数学必修 第一册5.5 三角恒等变换达标测试

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A．－ eq \f(1,4) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2)
2．已知sin eq \f(α,2) ＝ eq \f(\r(2),5) ，则cs α＝( )
A．－ eq \f(16,25) B． eq \f(16,25) C．－ eq \f(21,25) D． eq \f(21,25)
3．已知cs α＝ eq \f(3,5) ，则sin ( eq \f(π,2) －2α)＝( )
A．－ eq \f(7,25) B． eq \f(7,25) C．－ eq \f(18,25) D． eq \f(18,25)
4．已知α∈(0，π)，tan α＝ eq \f(1,2) ，则sin 2α＝( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(2,5) C． eq \f(4,5) D． eq \f(12,25)
5．(多选)下列各式中，值为 eq \f(\r(3),2) 的是( )
A．2sin 15°cs 15° B．2sin215°－1
C． eq \f(3tan15°,1－tan215°) D． eq \f(1＋tan15°,2（1－tan 15°）)
6. eq \f(\r(1＋cs 100°),sin 20°cs 20°) ＝________．
7．已知sin α－cs α＝ eq \f(4,3) ，则sin 2α＝________．
8．已知sin α＝－ eq \f(3,5) ，α∈(－ eq \f(π,2) ，0).
(1)求sin 2α，cs 2α的值；
(2)求tan (2α＋ eq \f(π,4) )的值．
9.已知tan ( eq \f(π,4) ＋α)＝－2，则 eq \f(1－sin 2α,cs 2α) ＝( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．－2 D．－ eq \f(1,2)
10．[2022·广东东莞高一期中](多选)已知sin 2α＝ eq \f(1,3) ，则sin (α＋45°)的值可能是( )
A．－ eq \f(\r(6),3) B．－ eq \f(\r(3),3)
C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(6),3)
11．已知sin (α－ eq \f(2π,3) )＝ eq \f(2,3) ，其中α∈( eq \f(π,2) ，π)，则cs (α－ eq \f(π,6) )＝____________，sin (2α－ eq \f(π,3) )＝____________．
12．已知tan (π＋α)＝ eq \f(1,2) .
(1)求cs 2α的值；
(2)求 eq \f(1－sin 2α,2cs2α－sin2α) 的值．
13.设函数f(x)与g(x)都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f(g(x))＝g(f(x))成立，称函数f(x)与g(x)是M上的“互嵌函数”．若函数f(x)＝2x与g(x)＝tan x是M上的“互嵌函数”，则集合M＝____________.
课时作业(四十四) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．解析：sin (－ eq \f(π,12) )cs eq \f(π,12) ＝－sin eq \f(π,12) cs eq \f(π,12) ＝－ eq \f(1,2) sin ( eq \f(π,12) ×2)＝－ eq \f(1,4) .
答案A
2．解析：由题意得，cs α＝1－2sin2 eq \f(α,2) ＝ eq \f(21,25) .
答案：D
3．解析：∵csα＝ eq \f(3,5) ，
∴sin ( eq \f(π,2) －2α)＝cs 2α＝2cs2α－1＝－ eq \f(7,25) .
答案：A
4．解析：sin2α＝2sin αcs α＝ eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α) ＝ eq \f(2tanα,tan2α＋1) ，
因为tanα＝ eq \f(1,2) ，所以sin 2α＝ eq \f(1,\f(1,4)＋1) ＝ eq \f(4,5) .
答案：C
5．解析：A：2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝ eq \f(1,2) ，不合题设；
B：2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cs30°＝－ eq \f(\r(3),2) ，不合题设；
C： eq \f(3tan 15°,1－tan215°) ＝ eq \f(3,2) tan30°＝ eq \f(\r(3),2) ，符合题设；
D： eq \f(1＋tan 15°,2（1－tan 15°）) ＝ eq \f(cs 15°＋sin 15°,2（cs 15°－sin 15°）) ＝ eq \f(cs215°－sin215°,2（cs15°－sin 15°）2) ＝ eq \f(cs 30°,2（1－sin 30°）) ＝ eq \f(\r(3),2) ，符合题设．
答案：CD
6．解析：原式＝ eq \f(\r(1＋2cs250°－1),\f(1,2)sin40°) ＝ eq \f(\r(2)cs 50°,\f(1,2)sin 40°) ＝2 eq \r(2) .
答案：2 eq \r(2)
7．解析：sin α－cs α＝ eq \f(4,3) ，
两边平方得：1－sin 2α＝ eq \f(16,9) ，则sin 2α＝－ eq \f(7,9) .
答案：－ eq \f(7,9)
8．解析：(1)∵sin2α＋cs2α＝1，且α∈(－ eq \f(π,2) ，0)，则csα＞0.
∴cs α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \r(1－（－\f(3,5)）2) ＝ eq \f(4,5) .
所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×(－ eq \f(3,5) )× eq \f(4,5) ＝－ eq \f(24,25) ，
所以cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×(－ eq \f(3,5) )2＝ eq \f(7,25) .
(2)由(1)知sin2α＝－ eq \f(24,25) ，cs 2α＝ eq \f(7,25) ，
所以tan 2α＝ eq \f(sin 2α,cs 2α) ＝－ eq \f(24,25) × eq \f(25,7) ＝－ eq \f(24,7) .
所以tan (2α＋ eq \f(π,4) )＝ eq \f(tan 2α＋tan \f(π,4),1－tan 2αtan \f(π,4)) ＝ eq \f(－\f(24,7)＋1,1＋\f(24,7)) ＝－ eq \f(17,31) .
9．解析：已知tan ( eq \f(π,4) ＋α)＝－2＝ eq \f(tan α＋1,1－tan α) ，∴tan α＝3，
则 eq \f(1－sin 2α,cs 2α) ＝ eq \f(sin2α＋cs2α－2sinαcs α,cs2α－sin2α) ＝ eq \f(tan2α＋1－2tanα,1－tan2α) ＝－ eq \f(1,2) .
答案：D
10．解析：sin2α＝2sin αcs α＝ eq \f(1,3) ，则sin α，cs α同号，由于sin (α＋45°)＝ eq \f(\r(2),2) (sin α＋cs α)，所以sin (α＋45°)＝± eq \r(\f(1,2)（sin α＋cs α）2) ＝± eq \r(\f(1,2)（sin2α＋cs2α）＋sinαcs α) ＝± eq \f(\r(6),3) .
答案：AD
11．解析：因为sin (α－ eq \f(2π,3) )＝ eq \f(2,3) ，
所以cs (α－ eq \f(π,6) )＝cs ( eq \f(π,6) －α)＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－（\f(π,6)－α）))
＝sin ( eq \f(2π,3) －α)＝－sin (α－ eq \f(2π,3) )＝－ eq \f(2,3) ，
因为α∈( eq \f(π,2) ，π)，
所以α－ eq \f(π,6) ∈( eq \f(π,3) ， eq \f(5,6) π)，sin (α－ eq \f(π,6) )＝ eq \f(\r(5),3) ，
所以sin (2α－ eq \f(π,3) )＝sin [2(α－ eq \f(π,6) )]，
＝2sin (α－ eq \f(π,6) )cs (α－ eq \f(π,6) )，
＝2×(－ eq \f(2,3) )× eq \f(\r(5),3) ＝－ eq \f(4\r(5),9) .
答案：－ eq \f(2,3) － eq \f(4\r(5),9)
12．解析：(1)tan (π＋α)＝tan α＝ eq \f(1,2) .
∵tan α＝ eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(1,2) ，∴cs α＝2sin α，
两边平方得cs2α＝4sin2α，
∴cs2α＝4(1－cs2α)解得cs2α＝ eq \f(4,5) ，
∴cs2α＝2cs2α－1＝2× eq \f(4,5) －1＝ eq \f(3,5) .
(2) eq \f(1－sin2α,2cs2α－sin2α) ＝ eq \f(（sin α－cs α）2,2cs α（cs α－sin α）) ＝ eq \f(cs α－sin α,2cs α)
＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) tan α＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) .
13．解析：依题意，2tan x＝tan 2x，化简得2tan x＝ eq \f(2tan x,1－tan2x) ，解得tanx＝0，则x＝kπ，k∈Z，
所以集合M＝{x|x＝kπ，k∈Z}．
答案：{x|x＝kπ，k∈Z}
练 基 础
提 能 力
培 优 生