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2019-2020学年广西防城港市防城区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年广西防城港市防城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1
2．（3分）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（3分）下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
4．（3分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
5．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
7．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，则BD＝（ ）
A． B．2 C．3 D．6
8．（3分）如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），则关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜﹣8 D．x＞﹣8
9．（3分）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离 S（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系图象如图2所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（3分）如图，矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为（4，1），点D的坐标为（0，1），则菱形ABCD的周长等于（ ）
A． B．4 C．4 D．20
12．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．（3分）﹣＝ ．
14．（3分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第二、一、四象限，请你写出一个符合条件的k的值为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为 ．
16．（3分）某校规定学生期末综合成绩由三部分组成：期末考成绩占50%，期中考成绩占20%，平时成绩占30%，甲同学某学期的期末考成绩为96分，期中考成绩为85分，平时成绩为90分，则甲同学该学期的期末综合成绩为 分．
17．（3分）一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 ．
18．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的周长是26cm，AC和BD相交于点O，△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，那么AD＝ cm．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）3﹣2﹣；
（2）．
20．（8分）如图，已知四边形AECF是平行四边形，D，B分别在AF，CE的延长线上，连接AB，CD，且∠B＝∠D．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
21．（8分）已知一次函数的图象经过A（﹣2，﹣3），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P（﹣1，1）是否在这个一次函数的图象上；
（3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．
23．（10分）某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况，随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查，结果如下：（单位：分）
40 21 35 24 40 38 23 52 35 62 36 15 51 45 40 42 40 32 43 36 34 53 38 40 39 32 45 40 50 45 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45
分组
频数
频率
14.5﹣22.5
2
0.050
22.5﹣30.5
3
30.5﹣38.5
10
0.250
38.5﹣46.5
19
46.5﹣54.5
5
0.125
54.5﹣62.5
1
0.025
合计
40
1.00
（1）补全频率分布表和频率分布直方图．
（2）填空：在这个问题中，总体是 ，样本是 ．由统计结果分析得，这组数据的平均数是38.35（分），众数是 ，中位数是 ．
（3）估计该校400名学生中，一周内平均每天参加课外锻炼时间在46.5分以上（含46.5分）的同学有多少人？
24．（10分）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）按照右侧的解法，试化简：﹣（）2．
化简：（）2﹣|1﹣x|
解：隐含条件1﹣3x≥0解得x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++．
25．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
26．（10分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共120盏，这两种台灯的进价和售价如表所示：
价格
类型
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A
40
55
B
60
80
（1）若商场恰好用完预计进货款5500元，则应这购进两种台灯各多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这两种台灯时获得的毛利润最多？最多毛利润为多少元？（毛利润＝销售收入﹣进货成本）
2019-2020学年广西防城港市防城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1，且x≠1，
故选：D．
2．（3分）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．可找到最稳定的．
【解答】解：因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．
故选：D．
3．（3分）下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选：A．
4．（3分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，
这组数据的中位数为4；众数为5．
故选：A．
5．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解答】解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
6．（3分）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选：A．
7．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，则BD＝（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【分析】利用菱形的性质可求∠ABD＝30°，在30°直角三角形中利用勾股定理可求BD的一半长，则BD可求．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，设AC与BD交于点O，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，AO⊥BO，
∴AO＝3，BO＝，
∴BD＝2BO＝6．
故选：D．
8．（3分）如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），则关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜﹣8 D．x＞﹣8
【分析】首先将已知点的坐标代入直线y＝3x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的左边，直线y＝3x+1都在直线y＝mx+n的下方，据此求解．
【解答】解：∵直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），
∴3a+1＝﹣8，
解得：a＝﹣3，
观察图象知：关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为x＜﹣3，
故选：B．
9．（3分）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离 S（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系图象如图2所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】观察函数图象，逐一分析五条说法的正误，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵两函数图象中y的最大值为18，
∴他们都行驶了18千米，说法（1）符合题意；
（2）1﹣0.5＝0.5（小时），
∴甲在途中停留了0.5小时，说法（2）符合题意；
（3）观察函数图象可知，乙比甲晚出发了0.5小时，说法（3）符合题意；
（4）∵当x＞1时，甲的函数图象在乙的函数图象的下方，
∴相遇后，甲的速度小于乙的速度，说法（4）符合题意；
（5）∵乙2小时到达目的地，甲2.5小时到达目的地，
∴甲比乙晚0.5小时到达目的地，说法（5）不符合题意．
综上所述：符合题意得说法有4个．
故选：C．
10．（3分）如图，矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG＝AB＝3，从而求出DG＝2，最后再用勾股定理求解即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝BC＝4，
∴BD＝5
由折叠得，∠BEG＝∠A＝90°，BG＝AB＝3，EG＝AE，
∴DG＝BD﹣BG＝2，DE＝AD﹣AE＝4﹣AE，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，
∴AE2+4＝（4﹣AE）2，
∴AE＝，
故选：C．
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为（4，1），点D的坐标为（0，1），则菱形ABCD的周长等于（ ）
A． B．4 C．4 D．20
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，求出AE＝CE＝1，BE＝DE＝2，由勾股定理求出AD，即可得出答案．
【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），
∴BD＝4，AE＝1，
∴DE＝BD＝2，
∴AD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4；
故选：C．
12．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝，CF＝3，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【解答】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝3，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．（3分）﹣＝ ．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝3﹣2＝，
故答案为：．
14．（3分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第二、一、四象限，请你写出一个符合条件的k的值为 y＝﹣x+1 ．
【分析】根据图象经过的象限可得k﹣3＜0，进而可得答案．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第二、一、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3，
故答案为：y＝﹣x+1．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为 ．
【分析】先将点A的横坐标代入y＝x+3求得点A的纵坐标，然后即可确定方程组的解．
【解答】解：∵直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），
∴当x＝﹣1时，b＝﹣1+3＝2，
∴点A的坐标为（﹣1，2），
∴关于x、y的方程组的解是，
故答案为：．
16．（3分）某校规定学生期末综合成绩由三部分组成：期末考成绩占50%，期中考成绩占20%，平时成绩占30%，甲同学某学期的期末考成绩为96分，期中考成绩为85分，平时成绩为90分，则甲同学该学期的期末综合成绩为 92 分．
【分析】根据加权平均数的计算方法解答．
【解答】解：＝96×50%+85×20%+90×30%＝48+17+27＝92分．
故答案为92分．
17．（3分）一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 10 ．
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝2+5+1+2＝10．
故答案是：10．
18．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的周长是26cm，AC和BD相交于点O，△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，那么AD＝ cm．
【分析】根据平行四边形性质得出OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，求出AB+BC＝13，AB﹣BC＝2，两式相减即可求出BC，从而求得AD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是26cm，
∴2AB+2BC＝26，
∴AB+BC＝13①，
∵△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，
∴（AB+OA+OB）﹣（BC+OC+OB）＝2，
∴AB﹣BC＝2②，
∵①﹣②得：2BC＝11，
∴AD＝BC＝cm．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）3﹣2﹣；
（2）．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）利用平方差公式计算可得．
【解答】解：（1）原式＝6﹣2﹣4＝0；
（2）原式＝（）2﹣12
＝2﹣1
＝1．
20．（8分）如图，已知四边形AECF是平行四边形，D，B分别在AF，CE的延长线上，连接AB，CD，且∠B＝∠D．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠AEC＝∠AFC，AE＝CF，AF＝CE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得到AB＝CD，BE＝DF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形AECF是平行四边形
∴∠AEC＝∠AFC，AE＝CF，AF＝CE，
∵∠AEC+∠AEB＝180°，∠AFC+∠CFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠B＝∠D，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）知△ABE≌△CDF
可得：AB＝CD，BE＝DF，
∵AF＝CE，
∴AF+DF＝CE+BE，
∴AF+DF＝CE+BE
即AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
21．（8分）已知一次函数的图象经过A（﹣2，﹣3），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P（﹣1，1）是否在这个一次函数的图象上；
（3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）用待定系数法求解函数解析式；
（2）将点P坐标代入即可判断；
（3）求出函数与x轴、y轴的交点坐标，后根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，
则，解得：k＝2，b＝1．
∴函数的解析式为：y＝2x+1．
（2）将点P（﹣1，1）代入函数解析式，1≠﹣2+1，
∴点P不在这个一次函数的图象上．
（3）当x＝0，y＝1，当y＝0，x＝﹣，
此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为：×1×＝．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据CD＝12，S△ACD＝30，易求AC，并易计算BC2+AB2＝25＝AC2，从而可证△ABC是直角三角形；
（2）根据直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如右图所示，
（1）∵CD＝12，
∴S△ACD＝×CD×AC＝×12×AC＝30，
∴AC＝5，
又∵BC＝4，AB＝3，
∴BC2+AB2＝25＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB×BC＝×3×4＝6．
23．（10分）某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况，随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查，结果如下：（单位：分）
40 21 35 24 40 38 23 52 35 62 36 15 51 45 40 42 40 32 43 36 34 53 38 40 39 32 45 40 50 45 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45
分组
频数
频率
14.5﹣22.5
2
0.050
22.5﹣30.5
3
0.075
30.5﹣38.5
10
0.250
38.5﹣46.5
19
0.475
46.5﹣54.5
5
0.125
54.5﹣62.5
1
0.025
合计
40
1.00
（1）补全频率分布表和频率分布直方图．
（2）填空：在这个问题中，总体是 全校400名学生参加课外锻炼的时间 ，样本是 40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间 ．由统计结果分析得，这组数据的平均数是38.35（分），众数是 40 ，中位数是 40 ．
（3）估计该校400名学生中，一周内平均每天参加课外锻炼时间在46.5分以上（含46.5分）的同学有多少人？
【分析】（1）根据第1组的频数和频率可以求出总数，进而可以补全频率分布表和频率分布直方图；
（2）根据总体、样本、众数、中位数的定义即可填空；
（3）利用样本估计总体的方法即可求出结果．
【解答】解：（1）∵2÷0.050＝40，
∴3÷40＝0.075，
19÷40＝0.475，
所以补全的频率分布表和直方图如下：
分组
频数
频率
14.5﹣22.5
2
0.050
22.5﹣30.5
3
0.075
30.5﹣38.5
10
0.250
38.5﹣46.5
19
0.475
46.5﹣54.5
5
0.125
54.5﹣62.5
1
0.025
合计
40
1.00
（2）总体是全校400名学生参加课外锻炼的时间，
样本是40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间．
40个数据中小于40的数有14个，10个40，
所以众数是40，中位数是40；
故答案为：全校400名学生参加课外锻炼的时间；40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间；40；40；
（3）（0.125+0.025）×400＝60（人）．
答：该校400名学生中，一周内平均每天参加课外锻炼时间在46.5分以上（含46.5分）的同学有60人．
24．（10分）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）按照右侧的解法，试化简：﹣（）2．
化简：（）2﹣|1﹣x|
解：隐含条件1﹣3x≥0解得x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a、b在数轴上的位置判断出a+b＜0、b﹣a＞0，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形三边间的关系得出a﹣b﹣c＜0、b﹣a﹣c＜0、c﹣b﹣a＜0，再利用二次根式的性质化简可得．
【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝﹣（x﹣3）﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣a﹣2b；
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c．
25．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）证△AOF≌△COE（ASA），得出AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，得出四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质得出CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，证EF∥AB，由平行线的性质得出∠OEC＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出OC＝CE＝1，OE＝OC＝，则AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
26．（10分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共120盏，这两种台灯的进价和售价如表所示：
价格
类型
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A
40
55
B
60
80
（1）若商场恰好用完预计进货款5500元，则应这购进两种台灯各多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这两种台灯时获得的毛利润最多？最多毛利润为多少元？（毛利润＝销售收入﹣进货成本）
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到购进两种台灯各多少盏；
（2）根据题意可以得到利润与购进A种台灯数量的函数关系式，然后根据商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，可以得到购进A种台灯数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最大利润和此时的购买方案．
【解答】解：（1）设购进A种台灯a盏，B种台灯b盏，
，得，
答：购进A种台灯85盏，B种台灯35盏；
（2）设获得毛利润为w元，购买A种台灯x盏，
w＝（55﹣40）x+（80﹣60）（120﹣x）＝﹣5x+2400，
∵商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴120﹣x≤3x，
解得，x≥30，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝2250，120﹣x＝90，
答：购进A种台灯30盏，B种台灯90盏才能使商场在销售完这两种台灯时获得的毛利润最多，最多毛利润为2250元．
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1
2．（3分）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（3分）下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
4．（3分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
5．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
7．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，则BD＝（ ）
A． B．2 C．3 D．6
8．（3分）如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），则关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜﹣8 D．x＞﹣8
9．（3分）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离 S（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系图象如图2所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（3分）如图，矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为（4，1），点D的坐标为（0，1），则菱形ABCD的周长等于（ ）
A． B．4 C．4 D．20
12．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．（3分）﹣＝ ．
14．（3分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第二、一、四象限，请你写出一个符合条件的k的值为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为 ．
16．（3分）某校规定学生期末综合成绩由三部分组成：期末考成绩占50%，期中考成绩占20%，平时成绩占30%，甲同学某学期的期末考成绩为96分，期中考成绩为85分，平时成绩为90分，则甲同学该学期的期末综合成绩为 分．
17．（3分）一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 ．
18．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的周长是26cm，AC和BD相交于点O，△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，那么AD＝ cm．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）3﹣2﹣；
（2）．
20．（8分）如图，已知四边形AECF是平行四边形，D，B分别在AF，CE的延长线上，连接AB，CD，且∠B＝∠D．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
21．（8分）已知一次函数的图象经过A（﹣2，﹣3），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P（﹣1，1）是否在这个一次函数的图象上；
（3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．
23．（10分）某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况，随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查，结果如下：（单位：分）
40 21 35 24 40 38 23 52 35 62 36 15 51 45 40 42 40 32 43 36 34 53 38 40 39 32 45 40 50 45 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45
分组
频数
频率
14.5﹣22.5
2
0.050
22.5﹣30.5
3
30.5﹣38.5
10
0.250
38.5﹣46.5
19
46.5﹣54.5
5
0.125
54.5﹣62.5
1
0.025
合计
40
1.00
（1）补全频率分布表和频率分布直方图．
（2）填空：在这个问题中，总体是 ，样本是 ．由统计结果分析得，这组数据的平均数是38.35（分），众数是 ，中位数是 ．
（3）估计该校400名学生中，一周内平均每天参加课外锻炼时间在46.5分以上（含46.5分）的同学有多少人？
24．（10分）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）按照右侧的解法，试化简：﹣（）2．
化简：（）2﹣|1﹣x|
解：隐含条件1﹣3x≥0解得x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++．
25．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
26．（10分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共120盏，这两种台灯的进价和售价如表所示：
价格
类型
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A
40
55
B
60
80
（1）若商场恰好用完预计进货款5500元，则应这购进两种台灯各多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这两种台灯时获得的毛利润最多？最多毛利润为多少元？（毛利润＝销售收入﹣进货成本）
2019-2020学年广西防城港市防城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1，且x≠1，
故选：D．
2．（3分）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．可找到最稳定的．
【解答】解：因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．
故选：D．
3．（3分）下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选：A．
4．（3分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，
这组数据的中位数为4；众数为5．
故选：A．
5．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解答】解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
6．（3分）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选：A．
7．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，则BD＝（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【分析】利用菱形的性质可求∠ABD＝30°，在30°直角三角形中利用勾股定理可求BD的一半长，则BD可求．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，设AC与BD交于点O，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，AO⊥BO，
∴AO＝3，BO＝，
∴BD＝2BO＝6．
故选：D．
8．（3分）如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），则关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜﹣8 D．x＞﹣8
【分析】首先将已知点的坐标代入直线y＝3x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的左边，直线y＝3x+1都在直线y＝mx+n的下方，据此求解．
【解答】解：∵直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），
∴3a+1＝﹣8，
解得：a＝﹣3，
观察图象知：关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为x＜﹣3，
故选：B．
9．（3分）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离 S（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系图象如图2所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】观察函数图象，逐一分析五条说法的正误，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵两函数图象中y的最大值为18，
∴他们都行驶了18千米，说法（1）符合题意；
（2）1﹣0.5＝0.5（小时），
∴甲在途中停留了0.5小时，说法（2）符合题意；
（3）观察函数图象可知，乙比甲晚出发了0.5小时，说法（3）符合题意；
（4）∵当x＞1时，甲的函数图象在乙的函数图象的下方，
∴相遇后，甲的速度小于乙的速度，说法（4）符合题意；
（5）∵乙2小时到达目的地，甲2.5小时到达目的地，
∴甲比乙晚0.5小时到达目的地，说法（5）不符合题意．
综上所述：符合题意得说法有4个．
故选：C．
10．（3分）如图，矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG＝AB＝3，从而求出DG＝2，最后再用勾股定理求解即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝BC＝4，
∴BD＝5
由折叠得，∠BEG＝∠A＝90°，BG＝AB＝3，EG＝AE，
∴DG＝BD﹣BG＝2，DE＝AD﹣AE＝4﹣AE，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，
∴AE2+4＝（4﹣AE）2，
∴AE＝，
故选：C．
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为（4，1），点D的坐标为（0，1），则菱形ABCD的周长等于（ ）
A． B．4 C．4 D．20
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，求出AE＝CE＝1，BE＝DE＝2，由勾股定理求出AD，即可得出答案．
【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），
∴BD＝4，AE＝1，
∴DE＝BD＝2，
∴AD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4；
故选：C．
12．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝，CF＝3，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【解答】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝3，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．（3分）﹣＝ ．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝3﹣2＝，
故答案为：．
14．（3分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第二、一、四象限，请你写出一个符合条件的k的值为 y＝﹣x+1 ．
【分析】根据图象经过的象限可得k﹣3＜0，进而可得答案．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第二、一、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3，
故答案为：y＝﹣x+1．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为 ．
【分析】先将点A的横坐标代入y＝x+3求得点A的纵坐标，然后即可确定方程组的解．
【解答】解：∵直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），
∴当x＝﹣1时，b＝﹣1+3＝2，
∴点A的坐标为（﹣1，2），
∴关于x、y的方程组的解是，
故答案为：．
16．（3分）某校规定学生期末综合成绩由三部分组成：期末考成绩占50%，期中考成绩占20%，平时成绩占30%，甲同学某学期的期末考成绩为96分，期中考成绩为85分，平时成绩为90分，则甲同学该学期的期末综合成绩为 92 分．
【分析】根据加权平均数的计算方法解答．
【解答】解：＝96×50%+85×20%+90×30%＝48+17+27＝92分．
故答案为92分．
17．（3分）一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 10 ．
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝2+5+1+2＝10．
故答案是：10．
18．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的周长是26cm，AC和BD相交于点O，△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，那么AD＝ cm．
【分析】根据平行四边形性质得出OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，求出AB+BC＝13，AB﹣BC＝2，两式相减即可求出BC，从而求得AD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是26cm，
∴2AB+2BC＝26，
∴AB+BC＝13①，
∵△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，
∴（AB+OA+OB）﹣（BC+OC+OB）＝2，
∴AB﹣BC＝2②，
∵①﹣②得：2BC＝11，
∴AD＝BC＝cm．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
（1）3﹣2﹣；
（2）．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）利用平方差公式计算可得．
【解答】解：（1）原式＝6﹣2﹣4＝0；
（2）原式＝（）2﹣12
＝2﹣1
＝1．
20．（8分）如图，已知四边形AECF是平行四边形，D，B分别在AF，CE的延长线上，连接AB，CD，且∠B＝∠D．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠AEC＝∠AFC，AE＝CF，AF＝CE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得到AB＝CD，BE＝DF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形AECF是平行四边形
∴∠AEC＝∠AFC，AE＝CF，AF＝CE，
∵∠AEC+∠AEB＝180°，∠AFC+∠CFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠B＝∠D，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）知△ABE≌△CDF
可得：AB＝CD，BE＝DF，
∵AF＝CE，
∴AF+DF＝CE+BE，
∴AF+DF＝CE+BE
即AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
21．（8分）已知一次函数的图象经过A（﹣2，﹣3），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P（﹣1，1）是否在这个一次函数的图象上；
（3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）用待定系数法求解函数解析式；
（2）将点P坐标代入即可判断；
（3）求出函数与x轴、y轴的交点坐标，后根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，
则，解得：k＝2，b＝1．
∴函数的解析式为：y＝2x+1．
（2）将点P（﹣1，1）代入函数解析式，1≠﹣2+1，
∴点P不在这个一次函数的图象上．
（3）当x＝0，y＝1，当y＝0，x＝﹣，
此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为：×1×＝．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据CD＝12，S△ACD＝30，易求AC，并易计算BC2+AB2＝25＝AC2，从而可证△ABC是直角三角形；
（2）根据直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如右图所示，
（1）∵CD＝12，
∴S△ACD＝×CD×AC＝×12×AC＝30，
∴AC＝5，
又∵BC＝4，AB＝3，
∴BC2+AB2＝25＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB×BC＝×3×4＝6．
23．（10分）某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况，随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查，结果如下：（单位：分）
40 21 35 24 40 38 23 52 35 62 36 15 51 45 40 42 40 32 43 36 34 53 38 40 39 32 45 40 50 45 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45
分组
频数
频率
14.5﹣22.5
2
0.050
22.5﹣30.5
3
0.075
30.5﹣38.5
10
0.250
38.5﹣46.5
19
0.475
46.5﹣54.5
5
0.125
54.5﹣62.5
1
0.025
合计
40
1.00
（1）补全频率分布表和频率分布直方图．
（2）填空：在这个问题中，总体是 全校400名学生参加课外锻炼的时间 ，样本是 40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间 ．由统计结果分析得，这组数据的平均数是38.35（分），众数是 40 ，中位数是 40 ．
（3）估计该校400名学生中，一周内平均每天参加课外锻炼时间在46.5分以上（含46.5分）的同学有多少人？
【分析】（1）根据第1组的频数和频率可以求出总数，进而可以补全频率分布表和频率分布直方图；
（2）根据总体、样本、众数、中位数的定义即可填空；
（3）利用样本估计总体的方法即可求出结果．
【解答】解：（1）∵2÷0.050＝40，
∴3÷40＝0.075，
19÷40＝0.475，
所以补全的频率分布表和直方图如下：
分组
频数
频率
14.5﹣22.5
2
0.050
22.5﹣30.5
3
0.075
30.5﹣38.5
10
0.250
38.5﹣46.5
19
0.475
46.5﹣54.5
5
0.125
54.5﹣62.5
1
0.025
合计
40
1.00
（2）总体是全校400名学生参加课外锻炼的时间，
样本是40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间．
40个数据中小于40的数有14个，10个40，
所以众数是40，中位数是40；
故答案为：全校400名学生参加课外锻炼的时间；40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间；40；40；
（3）（0.125+0.025）×400＝60（人）．
答：该校400名学生中，一周内平均每天参加课外锻炼时间在46.5分以上（含46.5分）的同学有60人．
24．（10分）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）按照右侧的解法，试化简：﹣（）2．
化简：（）2﹣|1﹣x|
解：隐含条件1﹣3x≥0解得x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a、b在数轴上的位置判断出a+b＜0、b﹣a＞0，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形三边间的关系得出a﹣b﹣c＜0、b﹣a﹣c＜0、c﹣b﹣a＜0，再利用二次根式的性质化简可得．
【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝﹣（x﹣3）﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣a﹣2b；
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c．
25．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）证△AOF≌△COE（ASA），得出AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，得出四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质得出CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，证EF∥AB，由平行线的性质得出∠OEC＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出OC＝CE＝1，OE＝OC＝，则AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
26．（10分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共120盏，这两种台灯的进价和售价如表所示：
价格
类型
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A
40
55
B
60
80
（1）若商场恰好用完预计进货款5500元，则应这购进两种台灯各多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这两种台灯时获得的毛利润最多？最多毛利润为多少元？（毛利润＝销售收入﹣进货成本）
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到购进两种台灯各多少盏；
（2）根据题意可以得到利润与购进A种台灯数量的函数关系式，然后根据商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，可以得到购进A种台灯数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最大利润和此时的购买方案．
【解答】解：（1）设购进A种台灯a盏，B种台灯b盏，
，得，
答：购进A种台灯85盏，B种台灯35盏；
（2）设获得毛利润为w元，购买A种台灯x盏，
w＝（55﹣40）x+（80﹣60）（120﹣x）＝﹣5x+2400，
∵商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴120﹣x≤3x，
解得，x≥30，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝2250，120﹣x＝90，
答：购进A种台灯30盏，B种台灯90盏才能使商场在销售完这两种台灯时获得的毛利润最多，最多毛利润为2250元．
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