高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式习题

3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、选择题

1．已知α为锐角，且sinα∶sin＝8∶5，则cosα的值为(　　)

A.　 　 　

B.　 　　

C.　　　

D.

[答案]　D

[解析]　由已知sinαsin＝85，即(2sin·cos)sin＝85得cos＝，则cosα＝2cos2－1＝2×－1＝.

2.的值是(　　)

A．sin2 

B．－cos2

C.cos2 

D．－cos2

[答案]　D

[解析]　原式＝＝

＝－cos2.

3．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值是(　　)

A．－ 

B．－ 

C. 

D.

[答案]　D

[解析]　∵tanθ＝，

∴原式＝＝＝＝.

4．若sinα＋cosα＝－，则tanα＋＝(　　)

A．1 

B．2 

C．－1 

D．－2

[答案]　B

[解析]　法一：sinα＋cosα＝－⇒sin(α＋)＝－1，

⇒α＝2kπ＋，k∈Z，

∴tanα＝1，∴原式＝1＋＝2.

法二：由sinα＋cosα＝－两边平方得，

sinαcosα＝，

∴原式＝＋＝＝＝2.

5．cos·cos的值是(　　)

A．4 

B. 

C．2 

D.

[答案]　B

[解析]　原式＝

＝＝.

6．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(　　)

A. 

B. 

C．－ 

D．－

[答案]　A

[解析]　令底角为α，则顶角β＝π－2α，

∵cosα＝，∴sinα＝，

∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α

＝2sinαcosα＝2××＝.

7．若sin＝，则cos的值是(　　)

A．－ 

B．－ 

C. 

D.

[答案]　A

[解析]　∵sin＝cos

＝cos＝，

∴cos＝2cos2－1

＝2×2－1＝－.

8．函数y＝的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

[答案]　A

[解析]　y＝＝

＝＝

＝tan，

当＋∈，k∈Z时，函数为增函数，此时x∈，k∈Z，故选A.

9．(2010·福建省福州市)已知sin10°＝a，则sin70°等于(　　)

A．1－2a2 

B．1＋2a2

C．1－a2 

D．a2－1

[答案]　A

[解析]　由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A.

10．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈，则tan的值是(　　)

A. 

B．－2 

C. 

D.或－2

[答案]　B

[解析]　∵，

∴tan(α＋β)＝＝，

∵tanα<0，tanβ<0，∴，

∴－π<α＋β<0，∴－<<0，

∵tan(α＋β)＝＝，∴tan＝－2，故选B.

二、填空题

11．若sin＝，则cos2α＝________.

[答案]　－

[解析]　∵sin＝，∴cosα＝，

∴cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.

12．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．

[答案]　第四象限

[解析]　∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，cosθ>0，

∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．

13．如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.

[答案]　2010

[解析]　∵tan＝2010，

∴＋tan2α＝＋＝

＝＝＝tan＝2010.

14．已知sin＋cos＝，则cos2θ＝__________.

[答案]　－

[解析]　∵(sin＋cos)2＝，∴sinθ＝－，

∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝－.

三、解答题

15．化简：.

[解析]　原式＝

＝

＝＝1.

16．已知cos＝且<x<，求的值．

[解析]　∵cos＝，<x＋<2π，

∴sin＝－＝－，

tan＝－.

又sin2x＝－cos2

＝1－2cos2＝1－2·2＝.

∴原式＝

＝sin2x·＝sin2x·

＝sin2x·tan＝×＝－.

17．若π<α<，化简

＋ .

[解析]　∵π<α<，∴<<，

∴cos<0，sin>0.

∴原式＝

＋

＝＋

＝－＋＝－cos.

18．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos2的值．

[解析]　将sinα＋sinβ＝与cosα＋cosβ＝的两边分别平方得，

∴sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝①

cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝②

①＋②得：2＋2cos(α－β)＝.

∴cos(α－β)＝－，

∴2cos2－1＝－，∴cos2＝.