数学第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时教学设计及反思

这是一份数学第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时教学设计及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资源，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系


24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）


一、教学目标


1．理解切线的判定定理与性质定理．


2．会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题．


二、教学重点及难点


重点：理解切线的判定定理与性质定理．


难点：理解切线的判定定理和用反证法证明切线的性质定理．


三、教学用具


多媒体课件，三角板、直尺、圆规．


四、相关资源


多张《生活中的切线》图片．


五、教学过程


【知识回顾，引入新课】


直线和圆都有哪些位置关系？





【数学探究】直线和圆的位置关系


师生活动：教师展示问题和复习的课件，让学生回顾上节课所学知识．


设计意图：通过复习直线和圆的位置关系，为本节课学习切线的判定定理和性质定理作好铺垫．


【合作探究，形成新知】





1．探究切线的判定定理





【数学探究】切线的判定定理,探究切线的判定过程





①如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？





师生活动：小组讨论，学生归纳出切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．


②做一做：


已知⊙O上有一点A，过点A作⊙O的切线．


师生活动：两位学生板演，比较哪位学生画的比较好．教师订正，然后规范作图步骤，板演．


分析：根据刚刚讨论过的圆的切线的判定定理可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．


解：如下图．





（Ⅰ）连接OA．


（Ⅱ）过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．


③生活中你发现了与切线有关的实例吗？试举例子．


师生活动：学生举例．教师多媒体出示生活中的图片．





设计意图：知识源于生活，通过学生举例子，增强学生对知识的理解，培养学生的观察能力，感悟身边的知识．





2．探索切线的性质定理：


①如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？





师生活动：学生发言谈自己的看法，教师做总结．


归纳：圆的切线垂直于过切点的半径．


②你会用反证法证明切线的性质定理吗？


师生活动：小组合作交流，学生尝试证明，让学生注意反证法的证明步骤．教师巡查，指导不懂证明的学生．


设计意图：教师引导学生尝试用反证法证明定理，巩固上节课的内容，着重培养学生的逻辑推理能力．


【例题分析，深化提升】


例 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AB与⊙O相切于点D．


求证：AC与⊙O相切．





师生活动：学生讨论思路后，学生口述步骤，老师板演，强调每一步注明理由．


分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE=OD．


证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA．





∵⊙O与AB相切于点D，


∴OD⊥AB．


∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，


∴AO是∠BAC的平分线．


∴OE=OD，即OE是⊙O的半径．


AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，


∴AC与⊙O相切．


设计意图：即时反馈有助于记忆，让学生在例题中加深对本节知识的理解．教师通过学生解答，及时发现问题，评价教学效果．


【练习巩固，综合应用】


1．已知：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．


求证：AT是⊙O的切线．





分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT=∠ATB，又由∠ABT=45°，所以∠ATB=45°．由三角形内角和可知∠TAB=90°，即AT⊥AB．


2．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，求证：DE是⊙O的切线．





3．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．


（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；


（2）若OB=BG=2，求CD的长．





参考答案


1．证明：∵AB=AT，∠ABT=45°，


∴∠ATB=∠ABT=45°．


∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°．


∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．


2．证明：连接DO，


∵点D是BC的中点，∴CD=BD．


∵AB是直径，


∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC．


∴AC=AB，∴∠C=∠B．


∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，


∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC．


∵DE⊥AC，


∴∠ODE=∠CED=90°．∴DE⊥OD．


∴ED是圆O的切线．


3．解：（1）直线FC与⊙O相切．


理由如下：


连接OC．





∵OA=OC，∴∠1=∠2．


由翻折，得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．


∴∠2=∠3．


∴OC∥AF．


∴∠OCG=∠F=90°．


∴OC⊥FG．


∴直线FC与⊙O相切．


（2）∵直线GF与⊙O相切，


∴OC⊥FG．


∵OC=OB=BG，∴∠G=30°．


∴∠COG=60°，∴∠OCE=30°．


∴OE=1．∴CE=．


∵直径AB垂直于弦CD，


∴．


设计意图：加深对切线判定定理和性质定理的理解．


六、课堂小结


师生活动：学生小组内进行交流，谈一谈本节课的收获．教师提示学生从三方面入手：


1．学到了哪些知识；2．掌握了哪些数学方法；3．还有哪些发现与猜想？


1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线


2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径


设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时反馈．


七、板书设计


24.2 点和圆、直线和圆的位置关系


——24.2.2 直线和圆的位置关系（2）


1．切线的判定定理


2．切线的性质定理