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2019-2020学年广西北海市八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年广西北海市八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x C．y＝2﹣3x D．y＝
3．（3分）某校对1500名学生的视力进行了检查，其值在5.0～5.1这一小组的频率为0.30，则该组的人数为（ ）
A．150人 B．450人 C．600人 D．1050人
4．（3分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝7，b＝8，c＝9
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AF⊥DE，垂足为点F，若∠DAF＝50°，则∠EDC＝（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．（3分）一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，BC＝BD，如果AC＝3m，那么AE+DE等于（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
8．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4cm，∠CBD：∠ABD＝2：1，则AC＝（ ）
A．cm B．cm C．6cm D．8cm
9．（3分）如图，小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则分别表示父亲、母亲离家距离与时间之间关系的是（ ）
A．①③ B．①② C．④② D．④③
10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B6的纵坐标是（ ）
A．8 B．32 C．64 D．126
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是 ．
12．（3分）点A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝3x﹣1上的两点，则y1 y2．（填“＞”或“＜”）
13．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE的长为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，则△AOB的面积为 ．
三.解答题（共55分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（6分）已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．
17．（6分）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）△ABC的面积是 ．
（2）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（3）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
19．（7分）某校七年级1班体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并绘制出如下频数分布表和频数分布直方图：
次数
80≤x＜100
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
a
4
12
16
8
3
结合图表完成下列问题：
（1）a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）写出全班人数是 ，并求出第三组“120≤x＜140”的频率（精确到0.01）
（4）若跳绳次数不少于140的学生成绩为优秀，则优秀学生人数占全班总人数的百分之几？
20．（7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
21．（7分）已知一个红外线测温仪售价380元，一包口罩售价40元，某学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出30包的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．
（1）设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（2）学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由．
22．（7分）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别是垂足．
（1）求证：AP＝PC；
（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求PC的长．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
2019-2020学年广西北海市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x C．y＝2﹣3x D．y＝
【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、是一次函数，故本选项不符合题意；
C、是一次函数，故本选项不符合题意；
D、是反比例函数，不是一次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）某校对1500名学生的视力进行了检查，其值在5.0～5.1这一小组的频率为0.30，则该组的人数为（ ）
A．150人 B．450人 C．600人 D．1050人
【分析】用总人数乘以该组的频率可得答案．
【解答】解：根据题意，该组的人数为1500×0.3＝450（人），
故选：B．
4．（3分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝7，b＝8，c＝9
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能组成直角三角形的一组数是a＝3，b＝4，c＝5，
故选：B．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AF⊥DE，垂足为点F，若∠DAF＝50°，则∠EDC＝（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ADF＝90°﹣∠DAF＝40°，再根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：由AF⊥DE可得∠AFD＝90°，
∴得∠ADF＝90°﹣∠DAF＝90°﹣50°＝40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADF＝40°，
故选：A．
6．（3分）一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据k，b的符号确定一次函数y＝x+2的图象经过的象限．
【解答】解：∵k＝1＞0，图象过一三象限，b＝2＞0，图象过第二象限，
∴直线y＝x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，BC＝BD，如果AC＝3m，那么AE+DE等于（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
【分析】根据HL证Rt△BDE≌Rt△BCE，推出DE＝CE，求出AE+DE＝AC，代入求出即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴DE＝CE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC，
∵AC＝3m，
∴AE+DE＝3m，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4cm，∠CBD：∠ABD＝2：1，则AC＝（ ）
A．cm B．cm C．6cm D．8cm
【分析】由矩形的性质以及条件∠CBD：∠ABD＝2：1可求出∠CBD和∠ABD的度数，由矩形的性质可得OA＝OB，进而得∠BAC的度数，再根据直角三角形性质求得AC的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AC＝BD，OA＝AC，OB＝，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠CBD：∠ABD＝2：1，
∴∠CBD＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝30°
∴AC＝2BC，
∵BC＝4cm，
∴AC＝8cm，
故选：D．
9．（3分）如图，小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则分别表示父亲、母亲离家距离与时间之间关系的是（ ）
A．①③ B．①② C．④② D．④③
【分析】由于小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，所以表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象在20分钟的两边一样，由此即可确定表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象；而父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，由此即可确定表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象．
【解答】解：∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，
∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②，
∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，
∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④，
则表示父亲、母亲离家距离与时间的关系是④②．
故选：C．
10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B6的纵坐标是（ ）
A．8 B．32 C．64 D．126
【分析】根据直线解析式先求出OA1＝1，得出B1 的纵坐标是1，再求出B2的纵坐标是2，B3 的纵坐标是22，得出规律，即可得出结果．
【解答】解：∵直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，
∴OA1＝1，OD＝1，
∴∠ODA1＝45°，即B1 的纵坐标是1，
∴∠A2A1B1＝45°，
∴A2B1＝A1B1＝1，
∴A2C1＝2＝21，即B2的纵坐标是2，
同理得：A3C2＝4＝22，即B3 的纵坐标是22，…，
∴点B6的纵坐标是25，即点B6的纵坐标是32，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣3，﹣4） ．
【分析】直接利用关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案．
【解答】解：点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是：（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．
12．（3分）点A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝3x﹣1上的两点，则y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决问题亦可）．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝3×（﹣1）﹣1＝﹣4，
当x＝3时，y2＝3×3﹣1＝8．
∵﹣4＜8，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
13．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE的长为 2.5 ．
【分析】根据菱形的性质可得OB＝OD，AO⊥BO，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOD中，AB＝＝＝5，
则OE＝AB＝2.5．
故答案为：2.5．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，则△AOB的面积为 3 ．
【分析】根据待定系数法求得一次函数的解析式即可求得一次函数与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x+2，
设一次函数与y轴的交点为D
∴D（0，2），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝+＝3，
故答案为3．
三.解答题（共55分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（6分）已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．
【分析】可以把结论涉及的线段BE，DF放到△AEB和△CFD中，证明这两个三角形全等，得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE＝DF．
17．（6分）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
【分析】（1）设y＝kx，把x＝2，y＝4代入，求出k．即可得出答案；
（2）把x＝﹣代入函数解析式，求出即可．
【解答】解：（1）根据题意，设y＝kx（k≠0），
把x＝2，y＝4代入得：4＝2k，
解得：k＝2，
即y与x的函数关系式为y＝2x；
（2）把x＝﹣代入y＝2x得：y＝﹣1．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）△ABC的面积是 1.5 ．
（2）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（3）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
【分析】（1）直接利用割补法进行计算，即可得到△ABC的面积；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）△ABC的面积为2×2﹣×1×1﹣2××1×2＝1.5；
故答案为：1.5；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）如图所示：△A2B2C2即为所求．
19．（7分）某校七年级1班体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并绘制出如下频数分布表和频数分布直方图：
次数
80≤x＜100
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
a
4
12
16
8
3
结合图表完成下列问题：
（1）a＝ 2 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）写出全班人数是 45 ，并求出第三组“120≤x＜140”的频率（精确到0.01）
（4）若跳绳次数不少于140的学生成绩为优秀，则优秀学生人数占全班总人数的百分之几？
【分析】（1）由频数分布直方图即可得；
（2）由频数分布表得出140≤x＜160的频数，即可补全图形；
（3）将各组人数相加即可得，再用频数÷总人数＝频率求解可得；
（4）用140≤x＜200的人数和除以总人数即可得．
【解答】解：（1）由频数分布直方图知a＝2，
故答案为：2；
（2）由频数分布表知140≤x＜160的频数为16，
补全图形如下：
（3）全班人数为2+4+12+16+8+3＝45人，第三组“120≤x＜140”的频率为12÷45≈0.27，
故答案为：45；
（4）优秀学生人数占全班总人数的百分比为×100%＝60%，
答：优秀的学生人数占全班总人数的60%．
20．（7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF＝BE＝4，
∵AC＝20，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
21．（7分）已知一个红外线测温仪售价380元，一包口罩售价40元，某学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出30包的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．
（1）设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（2）学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，可以写出y1，y2与x的函数关系式；
（2）令（1）中的y1＜y2，求出x的取值范围，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝20×380+（x﹣20）×40＝40x+6800，
y2＝20×380+30×40+（x﹣30）×40×0.5＝20x+8200，
即y1＝40x+6800，y2＝20x+8200；
（2）学校购买口罩的包数超出30包，不足70包时，选择优惠活动一比活动二更省钱，
理由：令40x+6800＜20x+8200，
解得，x＜70，
即学校购买口罩的包数超出30包，不足70包时，选择优惠活动一比活动二更省钱．
22．（7分）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别是垂足．
（1）求证：AP＝PC；
（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求PC的长．
【分析】（1）证四边形EPFC是矩形，求出EF＝PC，证△ABP≌△CBP，推出AP＝CP即可；
（2）先根据△ABP≌△CBP得出∠BAP＝∠BCP＝60°，∠PCE＝30°，再证△PFB是等腰直角三角形，求出PE的长度，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP；
（2）解：∵由（1）知△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP＝60°，
∴∠PCE＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠PDE＝45°，
∵PE⊥CD，
∴DE＝PE，
∵PD＝，
∴PE＝1，
∴PC＝2PE＝2．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论即可．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即40﹣4t＝2t，解得t＝．
∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x C．y＝2﹣3x D．y＝
3．（3分）某校对1500名学生的视力进行了检查，其值在5.0～5.1这一小组的频率为0.30，则该组的人数为（ ）
A．150人 B．450人 C．600人 D．1050人
4．（3分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝7，b＝8，c＝9
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AF⊥DE，垂足为点F，若∠DAF＝50°，则∠EDC＝（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．（3分）一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，BC＝BD，如果AC＝3m，那么AE+DE等于（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
8．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4cm，∠CBD：∠ABD＝2：1，则AC＝（ ）
A．cm B．cm C．6cm D．8cm
9．（3分）如图，小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则分别表示父亲、母亲离家距离与时间之间关系的是（ ）
A．①③ B．①② C．④② D．④③
10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B6的纵坐标是（ ）
A．8 B．32 C．64 D．126
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是 ．
12．（3分）点A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝3x﹣1上的两点，则y1 y2．（填“＞”或“＜”）
13．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE的长为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，则△AOB的面积为 ．
三.解答题（共55分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（6分）已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．
17．（6分）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）△ABC的面积是 ．
（2）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（3）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
19．（7分）某校七年级1班体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并绘制出如下频数分布表和频数分布直方图：
次数
80≤x＜100
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
a
4
12
16
8
3
结合图表完成下列问题：
（1）a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）写出全班人数是 ，并求出第三组“120≤x＜140”的频率（精确到0.01）
（4）若跳绳次数不少于140的学生成绩为优秀，则优秀学生人数占全班总人数的百分之几？
20．（7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
21．（7分）已知一个红外线测温仪售价380元，一包口罩售价40元，某学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出30包的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．
（1）设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（2）学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由．
22．（7分）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别是垂足．
（1）求证：AP＝PC；
（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求PC的长．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
2019-2020学年广西北海市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x C．y＝2﹣3x D．y＝
【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、是一次函数，故本选项不符合题意；
C、是一次函数，故本选项不符合题意；
D、是反比例函数，不是一次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）某校对1500名学生的视力进行了检查，其值在5.0～5.1这一小组的频率为0.30，则该组的人数为（ ）
A．150人 B．450人 C．600人 D．1050人
【分析】用总人数乘以该组的频率可得答案．
【解答】解：根据题意，该组的人数为1500×0.3＝450（人），
故选：B．
4．（3分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝7，b＝8，c＝9
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能组成直角三角形的一组数是a＝3，b＝4，c＝5，
故选：B．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AF⊥DE，垂足为点F，若∠DAF＝50°，则∠EDC＝（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ADF＝90°﹣∠DAF＝40°，再根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：由AF⊥DE可得∠AFD＝90°，
∴得∠ADF＝90°﹣∠DAF＝90°﹣50°＝40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADF＝40°，
故选：A．
6．（3分）一次函数y＝x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据k，b的符号确定一次函数y＝x+2的图象经过的象限．
【解答】解：∵k＝1＞0，图象过一三象限，b＝2＞0，图象过第二象限，
∴直线y＝x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，BC＝BD，如果AC＝3m，那么AE+DE等于（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
【分析】根据HL证Rt△BDE≌Rt△BCE，推出DE＝CE，求出AE+DE＝AC，代入求出即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴DE＝CE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC，
∵AC＝3m，
∴AE+DE＝3m，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4cm，∠CBD：∠ABD＝2：1，则AC＝（ ）
A．cm B．cm C．6cm D．8cm
【分析】由矩形的性质以及条件∠CBD：∠ABD＝2：1可求出∠CBD和∠ABD的度数，由矩形的性质可得OA＝OB，进而得∠BAC的度数，再根据直角三角形性质求得AC的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AC＝BD，OA＝AC，OB＝，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠CBD：∠ABD＝2：1，
∴∠CBD＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝30°
∴AC＝2BC，
∵BC＝4cm，
∴AC＝8cm，
故选：D．
9．（3分）如图，小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则分别表示父亲、母亲离家距离与时间之间关系的是（ ）
A．①③ B．①② C．④② D．④③
【分析】由于小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，所以表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象在20分钟的两边一样，由此即可确定表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象；而父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，由此即可确定表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象．
【解答】解：∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，
∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②，
∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，
∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④，
则表示父亲、母亲离家距离与时间的关系是④②．
故选：C．
10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B6的纵坐标是（ ）
A．8 B．32 C．64 D．126
【分析】根据直线解析式先求出OA1＝1，得出B1 的纵坐标是1，再求出B2的纵坐标是2，B3 的纵坐标是22，得出规律，即可得出结果．
【解答】解：∵直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，
∴OA1＝1，OD＝1，
∴∠ODA1＝45°，即B1 的纵坐标是1，
∴∠A2A1B1＝45°，
∴A2B1＝A1B1＝1，
∴A2C1＝2＝21，即B2的纵坐标是2，
同理得：A3C2＝4＝22，即B3 的纵坐标是22，…，
∴点B6的纵坐标是25，即点B6的纵坐标是32，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣3，﹣4） ．
【分析】直接利用关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案．
【解答】解：点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是：（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．
12．（3分）点A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝3x﹣1上的两点，则y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决问题亦可）．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝3×（﹣1）﹣1＝﹣4，
当x＝3时，y2＝3×3﹣1＝8．
∵﹣4＜8，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
13．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE的长为 2.5 ．
【分析】根据菱形的性质可得OB＝OD，AO⊥BO，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOD中，AB＝＝＝5，
则OE＝AB＝2.5．
故答案为：2.5．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，则△AOB的面积为 3 ．
【分析】根据待定系数法求得一次函数的解析式即可求得一次函数与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x+2，
设一次函数与y轴的交点为D
∴D（0，2），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝+＝3，
故答案为3．
三.解答题（共55分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（6分）已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．
【分析】可以把结论涉及的线段BE，DF放到△AEB和△CFD中，证明这两个三角形全等，得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE＝DF．
17．（6分）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
【分析】（1）设y＝kx，把x＝2，y＝4代入，求出k．即可得出答案；
（2）把x＝﹣代入函数解析式，求出即可．
【解答】解：（1）根据题意，设y＝kx（k≠0），
把x＝2，y＝4代入得：4＝2k，
解得：k＝2，
即y与x的函数关系式为y＝2x；
（2）把x＝﹣代入y＝2x得：y＝﹣1．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）△ABC的面积是 1.5 ．
（2）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（3）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
【分析】（1）直接利用割补法进行计算，即可得到△ABC的面积；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）△ABC的面积为2×2﹣×1×1﹣2××1×2＝1.5；
故答案为：1.5；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）如图所示：△A2B2C2即为所求．
19．（7分）某校七年级1班体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并绘制出如下频数分布表和频数分布直方图：
次数
80≤x＜100
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
a
4
12
16
8
3
结合图表完成下列问题：
（1）a＝ 2 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）写出全班人数是 45 ，并求出第三组“120≤x＜140”的频率（精确到0.01）
（4）若跳绳次数不少于140的学生成绩为优秀，则优秀学生人数占全班总人数的百分之几？
【分析】（1）由频数分布直方图即可得；
（2）由频数分布表得出140≤x＜160的频数，即可补全图形；
（3）将各组人数相加即可得，再用频数÷总人数＝频率求解可得；
（4）用140≤x＜200的人数和除以总人数即可得．
【解答】解：（1）由频数分布直方图知a＝2，
故答案为：2；
（2）由频数分布表知140≤x＜160的频数为16，
补全图形如下：
（3）全班人数为2+4+12+16+8+3＝45人，第三组“120≤x＜140”的频率为12÷45≈0.27，
故答案为：45；
（4）优秀学生人数占全班总人数的百分比为×100%＝60%，
答：优秀的学生人数占全班总人数的60%．
20．（7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF＝BE＝4，
∵AC＝20，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
21．（7分）已知一个红外线测温仪售价380元，一包口罩售价40元，某学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出30包的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．
（1）设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（2）学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，可以写出y1，y2与x的函数关系式；
（2）令（1）中的y1＜y2，求出x的取值范围，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝20×380+（x﹣20）×40＝40x+6800，
y2＝20×380+30×40+（x﹣30）×40×0.5＝20x+8200，
即y1＝40x+6800，y2＝20x+8200；
（2）学校购买口罩的包数超出30包，不足70包时，选择优惠活动一比活动二更省钱，
理由：令40x+6800＜20x+8200，
解得，x＜70，
即学校购买口罩的包数超出30包，不足70包时，选择优惠活动一比活动二更省钱．
22．（7分）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别是垂足．
（1）求证：AP＝PC；
（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求PC的长．
【分析】（1）证四边形EPFC是矩形，求出EF＝PC，证△ABP≌△CBP，推出AP＝CP即可；
（2）先根据△ABP≌△CBP得出∠BAP＝∠BCP＝60°，∠PCE＝30°，再证△PFB是等腰直角三角形，求出PE的长度，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP；
（2）解：∵由（1）知△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP＝60°，
∴∠PCE＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠PDE＝45°，
∵PE⊥CD，
∴DE＝PE，
∵PD＝，
∴PE＝1，
∴PC＝2PE＝2．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论即可．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即40﹣4t＝2t，解得t＝．
∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．
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