菱形．
故答案为：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为 10 ．
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，易得△OCM≌△OAN；由CM＝ON，OM＝ON；设点C坐标（a，b），可求得A（2a﹣5，﹣a），则a＝3，可求OC＝，所以正方形面积是10．
【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，
∵∠COM+∠MOA＝∠MOA+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠COM，
又因为OA＝OC，
∴Rt△OCM≌Rt△OAN（ASA），
∴OM＝ON，CM＝AN，
设点C （a，b），
∵点A在函数y＝2x﹣5的图象上，
∴b＝2a﹣5，
∴CM＝AN＝2a﹣5，OM＝ON＝a，
∴A（2a﹣5，﹣a），
∴﹣a＝2（2a﹣5）﹣5，
∴a＝3，
∴A（1，﹣3），
在直角三角形OCM中，由勾股定理可求得OA＝，
∴正方形OABC的面积是10，
故答案为10．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求该多边形的边数．
（2）如图，已知CE、BD分别是△ABC的高，且BE＝CD．求证：△BEC≌△CDB．
【分析】（1）设这个多边形的边数是n，根据题意列出方程（n﹣2）×180°×﹣90°＝360°，求出方程的解即可；
（2）根据垂直的定义得出∠BEC＝∠CDB＝90°，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】（1）解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）×180°×﹣90°＝360°，
解得：n＝12，
答：这个多边形的边数是12；
（2）证明：∵CE、BD分别是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
20．（5分）已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点，求函数表达式．
【分析】把（0，2），（1，3）代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：根据题意得，解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2．
21．（6分）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 锐角 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
【分析】（1）先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，再得出答案即可；
（2）分为两种情况，12为最长边或x为最长边，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）∵72+82＝113，92＝81，
∴92＜72+82，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）当最长边是12时，x＝＝；
当最长边是x时，x＝＝13，
即x＝13或．
22．（8分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
23．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校1200名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．
抽取的部分学生测试成绩的频数分布表
成绩a（分）
频数（人）
百分比
50≤a＜60
10
10%
60≤a＜70
15
n
70≤a＜80
m
20%
80≤a＜90
40
40%
90≤a≤100
15
15%
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）随机抽取的学生总人数为 100 ，m＝ 20 ，n＝ 15% ．
（2）补全频数分布直方图．
（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，求成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．
【分析】（1）根据50≤a＜60这一组的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；
（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以得到成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．
【解答】解：（1）随机抽取的学生总人数为：10÷10%＝100，
m＝100×20%＝20，
n＝15÷100×100%＝15%，
故答案为：100，20，15%；
（2）由（1）知，m＝20，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）40%+15%＝55%，
即成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比为55%．
24．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A，B1与B对应．
（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为 （﹣x，y） ．
（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解；
（3）利用点A和点A2的坐标变换确定平移的规律，然后写出B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为（﹣x，y）；
故答案为（﹣x，y），
（3）如图，△A2B2C2为所作．
25．（11分）若直线y1＝k1x+b1（k1≠0），y2＝k2x+b2（k2≠0），则称直线y＝（k1+k2）x+b1b2为这两条直线的友好直线．
（1）直线y＝3x+2与y＝﹣4x+3的友好直线为 y＝﹣x+6 ．
（2）已知直线l是直线y＝﹣2x+m与y＝3mx﹣6（m≠0）的友好直线，且直线l经过第一、三、四象限．
①求m的取值范围；
②若直线l经过点（3，12），求m的值．
【分析】（1）根据“友好直线”的定义解答即可；
（2）①根据直线y＝kx+b经过第一、三、四象限可得k＞0，b＜0，据此解答即可；
②把点的坐标代入解析式即可求出m的值．
【解答】解：（1）直线y＝3x+2与y＝﹣4x+3的友好直线为：y＝（3﹣4）x+2×3＝﹣x+6，
故答案为：y＝﹣x+6；
（2）①∵直线l是直线y＝﹣2x+m与y＝3mx﹣6（m≠0）的友好直线，
∴直线l的解析式为：y＝（﹣2+3m）x﹣6m，
∵直线l经过第一、三、四象限，
∴，
解得；
②∵直线线l经过点（3，12），
∴3（﹣2+3m）﹣6m＝12，
∴m＝6．
26．（10分）如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝ 5 ；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质和点B的坐标得出∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，由勾股定理求出AC即可；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，证明△DFC∽△AOC，得出对应边成比例，求出DF，得出OD的长，得出D的坐标；再证明△AFE≌△CFD得出EF＝DF，即可得出DE的长；
（3）分两种情形分别讨论即可：①DE为菱形的边．②DE为菱形的对角线．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点B坐标为（4，﹣3）．
∴∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，
∴AC＝＝5．
故答案为：5；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，
∵∠FCD＝∠OCA，∠DFC＝∠AOC＝90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DF＝，DC＝，
∴OD＝OC﹣DC＝4﹣＝．
∴D（，0）；
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF＝∠DCF，
在△AFE和△CFD中，，
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF＝DF．
∴DE＝2DF＝2×＝．
即折痕DE的长为．
（3）如图所示：
由（2）可知，AE＝CD＝
∴E（，﹣3），D（，0），
①当DE为菱形的边时，DP＝DE＝，可得Q（，﹣3），Q1（﹣，﹣3）．
②当DE为菱形的对角线时，P与C重合，Q与A重合，Q2（0，﹣3），
③当点Q在第一象限，E与Q关于x轴对称，Q（，3）
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣3）或（0，﹣3）或（，3）．
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